PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
1 PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR 1 3 Algorithme d’Euclide Théorème 1 : Soit a et b deux naturels non nuls tels que b ne divise pas a La suite des divisions euclidiennes suivantes finit par s’arrêter
bezout gauss cp - Pierre Lux
Title: Microsoft Word - bezout_gauss_cp doc Author: Pierre Created Date: 6/14/2007 11:40:02 AM
University of Toronto Department of Mathematics
THEOREME DE BEZOUT POUR LES par FONCTIONS DE LIOUVILLE KHOVANSKI Insti tut deg Hautes Etudes Scientifiques 35, route de Chartres 91440 — (France) September 1981
PGCD, égalité de Bézout
15 3 Égalité de Bézout 13 Proposition 15 10 Soient a , b et c trois entiers relatifs Si a j c, b j c, a et b sont premiers entre eux alors ab j c Dv Démonstration de la proposition15 10 Comme a j c, il existe d 2 Z tel que c = ad
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ARITHMETIQUE
PARTIE 2
Chapitre 3 PGCD, PPCM, théorème de Bézout, théorème de GaussArithmétique partie 2
P G C D, P P C M , T H E O R E M E D E B E ZO U T, T H E O R E M E D E G AU S SArithmétique partie 2
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I. PGCD
1. Définition
Soit ܽ et ܾ deux nombres entiers non nuls. Alors le plus grand diviseur commun des deux nombres ܽ et ܾ
est noté ܦܥܩܲExemple
Pour trouver le ܦܥܩܲ
Propriété (Démonstration hors programme)
Soit ݇ un entier naturel non nul, alors on a : ܦܥܩܲ2. Nombres premiers entre eux
Définition
On dit que deux nombres ܽ et ܾ
Remarque
Il ne faut pas confondre nombres premiers entre eux et nombres premiers. En effet, 32 et 33 ne sont pas
premiers car ils sont respectivement divisibles par 2 et 3. En revanche, 32 et 33 sont premiers entre eux
car leur PGCD vaut 1.3. Algorithme d·Euclide
L·algorithme d·Euclide permet de trouver " à la main » le PGCD de deux entiers. On souhaite déterminer
le PGCD de 32 et 44. Alors on fait la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit :On réalise ensuite la division euclidienne du diviseur de cette première division par son reste :
͵-LstHtEz
On répète la dernière opération jusqu·à trouver un reste nul :ͳ-LzHsE
ͺLvHtEr
Dès lors le ܦܥܩܲ
II. PPCM
Définition
Soient ܽ et ܾ deux entiers non nuls. Alors le ܯܥܲܲ de ܽ et ܾ noté ܯܥܲܲ
commun à ܽ et ܾ