TP4 : Développements limités

8 Trigonométrie 0 π/6 π/4 π/3 π/2 sinx 0 √ 1/2 √ 2/2 √ 3/2 1 cosx 1 √ 3/2 √ 2/2 √ 1/2 0 tanx 0 1/ √ 3 1 √ 3 indéﬁni cotan x indéﬁni √ 3 1 1/ √ 3 0 II Fonctions réciproques des fonctions circulaires

TP4 : Développements limités

Développement limité généralisé Dans un développement limité, la partie principale (avant le o ou le O) est polynomiale On peut définir des développements plus généraux Dans un développement limité généralisé, on autorise des puissances négatives de dans la partie principale Un développement limité généralisé (en ) est

Les Développements Limités

dit que f admet un développement limité à l’ordre n en x 0, en abrégé DL n(x 0), s’il existe des réelsa 0; ;a n etunefonction" : I R telsque: pourtoutx 2I

Développements limités usuels

Développements limités usuels Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas Formule de Taylor-Young en 0 f(x) =

Exercices - Développements limités :corrigé

Exercice 8 - Développement limité d’une fonction réciproque-L1/Math Sup/Oral Mines-?? Onremarqued’abordquef(x) = x+x3/2+o(x3) Ainsi,festcontinueen0avecf(0) = 0 et festdérivableen0avecf0(0) = 1 Ainsi,festcontinuesurR Ensuite,onvériﬁe(parexemple en la dérivant) que f est strictement croissante De plus, lim −∞f= −∞et lim +∞f

A – Développements limités

1-2 Développement limité au voisinage d’un point et changement de variable Déterminer le développement limité de la fonction f au voisinage d’un point x0 peut se ramener à la détermination d’un développement limité au voisinage de 0 Il suffit d’effectuer un changement de variable On pose : x x0 h, d’où : lim ( ) lim (0) 0 0

Développement limité des fonctions trigonométriques : 1)

Développement limité des fonctions trigonométriques : 1) Fonction cosinus : Soit f (x)=cos x On sait que f est indéfiniment dérivable sur IR et on a : π ∀ ∈ = + 2 n( ) ; ( ) cos n IN f x x n D’où 2 ( ) (0) cos π f n = n Par suite, = 2 ⇒n p f p(2 ) (0) cos p (= π = − 1)p 0 2 (2 1) 2 1 (0) cos = + π π

Chapitre 11 Formules de Taylor et développements limités

On reconnait le développement limité d'ordre 1 de fau voisinage de x 0 4 Développements limités 4 1 Dé nition Dé nition 1 : On dit que fadmet un développement limité à l'ordre nau voisinage de x 0 si, et seulement si, il existe un intervalle ouvert Icontenant x 0 et une fonction et un polynôme P nde degré inférieur ou égal à

Exo7 - Exercices de mathématiques

1 Développement limité en 1 à l’ordre 3 de f(x)= p x 2 Développement limité en 1 à l’ordre 3 de g(x)=e p x 3 Développement limité à l’ordre 3 en p 3 de h(x)=ln(sinx) Indication H Correction H Vidéo ⌅ [001243] Exercice 3 Donner un développement limité à l’ordre 2 de f(x)= p 1+x2 1+x+ p 1+x2 en 0 En déduire un

Fonctions de plusieurs variables - Université Paris-Saclay

Fonctions de plusieurs variables November 1, 2004 1 Diﬀ´erentiabilit´e 1 1 Motivation Pour une fonction d’une variable f, d´eﬁnie au voisinage de 0, ˆetre d´erivable en 0, c’est admettre

[PDF] TP4 : Développements limités

Développements limités usuels en 0 - H&K