[PDF] COURS MPSI 3 NOMBRESCOMPLEXES R FERRÉOL 09/10

ÉQUATIONS – INÉQUATIONS– SYSTÈMES

2°) –Discriminant réduit : Si b est pair on pose ' 2 ' 2 b b b b = ⇔ = ; alors on calcule le discriminant réduit ∆’=(b’)2 – ac – Si ∆’ < 0, alors l’équation n’admet pas de solutions dans ℝ ; – Si ∆’ > 0, alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : a b et x a b x ' ' ' ' 1 2

Racines carrées d’un nombre complexe

4°) Formules avec le discriminant réduit On pose b b 2 ' Le discriminant réduit est ' ' b ac 2 Les racines complexe de (E) sont 1 b' ' z a et 2 b' ' z où ' est une racine carrée de ' II Exemples 1°) Exemple 1 Résoudre dans l’équation 2i 3 1 3i 0z z2

1) équation du second degré a une inconnue d) x y s p x y p

e) le discriminant réduit d’un trinôme Soit le trinôme ax bx c2 Si b est pair c a d bb 2 on parle du discriminant réduit b ac2 et on a : - Si < 0 : pas de solution réelle c a d : - Si = 0 : L’équation a une seule solution (dite double) : 0 b x a

Equations et inéquations et systèmes partie3 : Equation du

(utiliser le discriminant réduit) Solution : on a : b = -22 et 22 est pair b = 2 x 11 donc b’ = - 11 Calculons le discriminant réduit 2 b ac de l’équation : b ac 11 1 23 121 23 144 2 Comme ’ > 0, l'équation possède deux solutions distinctes :

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Son discriminant réduit s’écrit 2 0 2 0 ∆'=ξ2ω−ω La condition imposée sur ξ donne donc un discriminant réduit négatif et des solutions complexes conjuguées : 0 2 r =−ξω0 ±i 1 −ξω On peut poser pour des raisons pratiques la pseudo-période 0 ω=1 −ξ2ω La réponse du système est en effet ici pseudo-

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=b′2−ac est appelé le discriminant réduit et les solutions s’écrivent : −b′±δ′ a où δ′est l’une des racines carrées de ∆′ TOUJOURS UTILISER LE DISCRIMINANT RÉDUIT lorsque 2 se factorise dans b de façon apparente E2 : z2−(2+2i)z+1=0 IV) NOTATION EXPONENTIELLE 1) Formule de Moivre et formule d’Euler

Problèmes du 1 degré et du 2 degré

Corrigé du bac c 2016 Session normale Exercice 1

Le discriminant réduit de l’équation est : Soit une racine carré complexe de , alors : Donc : Ses solutions sont alors : Comme : , et , donc : est alors (avec les , et par suite l’ensemble des solutions de l’équation notations de l’énoncé): c) , et

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Avec le discriminant réduit de cette équation est : Conditions initiales imposées au circuit A la fermeture de l’interrupteur (date t= ) : La tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité S’il est initialement déchargé, alors: