Introductionau calcultensoriel4h

Tenseur métrique Le tenseur métrique, noté , est le tenseur produit scalaire des vecteurs de la base naturelle Il est symétrique : Le carré d'un élément de longueur est la forme quadratique À RÉDIGER Transformation contraco On transforme les composantes contravariantes d'un tenseur en composantes covariantes au moyen du tenseur

Relativité restreinte (Einstein, 1905)

Espace de Minkowski, Tenseur Métrique, Groupe de Poincaré, Quadri-vecteur Note : en relativité générale, le tenseur métrique est “quelconque” η μ ν est un cas particulier d'espace plat Espace de Minkowski = R4 muni du pseudo-produit scalaire : Tenseur métrique η μ ν Intervalle entre deux événements ds2 = pseudo-norme

Relativité Générale - ENSTA Paris

Connexion afﬁne et tenseur métrique Coordonnées inertielles : ds2 = ηαβdξαdξβ Coordonnées quelconques : ds2 = ηαβ ∂ξα ∂xµ ∂ξβ ∂xν dxµdxν:= g µν dx µdxν en dérivant gµν par rapport à xλ il vient (ηαβ =cste) ∂λgµν = ηαβ Γρ λµ ∂ξα ∂xρ ∂ξβ ∂xν +Γρ λν ∂ξα ∂xµ ∂ξβ

Introductionau calcultensoriel4h

et contravariants, etutiliser le tenseur métrique 3 2 Notations Pas de règle universelle, hélas Je montre ci-dessous les représentations les plus répandues No-

Extrait de la publication

Le tenseur métrique à symétrie sphérique Aperçu du formalisme PPN Les tests classiques Les mirages gravitationnels Exercices 8 La gravitation relativiste d’Einstein (Relativité Générale) Les équations d’Einstein Autres déductions des équations d’Einstein* La solution de Schwarzschild La géométrie locale des espaces de Friedman

Thème 3 : corrigés des exercices - WordPresscom

Tenseur métrique: 2 2 0 (') ()()() (') 03 GPGP Gt a a ⎛⎞ ==⎜⎟ ⎝⎠ Maille : Aa B a== Γ=°390 Det(P) = 2 : la maille contient deux nœuds en (0,0) et ( ½, ½) : maille centrée Motif: une sphère en (0,0) Nombre de sphères dans la maille : 4/ 4 +1/ 1 = 2 Positions des ‘’creux’’ situés dans la maille : () 1111/2 01/2 Xx PP Yy

ä ä - ResearchGate

ij sont des fonctions diﬀérentiables sur U appellé composantes du tenseur métrique relativement á la carte (U,ϕ) Localement, si V = Vi∂ i et W= Wj∂ j on a g(V,W) = g ijViWj 3 Pour

Relativité Générale Reformulée - viXra

Avec cette métrique, on obtient, pour les composantes non nulles du tenseur de Ricci et la courbure scalaire : Le tenseur impulsion-énergie est elui d’un fluide parfait : qui s’é rit, dans les oordonnées o-mobiles : Formulation actuelle En appliquant les équations (RGκΛ), cela conduit aux équations de (Friedmann, 1922) :

Contrainte de transformation martensitique dans un alliage à

le tenseur métrique Trois grains (nommés A, B et C dans figure 1) sont concernés par l’analyse de contraintes par DRX au cours du chargement superélastique Pour des raisons expérimentales

Sommaire - peoplecsailmitedu

3 La métrique de Robertson-Walker page 6 4 Déplacement vers le rouge page 10 5 Le modèle standard page 13 6 Théorie des petites perturbations page 22 7 Théorie de l’univers primordial page 31 8 Modèles comportant une constante cosmologique page 38 Conclusion page 41

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Introduction au calcul tensoriel 4h

marc François

2 novembre 2007

Table des matières

1 Rappels sur les vecteurs 3

1.1 Notions et opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Rotations (transformations orthogonales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Objectivité et pertinence de la notation d"Einstein 5

3 Tenseurs du second ordre 7

3.1 Qu"est-ce qu"un tenseur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Produit tensoriel et base canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Produit simple ou contraction d"indice pour les tenseurs du premier et second ordre . . 9

3.5 Tenseur associé à un projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.6 Changement de base et transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.7 Double contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.8 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Bases des tenseurs du second ordre 12

4.1 Écriture de Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Base des tenseurs symétriques du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Base hydrostatique et déviatorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Tenseurs d"ordre supérieur et en particulier du quatrième ordre 14

5.1 Tenseurs d"ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 Les symétries indicielles du tenseur d"élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 Base minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4 Écriture de Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.5 Décomposition de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.6 Décomposition hydrostatique-déviatorique et loi d"élasticité isotrope . . . . . . . . . . . 17

5.7 Autres formes de la loi d"élasticité linéaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.8 Définition positive du tenseur d"élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.9 Fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.10 Une autre vision du critère d"Hencki-Huber-Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Dérivation des tenseurs 22

6.1 Dérivée par rapport à un scalaire, par exemple temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.2 Dérivée d"une fonction scalaire par rapport à un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.3 Dérivées spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Introduction

Ce document n"est pas un cours de mathématiques, toutes les démonstrations ne sont pas ex-

haustives. C"est une introduction au calcul tensoriel qui a pour but de présenter les outils les plus

performants pour travailler sur les problèmes de mécanique. Les méthodes de calcul des classes pré-

sur des tenseurs d"ordre supérieur à deux. Les concepts nouveaux, pour certains, seront les tenseurs

d"ordre supérieur à deux, le produit tensoriel, les contractions, les projecteurs du quatrième ordre.

Les notions ne sont pas abordées dans l"ordre classique des mathématiciens (voir pour cela dans

Wikipedia) mais dans une logique plus adaptée à nos travaux. Dans tout le document nous nous limitons au cas des bases orthonormées. Seuls les calculs sur les coques, en Mécanique, font appel à d"autres bases. 2

1 Rappels sur les vecteurs

1.1 Notions et opérations élémentaires

On considère un espace vectoriel de dimension 3. Sa base orthonormée (directe) est notée { ?ei}.

Pour un vecteur

?uquelconque, et en utilisant laconvention d"Einstein(l"indice répété est sommé) : u=uj?ej(1)

Distinguons à ce niveaul"écriture intrinsèque?uet lanotation indicielle uiqui dépend de la base choi-

sie. Cela prend toute son importance au niveau du principe d"objectivité (traité après). On utilise le

produit scalaire canonique;δijestl"indice de Kronekkerqui vaut 1 si i=j et 0 si non. ei.?ej=δij(2)

En utilisant (1, 2) il vient :

u.?ei=uj?ej.?ei =ujδij u i=?u.?ei(3)

Avec une démonstration équivalente, on a :

u.?v=uivi(4)

Rappelons que

?u.?v= ?u??v?cos(??u,?v), soit la contribution des deux vecteurs. En utilisant (1,3) on obtient le théorème de décomposition orthogonale : u=(?u.?ei).?ei(5)

Lanorme euclidienne naturelleest définie comme suit; sa valeur représente la longueur du vecteur.

?u?=?? u.?u=?u iui(6)

Lesymbole de permutation circulaire(de Levi-Civita)Πijkvaut 0 si un des indices est répété (p. ex.

122=0), 1 dans le cas d"une permutation directe de (1,2,3) :Π123=Π231=Π312=1 et-1 dans le cas

d"une permutation indirecte :Π321=Π213=Π132= -1. On vérifie aisémentΠijkΠijk=6. Leproduit

vectorielse définit comme : ej??ek=Πijk?ei(7) u??v=Πijkujvk?ei(8)

On rappelle la relation??u??v?=?u??v?sin(??u,?v). Combiné avec le produit vectoriel, on défini lepro-

duit mixtedont on rappelle quelques propriétés : ?u,?v,?w)=(?u??v).?w(9) =det([?u,?v,?w]) (10)

Cette valeur correspond au volume du parallélépipède généré par les trois vecteurs.

1.2 Changement de base

Ces notions sont triviales mais on se trompe si souvent que je crois bon de les rappeler. Soient

ei"l"ancienne»base et?Eila "nouvelle». Partant du théorème de décomposition orthogonale (5), on

définitla matrice de changement de base P:

Ej=(?Ej.?ei)?ei

Ejdef=Pij?ei(11)

?ei?Pij=?ei.?Ej P ij=?ei? Ej? (?ei.?Ej)? (12) classique suivante : ei=(?ei.?Ej)?Ej =Pij?Ej =PijPkj?ek or, ?ei=δik?ek ?PijPT jk=δik P -1=PT(13) Il faut bien faire attention au sens des indices lorsqu"on travaille sur les composantesv(dans l"an- cienne base) etV(dans la nouvelle) du vecteur?v: V j=?v.?Ej ?v.Pij?ei ?Vj=Pijvi=PT jivi(14) Finalement, pour avoir les composantesVj, dans la nouvelle base, il faut utiliserPTpour effectuer un produit ligne colonne... À l"inverse : v j=P-1 ijVi =PjiVi en permutant i et j :vi=PijVj(15)

1.3 Rotations (transformations orthogonales)

Considérons l"opérateurR?SO(3), oùRest la matrice associée et legroupe des transformations

orthogonalesougroupe des rotations(le groupe des rotations et symétries, où det(R)=±1 se nomme

O(3)).

R?SO(3)??R.RT=I et det(R)=1 (16)

Par définition la matrice est construite de manière suivante, toujours à partir de la décomposition

orthogonale :

R(?ej)=(R(?ej).?ei)?ei

def=Rij?ei ?ei?Rij=?ei.R(?ej) R ij=?eiR(?ej)? (?ei.R(?ej))? (17)

Les composantes d"un vecteur

?us"obtiennent comme suit, toujours depuis la décomposition ortho- gonale : u=uj?ej

R(?u)=ujR(?ej)

R(?u)=ujRij?ei

R(?u).?ei=ujRij

R(?u)i=Rijuj(18)

On remarque que, par rapport à (15), le sens de calcul est différent.

Démonstrations

Montrons la propriété (16) à partir de la propriété de l"opérateurR: il conserve les angles, donc

les produits scalaires. R ij=?ei.R(?ej) R ij=R-1(R(?ej)).R-1(?ei) R ij=?ej.R-1(?ei) R ij=R-1 ji =?R=R-T =?RT=R-1

Montrons que le déterminant vaut 1 : la base

?eiest orthonormée, donc : e1.(?e2??e3)=1

R(?e1).(R(?e2)?R(?e3))=1

R i1?ei.(Rj2?ej?Rk3?ek)=1 =?det(R)=1

2 Objectivité et pertinence de la notation d"Einstein

sie (purement mathématique, elle n"a pas de sens physique). Par exemple ?uest une grandeur objec- 5 tive, maisui(un seul terme...) ne l"est pas.

La convention d"Einstein est de sommer l"indice répété. Nous allons montrer qu"un terme ainsi

sur une sommation de composantes, comme dans le cas du produit scalaire, on montre que la pro-

priété (13) entraînel"invariancedu résultat par rapport à la base. Considérons le calcul de?u.?vdans

l"ancienne base : u.?v=uivi =PikUkPilVl =PT kiPilUkVl =δklUkVl =UkVk

Le même calcul, quelque soit la base, donne le même résultat; c"est un invariant et un phénomène

physique peut être décrit en fonction d"un produit scalaire; par exemple le travail d"une force dW=

F.dl=Fidline dépend (heureusement!) pas de la base choisie.

Pour une expression contenant à la fois composantes et vecteurs de base, le résultat est similaire :

u=ui?ei =PikUkPil?El =PT kiPilUk?El =δklUk?El =Uk?Ek

Il n"est pas nécessaire d"aller plus loin, répéter unnombre pair de foisdans une expression est une

posons que ?uest le vecteur (L,H,P) représentant les cotes d"un bureau :u1=1m n"a pas de sens car il

dépend de la base choisie : est-ce la longueur, la largeur, la hauteur? Par contre??u? =2m représente

la "trissectrice»du bureau (sa plus grande longueur) et c"est un invariant. Pour que ?u1représente la longueurdubureauilfautque

C"est ce que l"on rencontrera avec l"anisotropie.

Précisons enfin que tout calcul issu d"une écritureintrinsèque, ne dépendant d"aucune base, est

par essence objective. Par exemple, on pourra calculer ?n.C.?n, ou(?u?(?n??m)):Csans états d"âme. Démonstrations : le cas du produit vectoriel, produit mixte et du déterminant Vérifions l"invariance du produit vectoriel (vous êtes vous déjà posé la question?) : ijkujvk?ei=ΠijkPjqUqPkrVrPip?Ep =ΠijkPipPjqPkrUqVr?Ep 6

Analysons le termeΠijkPipPjqPkr. À ce niveau je n"ai pas trouvé plus astucieux que d"analyser les cas

possibles. Dans ce qui suit l"indice répété n"est pas sommé. si p=q alorsΠijkPipPjpPkr=ΠijkPipPT pjPkr =ΠijkδijPkr =0 carΠijk=0,si i=j etδij=0,si i?=j

On a la même chose en analysant les cas q=r et p=r. Donc il nous reste à analyser les cas ou (p,q,r)

sont différents. Commençons par le cas où ils forment une permutation directe, par exemple (1,2,3).

Alors :

ijkPipPjqPkr=ΠijkPi1Pj2Pk3 =det(P) =1

Dans le cas d"une permutation indirecte on trouve bien sûr-1. L"ensemble de ces résultats montre

que le terme recherché vaut 0 si deux indices sont égaux, 1 si (p,q,r) forment une permutation directe

et-1 s"ils forment une permutation indirecte; c"est à dire : ijkPipPjqPkr=Πpqr(19)

Et donc, notre calcul devient :

ijkujvk?ei=ΠpqrUqVr?Ep

port au choix de la base. Cette propriété est vrai grâce aux propriétés particulières deΠ(qui n"est pas

un tenseur mais un pseudo-tenseur... et dont (19) montre qu"il est isotrope). Composé d"un produit

scalaire et d"un produit vectoriel, le produit mixte(et donc le déterminant) est lui aussi un invariant.

?f=q?v??b est la force de Lorentz.

3 Tenseurs du second ordre

3.1 Qu"est-ce qu"un tenseur?

Souvent posée par les étudiants, cette question n"a rien d"évident pour les tenseurs du premier

ordre (vecteurs) et du second, qui sont souvent assimilés à leur matrice de composantes. La défini-

tion la plus simple est à mon sens celle trouvée dans Wikipedia : Une application linéairefd"un espace E vers un espace F est décrite par une matrice M dont les

coefficients dépendentde la base deE etde celle deF. Letenseur représente l"ensemble desreprésen-

tations defdans toutes les bases. Une matrice est un tenseur dit " d"ordre 2 ».

Donc un vecteur

?ul"ensemble des matricesui, (1,3) ou (3,1), dans toutes les bases.

Un tenseur du second ordreσ, est l"ensemble des matricesσij(3,3) ou (1,9) ou (9,1) dans toutes les

bases. 7

On retient donc que le mot tenseur est associé à une représentationintrinsèqueet que l"ordren

représente le nombre d"indices; on a donc en général 3 ncomposantes dans un espace de dimension 3.

Les tenseurs furent inventés dans les années 1900 par Voigt et Levi-Civita; certains prémices se

trouvent dans les travaux d"Hamilton (1846). L"analyse tensorielle a été utilisée par Einstein vers 1915,

normée, les choses sont nettement plus compliquées, il faut alors distinguer les tenseurs covariants

et contravariants, et utiliser le tenseur métrique.

3.2 Notations

Pas de règle universelle, hélas. Je montre ci-dessous les représentations les plus répandues. No-

ter que les notations en gras sont équivalentes (ce sont des raisons techniques de typographie) aux

notations en relief. Rappelons que les scalaires se notent en italique (p. ex.x) et les matrices, en tant

TAB. 1 - notations des tenseursordrecomposantes.fr.us- 1u i?quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

[PDF] Introductionau calcultensoriel4h