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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie?

16 novembre 2016

EXERCICE1 Communà tous les candidats 4 points

1.On considèrefla fonction définie surRparf(x)=(2x+3)e-x.

a.f?(x)=2e-xb.f?(x)=-2e-x c.f?(x)=(2x+5)e-xd.f?(x)=(-2x-1)e-x

Réponse d.

f

2.On considère le nombreI=?

1

0?2e2x+3?dx.

a.I=e2+3b.I=e2+2 c.I=2e2+3d.I=2e2-2

Réponse b.

Une primitive dex?-→2e2x+3 estx?-→e2x+3x, doncI=? e2x+3x? 1

0=?e2+3?-?e0+0?=e2+2.

3.On considèregla fonction définie surRparg(x)=5ex+3.

La tangente à la courbe représentative degau point d"abscisse 0 passe par le point : a.A(1 ; 5e+3)b.B(-1 ; 5) c.C(1; 13)d.D(0; 3)

Réponse c.

La tangente en 0 a pour équationy=g?(0)(x-0)+g(0). g(0)=8;g?(x)=5exdoncg?(0)=5. D"où l"équation de la tangente :y=5x+8.

4.On considèrehla fonction définie surRparh(x)=x3-6x+3.

a.hest strictement croissante surRb.hest concave sur [0 ;+∞[ c.hest concave surRd.hest convexe sur [0 ;+∞[

Réponse d.

h(x)=x3-6x+3 donch?(x)=3x2-6 eth??(x)=6x>0 sur[0 ;+∞[.

Donc la fonctionhest convexe sur[0 ;+∞[.

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

EXERCICE2 Candidats n"ayant pas suivil"enseignementde spécialité5 points

PartieA

Soit (un)la suite définie paru0=350 et, pour tout entier natureln,un+1=0,5un+100.

1.u1=0,5×350+100=275 etu2=0,5×275+100=237,5.

2.On considère la suite(wn)définie pour tout entier naturelnparwn=un-200.

Donc, pour toutn,un=wn+200.

w

0=u0-200=350-200=150

Donc la suite (wn) est géométrique de raisonq=0,5 et de premier termew0=150. On en déduit que, pour toutn,wn=w0×qn=150×0,5n. b.On a àla foiswn=150×0,5netun=wn+200 donc on peut en conclure que, pour tout entier naturel n,un=200+150×0,5n.

PartieB

d"enfants inscrits dans cette association est 500 dont 350 filles.

Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l"évolution du nombre d"adhérents lors

des prochaines années à la modélisation suivante :

— Chaque année, la moitié des filles inscrites l"année précédente ne renouvellent pas leur inscription; par

ailleurs l"association accueille chaque année 100 nouvelles filles.

— D"une année à l"autre, le nombre de garçons inscrits à l"association augmente de 10%.

1.On représente l"évolution du nombre de filles inscrites dansce club par une suite(Fn)oùFndésigne le

nombre de filles adhérentes à l"association en l"année 2015+n. On a doncF0=350.

La moitié des filles ne renouvellent pas leur inscription d"une année sur l"autre donc il faut multiplier

le nombre de filles l"annéenpar 0,5 pour avoir le nombre de filles qui renouvellent leur inscription. De

plus chaque année l"association accueille 100 nouvelles filles donc il faudra rajouter 100 pour obtenir le

nombre de filles l"annéen+1.

Autrement dit, pour toutn,Fn+1=0,5Fn+100.

2.On représente l"évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite(Gn), oùGndésigne

le nombre de garçons adhérents à l"association l"année 2015+n. a.D"après le texte,G0=500-350=150. Augmenter de 10%, c"est multiplier par 1,1 donc, pour toutn,Gn+1=1,1Gn. La suite (Gn) est donc une suite géométrique de raisonq=1,1 et de premier termeG0=150 donc, pour toutn,Gn=G0×qn=150×1,1n. b.On cherchentel queGn>300; on résout cette inéquation : G n>300??150×1,1n>300 ??1,1n>2 ??ln(1,1n)>ln(2) croissance de la fonction ln sur]0 ;+∞[ ??nln(1,1>ln(2) propriété de la fonction ln ??n>ln(2) ln(1,1) ln(2)

ln(1,1)≈7,27 donc c"est à partir de 8, c"est-à-dire de l"année 2015+8=2023 que le nombre de gar-

çons dépassera 300.

Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna- Corrigé216 novembre 2016

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

3.On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser

celui des filles. On propose l"algorithme suivant :

Initialisation

Affecter ànla valeur 0

Affecter àGla valeur 150

Affecter àFla valeur 350

Traitement

Tant queG?F

nprend la valeurn+1

Gprend la valeur 1,1G

Fprend la valeur 0,5F+100

Fin tant que

Sortie

Afficher le nombren

a.On complète le tableau suivant (résultats arrondis à l"unité) :

Valeur den01234

Valeur deG150165182200220

Valeur deF350275238219209

ConditionG?Fvraivraivraivraifaux

b.L"affichageobtenu estdonc4cequi signifiequ"en 2019 le nombredegarçonsauradépassé lenombre de filles dans le club. EXERCICE2 Candidats ayant suivi l"enseignementde spécialité 5 points Pierre prend des cours de natation; il effectue plusieurs plongeons.

LorsquePierreréussit unplongeon, ilprendconfianceenluietlaprobabilitéqu"ilréussisse leplongeon suivant

est de 0,7.

Par contre,lorsqu"il ne réussit pas un plongeon, la probabilité qu"il réussisse le plongeon est égale à 0,2.

On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon. L"état "plongeon réussi» est notéR; l"état "plongeon non réussi» est noté R.

Pour tout entier natureln>1, la probabilité que Pierre réussisse sonn-ième plongeon est notéean, tandis que

la probabilité que Pierre ne réussisse pas sonn-ième plongeon est notéebn. La matrice lignePn=?anbn?donne l"état probabiliste du système lors dun-ième plongeon.

1.On représente la situation à l"aide d"un graphe probabiliste de sommetsRet

R: RR 0,3 0,2

0,70,8

2.D"après le texte, on a :?an+1=0,7an+0,2bn

b n+1=0,3an+0,6bn ce qui s"écrit sous forme matricielle : ?an+1bn+1?=?anbn?×?0,7 0,30,2 0,8? Donc la matrice de transition de ce graphe estM=?0,7 0,30,2 0,8? Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna- Corrigé316 novembre 2016

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

3.On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon donca1=1 etb1=0, doncP1=?1 0?.

4.La probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeonestP4:

P

On trouve à la calculatriceP4=?0,475 0,525?.

5.D"après le texte, pour toutn,an+bn=1.

On a vu quean+1=0,7an+0,2bndoncan+1=0,7an+0,2(1-an)ou encorean+1=0,5an+0,2. On a donc démontré que, pour toutn?1,an+1=0,5an+0,2.

6.Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ou égale à 0,41, le maître-

nageur demande à Pierre de faire une pause. On veut alors déterminer au bout de combien d"essais Pierre arrête sa série de plongeons. On cherche donc le plus petit entier natureln?1 tel quean?0,41. On complète l"algorithme proposé dans le texte :

Initialisation

quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6