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Lycée Jean DROUANT
École Hôtelière de PARIS
20,rueMédéric
75 017 PARIS
COURS DEMATHÉMATIQUES
SECONDESTHR
Emmanuel DUPUY
Emmanuel-R.Dupuy@ac-paris.fr
PARISAnnée 2022-2023
COURS DEMATHÉMATIQUESLycée Jean DROUANTCLASSE DESECONDESTHRTABLE DES MATIÈRES
CHAPITRE1. Expressions algébriques
§ 1. Expressions algébriques.............................................................. 6 a.Expression polynomiale ............................................................ 6 b.Distributivité........................................................................ 6 c.Identités remarquables.............................................................. 6 d.Développement, factorisation et réduction ........................................ 7§ 2. Équations et inéquations du premier degré.......................................... 7
a.Résolution des équations du premier degré ........................................ 7 b.Résolution des inéquations du premier degré...................................... 8CHAPITRE2. Géométrie
§ 1. Géométrie analytique................................................................. 9
a.Repère du plan...................................................................... 9 b.Coordonnées d"un point............................................................ 10 c.Coordonnées du milieu d"un segment.............................................. 10 § 2. Configurations duplan............................................................... 11 a.Segment............................................................................. 11 b.Symétrique.......................................................................... 11 c.Triangle.............................................................................. 12 d.Quadrilatères ....................................................................... 12CHAPITRE3. Fonctions
§ 1. Fonctions.............................................................................. 13 a.Fonction............................................................................. 13 b.Tableau de valeurs .................................................................. 14 c.Représentation graphique .......................................................... 14 d.Lecture graphique .................................................................. 15 § 2. Résolutions graphiques............................................................... 16 a.Résolution graphique d"une équation du typef(x)=k............................ 16 b.Résolution graphique d"une équation du typef(x)=g(x)......................... 16CHAPITRE4. Information chiffrée
§ 1. Proportions........................................................................... 17 a.Proportion .......................................................................... 17 b.Proportion de proportion........................................................... 18§ 2. Taux d"évolution....................................................................... 19
a.Taux d"évolution .................................................................... 19 b.Coefficient multiplicateur .......................................................... 19 c.Calcul d"une grandeur............................................................... 20 d.Évolutions successives.............................................................. 21 2 COURS DEMATHÉMATIQUESLycée Jean DROUANTCLASSE DESECONDESTHR e.Évolution réciproque................................................................ 21CHAPITRE5. Étude qualitative d"unefonction
§ 1. Sens devariations d"unefonction.................................................... 22 a.Sens de variations d"une fonction................................................... 22 b.Tableau de variations d"une fonction............................................... 23 c.Tableau de variations d"une fonction de courbe donnée ........................... 23 d.Courbe d"une fonction compatible avec ses variations............................. 24 § 2. Fonctions monotones................................................................. 24 a.Fonction croissante ................................................................. 24 b.Fonction décroissante .............................................................. 25 § 3. Extremum d"unefonction............................................................ 25 a.Maximum d"une fonction........................................................... 25 b.Minimum d"une fonction........................................................... 26 § 4. Résolutions graphiques............................................................... 26 a.Résolution graphique d"une inéquation du typef(x)>k.......................... 26 b.Résolution graphique d"une inéquation du typef(x)>g(x)....................... 27CHAPITRE6. Statistiques
§ 1. Moyenne............................................................................... 28 a.Moyenne pondérée ................................................................. 28 b.Linéarité de la moyenne ............................................................ 29 § 2. Médiane et quartiles.................................................................. 29 a.Médiane............................................................................. 29 b.Quartiles ............................................................................ 29 c.Diagramme en boîtes ............................................................... 30§ 3. Variance et écart-type................................................................. 30
CHAPITRE7. Fonctions usuelles
§ 1. Fonctions affines...................................................................... 31 a.Fonction linéaire, fonction affine................................................... 31 b.Sens de variations................................................................... 31 c.Représentation graphique .......................................................... 32 d.Tableau de signes deax+b......................................................... 32§ 2. Fonction carré......................................................................... 33
a.Fonction carré....................................................................... 33 b.Sens de variations................................................................... 33 c.Représentation graphique .......................................................... 33 § 3. Fonction inverse...................................................................... 34 a.Fonction inverse .................................................................... 34 b.Sens de variations................................................................... 34 c.Représentation graphique .......................................................... 35 § 4. Fonction racine carrée................................................................ 36 a.Fonction racine carrée .............................................................. 36 b.Sens de variations................................................................... 36 c.Représentation graphique .......................................................... 36 3 COURS DEMATHÉMATIQUESLycée Jean DROUANTCLASSE DESECONDESTHR § 5. Fonction cube......................................................................... 37 a.Fonction cube....................................................................... 37 b.Sens de variations................................................................... 37 c.Représentation graphique .......................................................... 37CHAPITRE8. Probabilités
§ 1. Probabilités........................................................................... 38
a.Univers.............................................................................. 38 b.Loi de probabilité ................................................................... 39 c.Événement .......................................................................... 39 d.Probabilité d"un événement ........................................................ 40 § 2. Calculsde probabilités................................................................ 40 a.Intersection de 2 événements....................................................... 40 b.Réunion de 2 événements .......................................................... 41 c.Événement complémentaire........................................................ 41CHAPITRE9. Équations dedroites et systèmes
§ 1. Équations dedroites.................................................................. 42 a.Équation cartésienne d"une droite.................................................. 42 b.Équation réduite d"une droite ...................................................... 43 c.Interprétation géométrique des paramètres........................................ 44 d.Détermination de l"équation réduite d"une droite.................................. 44 e.Parallélisme de droites .............................................................. 45§ 2. Systèmes linéaires de deux équations à deuxinconnues............................ 45
a.Résolution par combinaison........................................................ 45 b.Résolution par substitution......................................................... 46 c.Résolution graphique ............................................................... 46 CHAPITRE10. Fluctuation d"échantillonnage et estimation § 1. Fluctuation d"échantillonnage....................................................... 47 a.Simulation .......................................................................... 47 b.Intervalle de fluctuation au seuil de 95% ........................................... 48 c.Prise de décision .................................................................... 48 § 2. Estimation............................................................................. 48 a.Estimation .......................................................................... 48 b.Intervalle de confiance.............................................................. 49ANNEXEA. Ensembles denombres
§ 1. Ensemble des nombres réels.......................................................... 50 § 2. Intervalles deR........................................................................ 51 a.Intervalles bornés................................................................... 51 b.Intervalles non bornés.............................................................. 51 c.Intersection et réunion de deux intervalles......................................... 52ANNEXEB. Algorithmiqueet Programmation
§ 1. Elements d"algorithmiqueet deprogrammation.................................... 53 a.Algorithme et programme .......................................................... 53 b.Variable ............................................................................. 53 c.Instruction .......................................................................... 54 4 COURS DEMATHÉMATIQUESLycée Jean DROUANTCLASSE DESECONDESTHR § 2. Python................................................................................. 54 a.Instruction .......................................................................... 54 b.Structure conditionnelle............................................................ 54 c.Boucle bornée....................................................................... 54 d.Boucle non bornée.................................................................. 55 5 COURS DEMATHÉMATIQUESLycée Jean DROUANTCLASSE DESECONDESTHRCHAPITRE
1EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
Expressions polynomiales.
Identités remarquables.
Résolution algébrique d"équations ou d"inéquations. Développer, factoriser, réduire, des expressions algébriques. Utiliser la forme la plus adéquate pour résoudre un problème. Résoudre algébriquement une équation du premier degré. Résoudre algébriquement une inéquation du premier degré. Modéliser un problème par une équation ou une inéquation.CONNAISSANCES ETCAPACITÉS
§ 1. Expressions algébriques
a. Expression polynomialeEXEMPLE
L"expression algébrique 4x2-3x+5 est une expression polynomiale du second degré. Le terme 4x2est le monôme de degré 2 et son coefficient est le réel 4. Le terme-3xest le monôme de degré 1 et son coefficient est le réel-3. Le terme 5 est le monôme de degré 0 ou le terme constant. b. DistributivitéPour n"importe quels réelsa,b,c,detk:
c. Identités remarquablesPour n"importe quels réelsaetb:
CHAPITRE1. EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES6
COURS DEMATHÉMATIQUESLycée Jean DROUANTCLASSE DESECONDESTHR d. Développement,factorisation etréduction Développerune expression, c"est l"écrire sous la forme d"une somme. Factoriserune expression, c"est l"écrire sous la forme d"un produit. Réduireune expression, c"est l"écrire sous la forme la plus simple possible.DÉFINITIONEXERCICE
1. Développer puis réduire l"expression E=(3x-1)(5x+1)-(3x-1)2.
2. Factoriser E.
3. Calculer la valeur de E lorsquex=0, puis lorsquex=-1.
SOLUTION
1. E=(3x-1)(5x+1)-(3x-1)2
E=15x2+3x-5x-1-(9x2-6x+1)
E=15x2-2x-1-9x2+6x-1
E=6x2+4x-22. E=(3x-1)(5x+1)-(3x-1)2
E=(3x-1)(5x+1)-(3x-1)(3x-1)
E=(3x-1)[(5x+1)-(3x-1)]
E=(3x-1)(2x+2)
3. Lorsquex=0, on a : E=6×02+4×0-2=-2.
Lorsquex=-1, on a : E=(3×(-1)-1)×(2×(-1)+2)=-4×0=0. § 2. Équations et inéquationsdu premier degré a. Résolutiondes équationsdu premier degréPour n"importe quels réelsa,betx:
x+a=b?x=b-aPour n"importe quels réelsa?=0,betx:
ax=b?x=b aPROPRIÉTÉEXERCICE
Résoudre l"équation (E) : 7x-1=3(x+2).
SOLUTION
7x-1=3(x+2)?7x-1=3x+6
?7x-3x=6+1?4x=7 ?x=74?x=1,75
La solution de l"équation (E) est le réel 1,75.CHAPITRE1. EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES7
COURS DEMATHÉMATIQUESLycée Jean DROUANTCLASSE DESECONDESTHR b. Résolutiondes inéquationsdu premier degréPour n"importe quels réelsa,betx:
x+a?b?x?b-aPour n"importe quels nombresa>0,betx:
ax?b?x?b a -ax?b?x?-b aPROPRIÉTÉEXERCICE
Résoudre l"inéquation (I) : 2x-5?5x+1.
SOLUTION
2x-5?5x+1?2x-5x?1+5? -3x?6
?x?-63?x?-2
Les solutions de l"inéquation (I) sont les réels inférieursou égaux à-2.CHAPITRE1. EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES8
COURS DEMATHÉMATIQUESLycée Jean DROUANTCLASSE DESECONDESTHRCHAPITRE
2GÉOMÉTRIE
Abscisse et ordonnée d"un point dans un repère orthogonal.Milieu d"un segment.
Triangles, quadrilatères, cercles.
Repérer un point donné du plan.
Placer un point connaissant ses coordonnées. Calculer les coordonnées du milieu d"un segment. Utiliser les propriétés des triangles, des quadrilatères,des cercles. Utiliser les propriétés des symétries axiale ou centrale. Calculer des longueurs, des aires, des volumes. Utiliser les théorèmes de Thalès ou de Pythagore.CONNAISSANCES ETCAPACITÉS
§ 1. Géométrie analytique
a. Repère du plan Un triangle OIJ définit unrepèredu plan, d"origineO, noté(O ; I, J). Un triangle OIJ rectangle en O définit unrepère orthogonal. Un triangle OIJ rectangle et isocèle en O définit unrepère orthonormé. La droite (OI) s"appelle l"axe des abscisses,gradué comme sur la figure. La droite (OJ) s"appelle l"axe des ordonnées, gradué comme sur la figure.0 1 2 3 4-1-2-30
-1 -2 -31 234O IJ
DÉFINITION
CHAPITRE2. GÉOMÉTRIE9
COURS DEMATHÉMATIQUESLycée Jean DROUANTCLASSE DESECONDESTHR b. Coordonnées d"un pointA tout point M du plan muni d"un repère(O ; I, J)correspond en traçantdes parallèles auxaxes
un unique couple de nombres?xM;yM?comme précisé sur la figure.0 1 2 3 4 5-1-2-30
-1 -21 2345O IJ ???M x My M
PROPRIÉTÉ
Le couple?xM;yM?forme lescoordonnéesdu point M dans le repère(O ; I, J).Le nombrexMs"appelle l"abscissedu point M.
Le nombreyMs"appelle l"ordonnéedu point M.DÉFINITIONEXEMPLE
Dans un repère
(O ; I, J), on a :O(0 ; 0).
I(1 ; 0).
J(0 ; 1).
REMARQUE
Un point situé dans le "quart nord-est» a des coordonnées positives. Un point situé dans le "quart sud-ouest» a des coordonnées négatives. c. Coordonnées du milieu d"un segment Soient(O ; I, J)un repère du plan et deux points A?xA;yA?et B?xB;yB?. Si M est le milieu du segment [AB], alors ses coordonnées?xM;yM?sont données par les for- mules : xM=xA+xB
2 yM=yA+yB
2PROPRIÉTÉ
CHAPITRE2. GÉOMÉTRIE10
COURS DEMATHÉMATIQUESLycée Jean DROUANTCLASSE DESECONDESTHREXEMPLE
On considère les points A(-2 ; 1)et B(4 ; 3) dans le plan muni d"un repère (O ; I, J).Soit M le milieu du segment [AB].
On a :xM=xA+xB
2=-2+42=22=1.
On a :yM=yA+yB
2=1+32=42=2.
0 1 2 3 4 5-1-2-30
-11 234O IJ AB M