Rappels sur les suites - Algorithme
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DERNIÈRE IMPRESSION LE14 septembre 2015 à 12:36
Rappels sur les suites - Algorithme
Table des matières
1 Suite : généralités2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exemples de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation ou monotonie d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Comment montrer la monotonie d"une suite. . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Visualisation d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Suite arithmétique (rappels)6
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Comment la reconnaît-on?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Expression du terme général en fonction den. . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Somme des premiers termes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Suite géométrique (rappels)7
3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Comment la reconnaît-on?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Expression du terme général en fonction den. . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Somme des premiers termes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Limite d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Algorithme9
4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Conventions pour écrire un algorithme. . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Les variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3.2 Déclaration des variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Affectation d"une variable numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.5 Lecture et écriture d"une variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.6 Les tests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.7 Les boucles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.7.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.7.2 La boucle conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.7.3 Boucler en comptant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Suite : généralités
1.1 Définition
Définition 1 :Une suite(un)est une fonction définie deN(ou éventuellement N-[[0,k]]) dansR. À un rang donnén, on associe un nombre réel notéun. (un):NouN-[[0,k]]-→R n?-→unRemarque :
N-[[0,k]]est l"ensembleNprivé des premiers naturels jusqu"àk unest appelé le terme général de la suite(un). Bien faire la différence entre la suite noté(un)et le terme général notéun Si une suite est définie à partir du rangp, on la note(un)n?pExemples :
(un): 2; 5; 8; 11; 14; 17; ... suite arithmétique (vn): 3; 6; 12; 24; 48; 96; ... suite géométrique1.2 Exemples de suites
a) On peut définir une suite defaçon explicite:un=f(n) u n=1 nn?N?,vn=⎷n-3n?3 b) On peut aussi définir une suite defaçon récurrenteà un ou plusieurs termes :À un terme :un+1=f(un)?u
0=4 u n+1=0,75un+2 (un): 4; 5; 5,75; 6,3125; ...Pour calculerun,nétant donné
Variables:N,Ientiers
Uréel
Entrées et initialisation
LireN4→U on rentre u0
Traitement
pourIvariant de 1 àNfaire0,75U+2→U relation
finSorties: AfficherU
N5102030
U7,050 87,774 77,987 37,999 9
La suite semble croissante et converger
vers 8Àdeuxtermes:un+2=f(un+1,un)?u
0=1,u1=1
u n+2=un+1+un (un): 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ...Pour calculerun,nétant donné
Variables:N,Ientiers
U,V,Wréels
Entrées et initialisation
LireN1→V on rentre u0
1→U on rentre u1
Traitement
pourIvariant de 2 àNfaireU+V→W relation
V→U
W→V?
on passe au rang supérieur finSorties: AfficherV
N10152030
V8998710 9461 346 269
PAULMILAN2 TERMINALES
1. SUITE : GÉNÉRALITÉS
c) On peut encore définir une suite par l"intermédiaire d"une autre suiteou par une somme de termes, etc... (un)étant définie, on définit la suite(vn)par :vn=un-4 w n=n∑ i=11 i=1+12+13+···+1n Si on veut déterminer une valeur approchée d"un terme particulier de(wn), on peut écrire le programme suivant :Par exemple, on trouve les valeurs
suivantes pourw5,w10,w50.Si l"on veut trouver le résultat exact en
fraction avec la TI 82, écrire : "Disp W?Frac"On trouve les valeurs suivantes :
w5=13760?2,283
w10?2,923,w50?4,499
Variables:N,Ientiers
Wréel
Entrées et initialisation
LireN0→W
Traitement
pourIvariant de 1 àNfaireW+1I→W
finSorties: AfficherW
d) On peut aussi définir une suite par une assertion explicite sans pour autant être capable de préciser la valeur d"un terme quelconque. Par exemple la suite(dn)qui au rangn?1 associednlanième décimale du nombreπ=3,141 592... :d1=1,d2=4,d3=1,d4=5,d5=9,d6=2 ...1.3 Variation ou monotonie d"une suite
Définition 2 :Soit(un)une suite numérique. On dit que : la suite(un)est strictementcroissante(à partir d"un certain rangk) lorsque u n+1>unpour tout entiern?k la suite(un)est strictementdécroissante(à partir d"un certain rangk) lorsque u n+1PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1.4 Comment montrer la monotonie d"une suite
Règle 1 :Pour montrer la monotonie d"une suite, on étudie le signe de la quantitéun+1-un si la quantité est positive (resp négative) à partir d"un certain rangk, la suite est croissante (resp décroissante) pourn?k si tous les termes de la suite sont strictement positifs à partir d"un certain rang k, on compare la quantitéun+1 unà 1si la quantité est supérieure à 1 (resp inférieure à 1) à partir d"un certain rangk,
la suite est croissante (resp décroissante) pourn?k si la suite est définie de façon explicite, on étudie les variations de la fonctionf surR+ (voir chapitre suivant) on utilise un raisonnement par récurrenceExemples :
Montrer que la suite(un)définie pour toutnpar :un=n2-nest croissante.Étudions le signe de la quantité :un+1-un
u n+1-un= (n+1)2-(n+1)-(n2-n) =n2+2n+1-n-1-n2+n =2n Or pour toutn?N, on a 2n?0, doncun+1-un?0. La suite(un)est croissante à partir du rang 0. Montrer que la suite(un)définie pour toutn?N?par :un=2nnest croissante.Comme pour toutn?N?un>0, comparons le rapportun+1
unà 1 : u n+1 un=2 n+1 n+1 2n n= 2n+1 n+1×n2n=2nn+1 Orn?1, en ajoutantnde chaque côté de l"inégalité, 2n?n+1, donc : 2n n+1?1Comme?n?1un+1
un?1, la suite(un)est croissante à partir du rang 1. Montrer que la suite(un)définie pour toutn?2 par :un=2n+1n-1est décrois- sante. On étudie la fonction associéefdéfinie surI= [2;+∞[parf(x) =2x+1 x-1.Cette fonction est dérivable surI, donc
f ?(x) =2(x-1)-(2x+1) (x-1)2=-3(x-1)2doncf?(x)<0x?I La fonctionfest donc décroissante surI, donc la suite(un)est décroissantePAULMILAN4 TERMINALES
1. SUITE : GÉNÉRALITÉS
1.5 Visualisation d"une suite
Pour visualiser une suite définie par récurrenceun+1=f(un), il suffit de tracer la courbe de la fonction associéefet la droitey=x. La droite sert à reporter les termes de la suite sur l"axe des abscisses.Soit la suite(un)définie par :
?u 0=0,1 u n+1=2un(1-un)On obtient alors le graphe suivant,
après avoir tracé la courbeCfde la fonctionfdéfinie par : f(x) =2x(1-x) 0.5 0.5Ou0u1u2u3u
4u 1u 2u 3u 4 y=x CfExemple :Soit(un)la suite définie par :
?u 0=5 u n+1=4un-1 un+2?n?N fest la fonction définie sur l"intervalle]-2 ;+∞[parf(x) =4x-1 x+2. u0sur l"axe des abscisses, construireu1,u2etu3en laissant apparents les traits de
construction. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite (un)? 123-1 -21 2 3 4 5 6-1-2
Ou0u1u2u3
y=xCfD"après ce graphique, on peut conjectu-rer :
que la suite est décroissante
qu"elle semble converger vers 1 quiest l"abscisse du point d"intersectionentre la droite et la courbe
Pour la représentation avec la TI 82, selectionner le mode "Suit" etle format "'Esc". Rentrer la suite puis règler la fenêtre. appuyer sur "graphe" puis sur "trace". rentrer la suite avec la touche "f(x)" n min=0 u(n) = (4u(n-1)-1)/(u(n-1) +2) u(nmin) =5Pour la fenêtre : n min=0,nmax=3,