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SESSION 2014

Métropole - Antilles - Guyane - Réunion

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

ÉPREUVE E 4

MATHÉMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUE ET MULTIMEDIA

Série STAV

Durée : 2 heures

Matériel(s) et document(s) autorisé(s) : CALCULATRICE

Le sujet comporte 6 pages

L'annexe A est à rendre avec la copie

SUJET

EXERCICE 1 (6 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

PARTIE A

On souhaite implanter un parc éolien dans une région et pour cela on réalise un sondage sur la population

proche.

Les résultats obtenus sont les suivants :

- 60 % de la population interrogée est contre l'implantation de ce parc éolien dans leur région et parmi

eux 25 % se définissent écologistes.

- Parmi la population interrogée favorable à l'implantation de ce parc, 10 % se définissent écologistes.

On interroge au hasard une personne issue de cette population.

On note F l'évènement " la personne interrogée est favorable à l'implantation de ce parc éolien ».

On note E l'évènement " la personne interrogée se définit écologiste ». 1.

Décrire cette situation avec un arbre de probabilités, en précisant sur chaque branche la valeur des

probabilités. 2.

Calculer la probabilité que la personne interrogée se définisse écologiste et soit contre l'implantation du

parc éolien dans sa région.

3. Montrer que = 0,19.

)(Ep 4.

Calculer)(Fp

E (on donnera une valeur approchée à près) et donner la signification du résultat obtenu dans le contexte de l'exercice 2 10

2014-BAC31-NOR-ME-AN-GU-RE 1/6

PARTIE B

On s'intéresse à la rentabilité énergétique d'un parc d'éoliennes dans une région.

Les relevés météorologiques sur une année montrent que la probabilité d'avoir des conditions optimales de

fonctionnement de ce parc est de 0,45.

On admettra que les conditions météorologiques sont indépendantes d'une année sur l'autre.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre d'années pour lesquelles ces conditions optimales de

fonctionnement sont réunies sur une période de 10 ans. Tous les résultats numériques seront arrondis à près. 3 10

1. Justif

ier que la loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres

10n et . 45,0p

Calculer l

a probabilité pour que les conditions optimales de fonctionnement de ce parc ne soient jamais atteintes durant cette période.

3. Calculer la probabilité pour que les conditions optimales de fonctionnement de ce parc soient atteintes au

moins deux années durant cette période.

EXERCICE 2 (5 points)

On considère une fonction définie et dérivable sur l'ensemble des réels. f

Le plan ét

ant muni d'un repère orthonormé, on note sa courbe représentative et f

CT la tangente à au

point d'abscisse 0. f C

La courbe n'admet que deux tangentes horizontales, l'une en A et l'autre en B, et la droite d'équation

est une asymptote horizontale à en f C 1y f C. T 5 4 3 A 2 1 0 - 9 - 8 - 7 - 6 1 2 3 - 10 - 4- 3- 2- 5- 10 C f - 1 B - 2 - 3

À l'aide de cette représentation graphique et des données de l'énoncé, répondre aux questions suivantes en

expliquant votre démarche.

1. Déterminer .

)0(f

2. Détermin

er )0('f

3. Résoudre l'équation 0)('xf.

4. Déterminer la limite de en .

5. On note . Montrer que

1 4 )(dxxfI95I.

2014-BAC31-NOR-ME-AN-GU-RE 2/6

EXERCICE 3 (9 points)

Soit g la fonction définie sur l'intervalle par 3;0 )ln(221)( 2 xxxxg. On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé. g C 1. Calculer la limite de en 0 et interpréter graphiquement ce résultat. g 2. a.

Détermin

er l'expression de la fonction dérivée de g. b. Démontrer que pour tout x de l'intervalle , est du signe de . 3;0)('xg2 2 xx c.

Résoudre l'équation dans . 02

2 xx3;0 d. Dresser le tableau de variation de la fonction sur . g3;0 3. a.

Compléte

r le tableau de valeurs présenté en ANNEXE A (à rendre avec la copie) en arrondissant les résultats à près. 1 10 b. Tracer sur le papier millimétré joint (à rendre avec la copie), la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormé d'unité graphique 2 cm. g C g 4. a. Vérifier que la fonctio n définie par

G)ln(2226

23
xxxxx)x(G est une primitive de la fonction sur . g3;0 b. Calculer la valeur exacte de . Donner une valeur approchée de cette intégrale à près. 2 1 )(dxxg 1 10 c. Interpréter géométriquement cette intégrale.

2014-BAC31-NOR-ME-AN-GU-RE 3/6

BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES

I. ALGÈBRE.

Identités remarquables :

222

2)(bababa ; ;

222

2)(bababa

22
bababa ; 32233

33)(babbaaba ;

32233

33)(babbaaba.

Suites :

Suites arithmétiques de raison

Terme initial ; ; ;

0 uauu nn 1 nauu n 0

2))(1(....

0 10n n uunuuu

Suites géométriques de raison :

Terme initial

0 u nn buu 1 n n buu 0 bbuuuu n n

11....

1 010 (). 1b

ÉQUATION DU SECOND DEGRE :

a, b, c, nombres réels tels que . 0aacb4 2

L'équation admet : 0

2 cbxax

1°) si 0, deux solutions réelles :

abx2' abx2''

On a alors :

2 xxxxacbxax avec abxx''' et acxx'''

2°) si

0, une solution réelle double :

2''xx'

et . 22
)'(xxacbxax

3°) si0, aucune solution réelle.

II. TRIGONOMÉTRIE : Valeurs remarquables (angles en radians) : 0 6 4 3 2 0 6 4 3 2 sin 0 21
23
1

0 cos 1

23
22
22
21
0 -1 III. STATISTIQUES : Moyenne, variance, écart-type. n i i xnx 1 1 n i in i i xxnxxnxV 1222
1 )(1)(1)( )(xV Dans le cas d'un regroupement en classes ou en tableau d'effectifs: p i ii xnnx 1 1 p i iip i ii xxnnxxnnxV 1222
1 )(1)(1)(

IV. PROBABILITÉS.

Dénombrements :

123)....2)(1(!nnnn

!)1).....(1( pnpn ppnnn pn pnn pn . Calcul de probabilités : )()()()(BApBpApBAp; )()()(BpBApAp B

Espérance d'une variable aléatoire:

n i ii xpXE 1

Loi binomiale :

knk ppknkXp )1()(

Espérance deX, variable aléatoire de loi

binomiale: npEX)(

2014-BAC31-NOR-ME-AN-GU-RE 4/6

V. ANALYSE 2014-BAC31-NOR-ME-AN-GU-RE 5/6

Fonction logarithme népérien :

est, sur , la primitive de ;0 xx 1 qui s'annule pour 1x

0)1ln( ; 1)ln(e

baablnln)ln( babalnlnln x x lnlim ; ; x x lnlim 0

0lnlim

xx x

Fonction exponentielle :

xréel, réel strictement positif : y x exy)exp( équivaut à yxln 1 0 e baba eee ba ba eee x x elim ; ; 0lim x x e xe x x lim Dérivées et primitives usuelles et opérations sur les dérivé es :

Intervalle de validité

)(xf )('xf Règles de calcul

IR k 0

IR x 1

'')'(vuvu IR n x, n IN* 1n nx

0; ou ;0

x1 2 1 x si constante réelle: k )'(kuku

0; ou ;0

n x, nZ* 1n nx '')'(uvvuuv ;0 x x21 2 ''1 uu u ;0 xln x1 sur tout intervalle où 0bax )ln(bax baxa 2 vuvvu vu IR x e x e IR bax e bax ea

IR xcos

xsin

IR xsin

xcos

Calcul intégral :

Définition :

Fest une primitive de,. f)()()(aFbFdttf

b a So mme : b ab ab a dttgdttfdttgf)()())((. Produit par une constante : b ab a dttfkdttkf)()(.

Positivité :

Si ba et , 0f b a dttf0)(

MINISTÈRE DE L'AGRICULTURE

M. EX. EXAMEN : N° ne rien inscrire

Nom : Spécialité ou Option :

(EN MAJUSCULES)

Prénom(s) : ÉPREUVE :

Date de naissance : 19 Centre d'épreuve :

Date :

ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)

N° ne rien inscrire

EXERCICE 3 Tableau de valeurs

Les résultats numériques seront arrondis à près. 1 10 x 0,25 0,5 0,75 1 2 2,5 3 )(xg

2014-BAC31-NOR-ME-AN-GU-RE 6/6

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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SESSION 2014

Métropole - Antilles - Guyane - Réunion

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

ÉPREUVE E 4

Série STAV

Durée : 2 heures

Le sujet comporte 6 pages

L'annexe A est à rendre avec la copie

EXERCICE 1 (6 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

PARTIE A

Les résultats obtenus sont les suivants :

3. Montrer que = 0,19.

Calculer)(Fp

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PARTIE B

1. Justif

10n et . 45,0p

Calculer l

3. Calculer la probabilité pour que les conditions optimales de fonctionnement de ce parc soient atteintes au

EXERCICE 2 (5 points)

Le plan ét

CT la tangente à au

1. Déterminer .

2. Détermin

3. Résoudre l'équation 0)('xf.

4. Déterminer la limite de en .

5. On note . Montrer que

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EXERCICE 3 (9 points)

Détermin

Résoudre l'équation dans . 02

Compléte

G)ln(2226

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BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES

I. ALGÈBRE.

Identités remarquables :

2)(bababa ; ;

2)(bababa

33)(babbaaba ;

33)(babbaaba.

Suites :

Suites arithmétiques de raison

Terme initial ; ; ;

2))(1(....

Suites géométriques de raison :

Terme initial

11....

ÉQUATION DU SECOND DEGRE :

L'équation admet : 0

1°) si 0, deux solutions réelles :

On a alors :

2°) si

0, une solution réelle double :

2''xx'

3°) si0, aucune solution réelle.

0 cos 1

IV. PROBABILITÉS.

Dénombrements :

123)....2)(1(!nnnn

Espérance d'une variable aléatoire:

Loi binomiale :

Espérance deX, variable aléatoire de loi

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V. ANALYSE 2014-BAC31-NOR-ME-AN-GU-RE 5/6

Fonction logarithme népérien :

0)1ln( ; 1)ln(e

0lnlim

Fonction exponentielle :

Intervalle de validité

IR k 0

IR x 1

0; ou ;0

0; ou ;0

IR xcos

IR xsin

Calcul intégral :