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PHYSIQUE-CHIMIE Série S Enseignement Obligatoire Durée de l’épreuve : 3 heures 30 – Coefficient : 6 L’usage des calculatrices est autorisé Ce sujet ne nécessite pas de feuille de papier millimétré Ce sujet comporte 11 pages numérotées de 1/11 à 11/11 LA feuille d’annexe (page 11/11) EST À RENDRE AGRAFÉE À LA COPIE

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Exercice 3Corrigé

16MASCOMLR1

1/6

BACCALAUREAT GENERAL

SESSION 2016

MATHEMATIQUES

Série S

ÉPREUVE DU LUNDI 20 JUIN 2016

Enseignement Obligatoire Coefficient : 7

: 4 heures Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6. Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

Le candidat doit traiter tous les exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans

16MASCOMLR1

5/6

Exercice 3 (5 points)

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par

2( ) ln 1f x x x

1. Résoudre dans R :

xxf)(

2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-ception de la limite de la fonction f en

x 1 + 0 + f

3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à

@1 ; 0 )(xf appartient à @1 ; 0

4. lgorithme suivant :

Variables N et A des entiers naturels ;

Entrée Saisir la valeur de A

Traitement N prend la valeur 0

Tant que

2ln 1NN

< A

N prend la valeur N+1

Fin tant que

Sortie Afficher N

a. Que fait cet algorithme ? b. Déterminer la valeur N lorsque la valeur saisie pour A est 100.

Partie B

Soit la suite définie par

10u et, pour tout entier naturel n,

1ln21 nnnuuu

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

nu appartient à @1 ; 0

2. Étudier les variations de la suite

nu

3. Montrer que la suite

nu est convergente.

4. On note l sa limite, et on admet que l f (l) = l.

En déduire la valeur de l.

'( )fxnu 1 alainpiller. fr 1.

Résolvons dans ¨, l'équation f (x) = x:

Sur ¨, f est définie par: f (x) = x - ln ( x 2 + 1

Dans ces conditions:

f (x) = x <=> x - ln ( x 2 + 1 ) = x <=> ln ( x 2 + 1 ) = 0 <=> x 2 + 1 = e

0 <=> x

2 + 1 = 1 <=> x 2 = 0 => x = 0.

La solution dans ¨, de l'équation f

(x) = x, est: x = 0. 2.

Justifions tous les éléments du tableau:

a. Montrons que f est croissante sur ¨: Pour cela nous devons calculer la dérivée de f sur ¨.

Posons:

f = g 1 - ln (g 2 avec: º x 1 (x) = x et g 2 (x) = x 2 + 1.

Les fonctions g

1 et g 2 sont dérivables sur ¨ comme fonctions polynômes.

De plus, sur ¨:

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