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Chapitre2

Vecteurs

2.1Intr oduction

livrescomposa ntlesElŽmentsen!300a vantJ.C..IlsÕagitdupremierouvrageconnu,Žcritpar Euclideluimme,proposan tuntraiteme ntaxiomatiqueetsy stŽmatiquedelagŽomŽtrie.Dans pardesl ettres etdechercherˆobtenirdesŽquat ionsli ant celles-ci.PierredeFermat futlÕundes

pourŽtudie rdesdroites,paraboles ,hyperboles .SesidŽessontprŽsen tŽesdanslÕouvrageAdlo cus

planosetsolidos isagoge.AtitredÕexemple,lesjeuxvidŽosactuelsreposentsurdeslogicielsde modŽlisationnumŽriquedontunemajeure partiereposesurducalculvectoriel. Dansunpre mierte mps,nousallonsfaireq uelquesrappelssurlesvecteurs.Nousaborderons

2.2Rap pels:gŽnŽralitŽsurlesve cteu rs

Danscequis uit,no usconsid ŽronsleplanR

2 quatrespointsdisti nctsduplan. RappellonslesrŽsultatsobt enusenclas sedeseconde. uestcara ctŽrisŽparsadirection,sonsens etsa longueur.

¥[Construction]PourtoutpointAetto utvecteur

u,ilexisteununiquepointMduplan telque AM= u. 17

18CHAPITRE2.VECTEURS

¥[RelationdeChasles]

AB+ BC= AC. ¥[CoordonnŽes]SiAetBontpourc oordonnŽesre spectives(x A ;y A )et(x B ;y B )alorsle vecteur

ABapourcoordonnŽes(x

B !x A ;y B !y A

¥[Multiplication]Si

uapourcoordonnŽes(x u ;y u )alors,pourtoutr Želk,levecteurk ua pourcoordon nŽes(kx u ;ky u 1.

AB(6;2),

AC(3;1)et

BC(3;!1).

2.

BAapourcoordonnŽes(!6;!2)et vŽriÞe

AB=!

BA.Levecteur

ABestdŽsig nŽcommele

vecteuropposŽde BA./

3.De plus,

AB+ BA= AA=

0estappelŽlevecteurnul.

RappelonsŽgalementle spropriŽtŽssuivantes:

PropriŽtŽs1.1.

AB=

DCsiet seuleme ntsiABCDestunpa rallŽlo gramme.

2.Le pointCestlemi lieudus egment[AB]sietseulementsi

AC= 1 2 AB. vectorielle AI= IB.

2.3Colin ŽaritŽentredeuxvecteurs

2.3.1DŽÞni tionetconsŽquences

colinŽaritŽ.VoiciladŽÞnitiondecet tenouvellenot ion.

DŽÞnition2.3.1.Deuxvecteu rsnonnuls

uet vsontcolinŽ airessietseulementsiilexisteun rŽelktelque v=k u. Remarque.Deuxvecteu rscolinŽairesontdonclam medirection(maispasforc Žmentlemme sens).Parconv ention,le vecteur VoiciŽgaleme ntdeuxconsŽquencedecettedŽ Þnition: 1.

ABestcolin Žaireˆ

2.L espointsA,B etCdupla n(distincts deuxˆdeux)sontalignŽssietseul ements i

ABet

ACsontcolinŽ aires.

2.3.COL INƒARITƒENTREDEUXVECTEURS19

Parlasu itenou sconsidŽrons

u(x,y)et v(x ,y )deuxvecteursdontlescoordonnŽessont

DŽÞnition2.3.2.Leno mbrerŽelxy

!yx estappelŽ dŽterminantdesvec teurs uet v.Nousle noteronspar det( u, v)=det(A)= xx yy =xy !yx

Proposition8.Lesvecteu rs

u(x,y)et v(x ,y )sontcolinŽ airessietseulementsidet( u, v)=0. leurscoordon nŽessontproportionelles.

DŽmonstration.ProcŽdonsparŽquivalence .

1.Su pposonsquelesvecteurs

u(x,y)et v(x ,y rŽelktelque u=k usÕexprimentenfonction dece llede v.CÕest-ˆ-dire:(x,y)=(kx ,ky ).Ain si, det( u, v)=xy !yx =kx y !ky x =k(x y !x y )=0

2.Su pposonsquelÕidentitŽde t(

u, v)=xy !yx =0soitvŽriގe.Si uestlevect eurnul, par convention vet usontcolinŽ aires.Maintenantsi u#=

0,cÕestquelÕunedesescoordon-

pouvonsalorsutilis erlarelationxy !yx =0pourobtenir y x x y

EndÕ autrestermes,y

=kyaveck= x x $R.Ainsi(x ,y )=k(x,y)etdonc v=k u, lesvect eurssontbiencolinŽaires.Par symŽtrie,lamm edŽmonstrationfonctionnemutatis mutandissix=0ety#=0. Voiciquelques courtexemplesmettantenj eulecalculvecto rieletlac olinŽarit Ž.

Exemple2.3.1.1.Le svecteurs

u(2,5)et v(3, 15 2 )sontcolinŽairescardet( u, v)= 2% 15 2 !5%3=0.

ˆladroite(IJ).

Exercice1.Proposerunalgorithme permett antdesavoirsitroispoin tssontalign Žs.

20CHAPITRE2.VECTEURS

2.4DŽc ompositiondÕunvecteur

lesnota tionssuivantesparlasuite: OI= iet OJ= j. (OJ)sontorthog onales(perpendiculaires)etquelesvecte urs iet jsonttousle sdeuxde mmenor me. quelesvect eurs iet jsoientforcŽmentd emmenorme. iet jsoientnoncolinŽa ires. ainsiquedeuxv ecteursnonc olinŽaires(ici iet i, j). OM=x i+y j ¥PardŽÞn ition,lescoordonnŽesdÕunvecte ur i; j)sontcellesde lÕuniquepointMdupl antelque OM= w.

2.4.2DŽcompos itiondÕunvecteur

ConsidŽrons

uet vdeuxvect eursnon-colinŽairesduplan.E tantdonnŽ,unvecteur wdupl an, iles ttoujour spossiblededŽcomposercelui-c isuivantlesvecteurs uet v.PlusprŽcisŽment,nous uet vdeuxvecteu rsnoncolinŽairesduplan.Pourtoutve cteur wduplan , ile xisteununiquecouple derŽels (a;b)$R 2 telsque w=a u+b v OU= u(respec- tivement OV= v).Si milairement,dŽsignonsparMlÕuniquepointduplan telque OM= w. lepo intMcoupeladroit e(OV)enunpointy.Autrementdit,MapourcoordonnŽes(x,y) i, j).

Depl us,OxMyestunpa rallŽlo grammedonc

OM= Ox+ Oy.

2.5.BIL ANDUCHAPITRE21

Enout re,lesvecteurs

uet

OxsontcolinŽ aires:ilexistedonca$Rtelque

Ox=a u.De vet

Oy,ilexisteb$Rtelque

Oy=b v.Par OM=a u+b v

2.(U nicitŽdeladŽcomposition).Rai sonnons parlÕabs urdeensu pposantquÕilexistedeuxdŽ-

compositions(a;b)et(a ,b )duvecteur wpouraboutir ˆunecontradiction .Au trementdi t, noussuppos onsquelesdeuxŽgalitŽs suivant essontsat isfaitespourd escouples(a;b)$R 2 et (a ,b )$R 2 w=a u+b vet w=a u+b v Cesiden titŽsnouspermettentdÕobten iralorsquea u!a u=b v!b v.DÕo, (a!a u=(b !b) v.

Sia#=a

nousendŽdui sonsalo rsque u= b "b a"a v.Autrementdit, uestcolin Žaireˆ v.Ceci .Similairement,nousobtenonsŽgalement b=b parlem merai sonnement.

2.4.3Appli cation

SoitAGFuntr ianglenonaplati.

1.Plac erlespointsBetCtelsque

AB=2 AG+ AFet GC= 1 3 GF.

2.DŽ montrerquelespointsA,BetCsontalignŽ senutiliserlecalculve ctorie l,puisenchoisis-

2.5Bil anduchapitre

Voicilessavo irsfaireˆ acquŽrirdanscechapit re: ¥ManipulerlesopŽrat ionsŽlŽmen tairesducalculsvectoriels(m ilieu,relationdeChas les,...) ¥MaitriserlanotiondecolinŽari tŽets escaractŽristiq ues.

22CHAPITRE2.VECTEURS

2.6Pour ensavoirpl us

2.6.1Quelq uesremarquessurlagŽomŽtrie noneuclidienne

AudŽ butdecechapitre nousa vonsan noncerquenousallionsŽtudierlagŽomŽtri eeucli dienne

dÕunpoin tdevuvectoriel. Cet ŽnoncŽso us-entendquÕilexisteraitdesgŽomŽtrie snoneuc lidienne.

Quepour raient-ellestresetquellesseraientlesdi!Žrencesav eclagŽomŽtr ieenseig nerdans lÕenseignementprimaireetsecondaire? Pourmieuxc omprendrececii lestutilederevenirauxElŽmentsdÕEuclide.DanssontraitŽ,

Euclideconstruittoutel agŽomŽtriequenousconnaisson s(propriŽtŽsdestrianglesŽquilat Žraux,

etc,...)ˆlÕaidederai son nementslogico-dŽductif ˆparti rdÕunelistedecinqaxiomes.Parexemple:

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