Ejercicios de la regla de LHôpital
7 Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos: 16 Author: Enrique Created Date: 12/20/2009 9:27:59 AM
Dice Hospital Règle - 1jour-1jeu
place un de ses marqueurs de score à côté de la piste de score L'autre est gardé devant eux pour leur rappeler leur couleur Placez le compteur de tour de sorte que l'espace '1' des tours de jeu soit visible Mélangez les tuiles des services de soin et placez-les en pile face cachée Prenez un nombre de tuiles au sommetde la pile
RÈGLEMENT ADMINISTRATIF DE L’HÔPITAL DE TIMMINS ET DU
LE RÈGLEMENT ADMINISTRATIF DE L’HÔPITAL DE TIMMINS ET DU DISTRICT 2005 i RÈGLEMENT ADMINISTRATIF DE L’HÔPITAL DE TIMMINS ET DU DISTRICT/ TIMMINS AND DISTRICT HOSPITAL Consenti : [Le conseil d’administration et la corporation - le 21 juin 2005] Révisé et consenti : [Le conseil d’administration – le 7 juin 2016]
Exam Analyse 1
I Règle de L’Hospital : Calculer les limites suivantes, en utilisant la règle de l’Hospital : 1°) x e x x 1 lim 2 0 − → 2°) x x x sin 1 cos lim 0 − → II Théorème des valeurs intermédiaires : Montrer que l’équation 3 x x + −= 3 1 0 admet une solution unique sur[0,+∞[ III Théorème des accroissements finis :
Prétest 1, calcul intégral - Cégep de Saint-Laurent
En utilisant la règle de l’Hospital, on trouve que ln(L) = 0, et donc que la limite cherchée L est L =e0 =1 e) Mettre au dénominateur commun donne : lim x0+ sin(x) x xsin(x) Cette limite est une forme indéterminée « 0=0 » On lève l’indétermination à l’aide de la règle de l’Hospital et on trouve que la limite est 0 Question
Formulaire sur les propriétés des limites Définition
de l’Hospital ¥ ¥ 0 , k , ¥ Mise en évidence de la plus grande puissance, inversion du numéra-teur et du dénominateur et règle de l’Hospital ¥ ¥ ¥ , k , ¥ Mise en évidence, dénominateur commun, conjugué, règle de l’Hos-pital 0¥ 0 , k , ¥ réécriture sous forme de rapport, règle de l’Hospital
Les circuits du linge à l’hôpital
-Dès la fin de l’activitéévacuer les sacs vers le local (aéré, accès aisé, nettoyable facilement, T°adaptée)-Les sacs remplis de linge sale sont fermés-Les sacs sont transportés sur un chariot (container, échelle, ) réservéàcet effet -Les sacs sont déposés dans la benne de recueil dédiée au linge sale
Dérivées : les grands théorèmes
Guillaume François Antoine de L’Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d’Entremont, seigneur d’Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704)
MAT145 CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
de l’outil a été arrêté et le calculateur symbolique produit par Texas Instrument (TI-92+ à l’époque, Voyage 200 ensuite et Nspire maintenant) a été retenu pour usage Dire que cette décision a eu un
Formatif 1, calcul intégral - Cégep de Saint-Laurent
l’examen dure 2h20, aucune documentation n’est permise et l’usage de calculateurs électroniques est interdit Conseil : tentez de faire ce formatif dans les mêmes conditions que l’examen Question 1 Évaluer les limites suivantes Indiquer quand vous utiliser la règle de l’Hospital a)lim x1 x2 51 e(x21) 1 b)lim x2 x2 x 2 x4 x3
[PDF] règle de l'hopital forme indéterminée
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Dérivées : les grands théorèmes
Analyse 1
20 septembre 2013
En bref
Les grands théorèmes
Conséquences importantes
Quelques preuves
Le rôle de la continuité dans les preuves
Les inserts historiques s"appuient sur wikipédiaExtrema (I)
Définition
Sif:A!R, alorsy2Aest un
Point de maximum sif(x)f(y),8x2A
Point de minimum sif(x)f(y),8x2A
Point d"extremum siyest soit point de minimum, soit point de maximum aetcsont des points de minimum,bun point de maximum. Les trois points sont des points d"extremumThéorème de Fermat (I)
Théorème de Fermat (I)
Hypothèses
Iintervalle ouvert
f:I!Rdérivable xpoint d"extremum defConclusion
f0(x) =0Ou encore
Sur un intervalle ouvert, la dérivée d"une fonction s"annule en un point d"extremum Interprétation graphique : en un point d"extremum, la tangente au graphe d"une fonction est horizontale, donc son coefficient directeurf0(x)vaut 0 Pierre de Fermat (160?-1665). Magistrat de métier. Homme de grande culture, latiniste, helléniste. Contributions en mathématiques (petit théorème de Fermat) et en physique (principe de Fermat en optique)Extrema (II)
Définition
Sif:A!R, alorsy2Aest un
Point de maximum local, s"il existe un intervalle ouvertI contenantytel quef(x)f(y),8x2A\IPoint de minimum local si ......f(x)f(y).....
Point d"extremum local siyest soit point de minimum local, soit point de maximum local aetcsont des minima locaux.fest un maximum local.b etdsont des maxima globaux.eest un minimum globalThéorème de Fermat (II)
Théorème de Fermat (II)
Hypothèses
Iintervalle ouvert
f:I!Rdérivable xpoint d"extremum local defConclusion
f0(x) =0Ou encore
Sur un intervalle ouvert, la dérivée d"une fonction s"annule en un point d"extremum localFermat (II)=)Fermat (I)Théorème de Fermat
Le théorème de Fermat ne dit rien sur les extrema qui se situent " au bord » de l"intervalle. Ici,aetbsont les extrema defsur[a;b], maisf0(a)6=0 etf0(b)6=0Démonstration.
Pour simplifier, on supposeI=R,xpoint de minimum
Alors f0(x+) =limh!0+f(x+h)f(x)h
|{z} 00De même
f0(x) =limh!0f(x+h)f(x)h
|{z} 00D"où 0f0(x+) =f0(x) =f0(x)0, càdf0(x) =0
Fonction de Rolle
Définition
Une fonctionf: [a;b]!Rest une fonction de Rolle si fest continue sur[a;b] fest dérivable sur]a;b[a vs bIl est commode de ne pas supposera Ainsi[1;0] = [0;1]et]1;0[=]0;1[
c2]a;b[(ou "cest entreaetb») signifie (1)ab (3)a=b=csia=b Exemples
Une fonction dérivable sur[a;b]est une fonction de Rolle sur[a;b]
Sif: [a;b]!Rest une fonction de Rolle et si
[x;y][a;b], alors (la restriction de)fest un fonction de Rolle sur[x;y] La fonctionx7!px,x2[0;1], est une fonction de
Rolle, mais n"est pas dérivable
Michel Rolle (1652-1719). Mathématicien principalement connu pour le théorème de Rolle Théorème de Rolle
Théorème de Rolle
Hypothèses
f: [a;b]!Rfonction de Rolle f(a) =f(b) Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef0(c) =0" Il existe » = il existe au moins un, peut-être plusieurs " Il existe un unique » = il existe exactement un " Est unique » = il y en a 0 ou 1 Preuve " avec les mains » du théorème de Rolle :f(a)et f(b)étant à la même hauteur,fdoit avoir un point d"extremumcdans]a;b[. Le théorème de Fermat impliquef0(c) =0 Théorème des accroissements finis
Théorème de Lagrange; théorème des
accroissements finis; TAFHypothèse f: [a;b]!Rfonction de Rolle Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)ba=f0(c)
Aest le point du graphe defcorrespondant àa(càd A(a;f(a))). Idem pourB,C. La quotientf(b)f(a)baest le coefficient directeur du segmentAB.f0(c)est le coefficient directeur de la tangente enC. Le TAF affirme que pour uncconvenable la tangente est parallèle au segmentAB Giuseppe Lodovico de Lagrangia (en français Joseph Louis, comte de Lagrange) (1736-1813). Très grand mathématicien, mécanicien et astronome. Plus ici : LagrangeLe bicenténnaire de sa mort est commémoré cette année Application : IAF
Inégalité des accroissements finis; IAF
Hypothèses
f: [a;b]!Rfonction de Rolle j f0(x)j M,8x2]a;b[ Conclusion
jf(b)f(a)j MjbajDémonstration. Soitccomme dans le TAF. Alors
f 0(c) =f(b)f(a)ba=)f(b)f(a) =f0(c)(ba)
=) jf(b)f(a)j=jf0(c)jjbaj Mjbaj Exemple
On ajsinxsinyj jxyj,8x;y2RDémonstration.
Soitf: [y;x]!R,f(t) =sint. Alorsjf0(t)j=jcostj 1,
8t2]y;x[. On applique l"IAF aveca y,b xExemple
On aex1+xex,8x0Démonstration.
Soitf: [0;x]!R,f(t) =et. Soitc2]0;x[comme dans le
TAF (aveca 0,b x). Alors
e x1=xf0(t) =xetxex=)ex1+xex Application : monotonie
Proposition
Soitf:I!Rdérivable. Alors
fcroissante()f00 (càdf0(x)0,8x2I) Sif0(x)>0 sauf éventuellement en un nombre fini de points, alorsfest strictement croissante Variante :on peut remplacerf:I!Rdérivable par
f: [a;b]!Rfonction de Rolle Enoncé analogue pour les fonctions décroissantes Démonstration.
Pour simplifier :
On supposeI=R
Pour la deuxième propriété, on supposef0(x)>0 si x6=0 1.fcroissante=)f0(x) =limh!0f(x+h)f(x)h
|{z} 00 2. Si f00, soienta;b2Raveca tel que f(b)f(a) =f0(c)|{z} 0(ba)|{z}
>00;d"oùfcroissante Démonstration - suite.
3. On suppose f0(x)>0,8x6=0. Sia preuve du 2. montre que f(b)>f(a). De même si 0af(a)sia<0 Dans ce cas :
f(b)f(a) =f(b)f(0)|{z} >0+f(0)f(a)|{z} >0>0 Application : convexité
Proposition
Hypothèses
f:I!Rdeux fois dérivable f000 Conclusion
fconvexeDémonstration. Pourx;y2Iett2[0;1], soitz:=tx+ (1t)y. On doit
mqf(z)[tf(x) + (1t)f(y)]0 OPSxy. Soientc2]x;z[,d2]z;y[tq
f(x) =f(z)+(xz)f0(c)etf(y) =f(y)+(yz)f0(d) Démonstration - suite.
On af000=)f0%. Doncf0(c)f0(d)(carcd)
D"où
f(z)[tf(x) + (1t)f(y)] = t(zx)f0(c)(1t)(yz)f0(d) = t(1t)(yx)|{z} 0(f0(c)f0(d))|{z}
00 Théorème de Cauchy
Théorème de Lagrange généralisé; théorème de CauchyHypothèses f;g: [a;b]!Rfonctions de Rolle g0(x)6=0,8x2]a;b[ Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g
0(c)Cauchy=)Lagrange (prendreg(x) =x)
Augustin Louis, baron Cauchy (1789-1857).
Mathématicien très important et prolifique. Son oeuvre couvre l"ensemble des mathématiques de son temps. Plus ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/
Augustin_Louis_Cauchy
Exemple
Si 0 pbpa 3 pb3pa 32
6pb Démonstration.
On applique le théorème de Cauchy avecf(x) px, g(x) 3px. Avecccomme dans le théorème : pbpa 3 pb3pa =32 6pc32 6pb Règle de L"Hôpital
Motivation
limx!0e xcosx=11 =1 limx!0e xx 2=10+=1
limx!0e x1sinx=00 Limite " indéterminée » de la forme
00 Règle de L"Hôpital
Règle de L"Hôpital; règle de L"Hospital; règle de Bernoulli; cas 0=0Hypothèses
f;g:I!Rdérivables (1)Ou bi ena2Ietf(a) =g(a) =0 (2) Ou bie naest une extrémité deIet limx!af(x) =0 et lim x!ag(x) =0 g0(x)6=0 six6=a La limitel:=limx!af
0(x)g 0(x)existe
Conclusion
La limite lim
x!af(x)g(x)existe et vautl Guillaume François Antoine de L"Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d"Entremont, seigneur d"Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704). Mathé- maticien connu pour la règle qui porte son nom Exemple
lim x!0e x1sinx=? L"Hôpital avecf(x) =ex1,g(x) =sinx,
I=]=2;=2[,a=0
lim x!0x2]=2;=2[e xcosx=1=)limx!0x2]=2;=2[e x1sinx=1 =)limx!0e x1sinx=1 Exemple : formule de Taylor à l"ordre 2
Soitf:R!Rtrois fois dérivable. Alors
lim x!af(x)f(a)f0(a)(xa)(xa)2=f00(a)2 L"Hôpital avecf f(x)f(a)f0(a)(xa),
g (xa)2,I R,a a. On doit calculer l=limx!af 0(x)f0(a)2(xa)
Re-L"Hôpital avecf f0(x)f0(a),g 2(xa). On
trouve (commef00est dérivable, donc continue)l=f00(a)2 D"où la conclusion
Théorème de Darboux
Théorème de Darboux
Hypothèses
f:I!Rdérivable f0(x)6=0,8x2I Conclusion
f 0garde un signe constant surI
Démonstration " avec les mains ».
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
Ainsi[1;0] = [0;1]et]1;0[=]0;1[
c2]a;b[(ou "cest entreaetb») signifie (1)aExemples
Une fonction dérivable sur[a;b]est une fonction deRolle sur[a;b]
Sif: [a;b]!Rest une fonction de Rolle et si
[x;y][a;b], alors (la restriction de)fest un fonction de Rolle sur[x;y]La fonctionx7!px,x2[0;1], est une fonction de
Rolle, mais n"est pas dérivable
Michel Rolle (1652-1719). Mathématicien principalement connu pour le théorème de RolleThéorème de Rolle
Théorème de Rolle
Hypothèses
f: [a;b]!Rfonction de Rolle f(a) =f(b)Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef0(c) =0" Il existe » = il existe au moins un, peut-être plusieurs " Il existe un unique » = il existe exactement un " Est unique » = il y en a 0 ou 1 Preuve " avec les mains » du théorème de Rolle :f(a)et f(b)étant à la même hauteur,fdoit avoir un point d"extremumcdans]a;b[. Le théorème de Fermat impliquef0(c) =0Théorème des accroissements finis
Théorème de Lagrange; théorème des
accroissements finis; TAFHypothèse f: [a;b]!Rfonction de RolleConclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)ba=f0(c)
Aest le point du graphe defcorrespondant àa(càd A(a;f(a))). Idem pourB,C. La quotientf(b)f(a)baest le coefficient directeur du segmentAB.f0(c)est le coefficient directeur de la tangente enC. Le TAF affirme que pour uncconvenable la tangente est parallèle au segmentAB Giuseppe Lodovico de Lagrangia (en français Joseph Louis, comte de Lagrange) (1736-1813). Très grand mathématicien, mécanicien et astronome. Plus ici : LagrangeLe bicenténnaire de sa mort est commémoré cette annéeApplication : IAF
Inégalité des accroissements finis; IAF
Hypothèses
f: [a;b]!Rfonction de Rolle j f0(x)j M,8x2]a;b[Conclusion
jf(b)f(a)j MjbajDémonstration.Soitccomme dans le TAF. Alors
f0(c) =f(b)f(a)ba=)f(b)f(a) =f0(c)(ba)
=) jf(b)f(a)j=jf0(c)jjbaj MjbajExemple
On ajsinxsinyj jxyj,8x;y2RDémonstration.
Soitf: [y;x]!R,f(t) =sint. Alorsjf0(t)j=jcostj 1,
8t2]y;x[. On applique l"IAF aveca y,b xExemple
On aex1+xex,8x0Démonstration.
Soitf: [0;x]!R,f(t) =et. Soitc2]0;x[comme dans le
TAF (aveca 0,b x). Alors
e x1=xf0(t) =xetxex=)ex1+xexApplication : monotonie
Proposition
Soitf:I!Rdérivable. Alors
fcroissante()f00 (càdf0(x)0,8x2I) Sif0(x)>0 sauf éventuellement en un nombre fini de points, alorsfest strictement croissanteVariante :on peut remplacerf:I!Rdérivable par
f: [a;b]!Rfonction de Rolle Enoncé analogue pour les fonctions décroissantesDémonstration.
Pour simplifier :
On supposeI=R
Pour la deuxième propriété, on supposef0(x)>0 si x6=01.fcroissante=)f0(x) =limh!0f(x+h)f(x)h
|{z} 00 2.Si f00, soienta;b2Raveca tel que f(b)f(a) =f0(c)|{z} 0(ba)|{z}
>00;d"oùfcroissante Démonstration - suite.
3. On suppose f0(x)>0,8x6=0. Sia preuve du 2. montre que f(b)>f(a). De même si 0af(a)sia<0 Dans ce cas :
f(b)f(a) =f(b)f(0)|{z} >0+f(0)f(a)|{z} >0>0 Application : convexité
Proposition
Hypothèses
f:I!Rdeux fois dérivable f000 Conclusion
fconvexeDémonstration. Pourx;y2Iett2[0;1], soitz:=tx+ (1t)y. On doit
mqf(z)[tf(x) + (1t)f(y)]0 OPSxy. Soientc2]x;z[,d2]z;y[tq
f(x) =f(z)+(xz)f0(c)etf(y) =f(y)+(yz)f0(d) Démonstration - suite.
On af000=)f0%. Doncf0(c)f0(d)(carcd)
D"où
f(z)[tf(x) + (1t)f(y)] = t(zx)f0(c)(1t)(yz)f0(d) = t(1t)(yx)|{z} 0(f0(c)f0(d))|{z}
00 Théorème de Cauchy
Théorème de Lagrange généralisé; théorème de CauchyHypothèses f;g: [a;b]!Rfonctions de Rolle g0(x)6=0,8x2]a;b[ Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g
0(c)Cauchy=)Lagrange (prendreg(x) =x)
Augustin Louis, baron Cauchy (1789-1857).
Mathématicien très important et prolifique. Son oeuvre couvre l"ensemble des mathématiques de son temps. Plus ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/
Augustin_Louis_Cauchy
Exemple
Si 0 pbpa 3 pb3pa 32
6pb Démonstration.
On applique le théorème de Cauchy avecf(x) px, g(x) 3px. Avecccomme dans le théorème : pbpa 3 pb3pa =32 6pc32 6pb Règle de L"Hôpital
Motivation
limx!0e xcosx=11 =1 limx!0e xx 2=10+=1
limx!0e x1sinx=00 Limite " indéterminée » de la forme
00 Règle de L"Hôpital
Règle de L"Hôpital; règle de L"Hospital; règle de Bernoulli; cas 0=0Hypothèses
f;g:I!Rdérivables (1)Ou bi ena2Ietf(a) =g(a) =0 (2) Ou bie naest une extrémité deIet limx!af(x) =0 et lim x!ag(x) =0 g0(x)6=0 six6=a La limitel:=limx!af
0(x)g 0(x)existe
Conclusion
La limite lim
x!af(x)g(x)existe et vautl Guillaume François Antoine de L"Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d"Entremont, seigneur d"Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704). Mathé- maticien connu pour la règle qui porte son nom Exemple
lim x!0e x1sinx=? L"Hôpital avecf(x) =ex1,g(x) =sinx,
I=]=2;=2[,a=0
lim x!0x2]=2;=2[e xcosx=1=)limx!0x2]=2;=2[e x1sinx=1 =)limx!0e x1sinx=1 Exemple : formule de Taylor à l"ordre 2
Soitf:R!Rtrois fois dérivable. Alors
lim x!af(x)f(a)f0(a)(xa)(xa)2=f00(a)2 L"Hôpital avecf f(x)f(a)f0(a)(xa),
g (xa)2,I R,a a. On doit calculer l=limx!af 0(x)f0(a)2(xa)
Re-L"Hôpital avecf f0(x)f0(a),g 2(xa). On
trouve (commef00est dérivable, donc continue)l=f00(a)2 D"où la conclusion
Théorème de Darboux
Théorème de Darboux
Hypothèses
f:I!Rdérivable f0(x)6=0,8x2I Conclusion
f 0garde un signe constant surI
Démonstration " avec les mains ».
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
0(ba)|{z}
>00;d"oùfcroissanteDémonstration - suite.
3.On suppose f0(x)>0,8x6=0. Sia preuve du 2. montre que f(b)>f(a). De même si 0af(a)sia<0 Dans ce cas :
f(b)f(a) =f(b)f(0)|{z} >0+f(0)f(a)|{z} >0>0 Application : convexité
Proposition
Hypothèses
f:I!Rdeux fois dérivable f000 Conclusion
fconvexeDémonstration. Pourx;y2Iett2[0;1], soitz:=tx+ (1t)y. On doit
mqf(z)[tf(x) + (1t)f(y)]0 OPSxy. Soientc2]x;z[,d2]z;y[tq
f(x) =f(z)+(xz)f0(c)etf(y) =f(y)+(yz)f0(d) Démonstration - suite.
On af000=)f0%. Doncf0(c)f0(d)(carcd)
D"où
f(z)[tf(x) + (1t)f(y)] = t(zx)f0(c)(1t)(yz)f0(d) = t(1t)(yx)|{z} 0(f0(c)f0(d))|{z}
00 Théorème de Cauchy
Théorème de Lagrange généralisé; théorème de CauchyHypothèses f;g: [a;b]!Rfonctions de Rolle g0(x)6=0,8x2]a;b[ Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g
0(c)Cauchy=)Lagrange (prendreg(x) =x)
Augustin Louis, baron Cauchy (1789-1857).
Mathématicien très important et prolifique. Son oeuvre couvre l"ensemble des mathématiques de son temps. Plus ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/
Augustin_Louis_Cauchy
Exemple
Si 0 pbpa 3 pb3pa 32
6pb Démonstration.
On applique le théorème de Cauchy avecf(x) px, g(x) 3px. Avecccomme dans le théorème : pbpa 3 pb3pa =32 6pc32 6pb Règle de L"Hôpital
Motivation
limx!0e xcosx=11 =1 limx!0e xx 2=10+=1
limx!0e x1sinx=00 Limite " indéterminée » de la forme
00 Règle de L"Hôpital
Règle de L"Hôpital; règle de L"Hospital; règle de Bernoulli; cas 0=0Hypothèses
f;g:I!Rdérivables (1)Ou bi ena2Ietf(a) =g(a) =0 (2) Ou bie naest une extrémité deIet limx!af(x) =0 et lim x!ag(x) =0 g0(x)6=0 six6=a La limitel:=limx!af
0(x)g 0(x)existe
Conclusion
La limite lim
x!af(x)g(x)existe et vautl Guillaume François Antoine de L"Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d"Entremont, seigneur d"Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704). Mathé- maticien connu pour la règle qui porte son nom Exemple
lim x!0e x1sinx=? L"Hôpital avecf(x) =ex1,g(x) =sinx,
I=]=2;=2[,a=0
lim x!0x2]=2;=2[e xcosx=1=)limx!0x2]=2;=2[e x1sinx=1 =)limx!0e x1sinx=1 Exemple : formule de Taylor à l"ordre 2
Soitf:R!Rtrois fois dérivable. Alors
lim x!af(x)f(a)f0(a)(xa)(xa)2=f00(a)2 L"Hôpital avecf f(x)f(a)f0(a)(xa),
g (xa)2,I R,a a. On doit calculer l=limx!af 0(x)f0(a)2(xa)
Re-L"Hôpital avecf f0(x)f0(a),g 2(xa). On
trouve (commef00est dérivable, donc continue)l=f00(a)2 D"où la conclusion
Théorème de Darboux
Théorème de Darboux
Hypothèses
f:I!Rdérivable f0(x)6=0,8x2I Conclusion
f 0garde un signe constant surI
Démonstration " avec les mains ».
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
0af(a)sia<0 Dans ce cas :
f(b)f(a) =f(b)f(0)|{z} >0+f(0)f(a)|{z} >0>0 Application : convexité
Proposition
Hypothèses
f:I!Rdeux fois dérivable f000 Conclusion
fconvexeDémonstration. Pourx;y2Iett2[0;1], soitz:=tx+ (1t)y. On doit
mqf(z)[tf(x) + (1t)f(y)]0 OPSxy. Soientc2]x;z[,d2]z;y[tq
f(x) =f(z)+(xz)f0(c)etf(y) =f(y)+(yz)f0(d) Démonstration - suite.
On af000=)f0%. Doncf0(c)f0(d)(carcd)
D"où
f(z)[tf(x) + (1t)f(y)] = t(zx)f0(c)(1t)(yz)f0(d) = t(1t)(yx)|{z} 0(f0(c)f0(d))|{z}
00 Théorème de Cauchy
Théorème de Lagrange généralisé; théorème de CauchyHypothèses f;g: [a;b]!Rfonctions de Rolle g0(x)6=0,8x2]a;b[ Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g
0(c)Cauchy=)Lagrange (prendreg(x) =x)
Augustin Louis, baron Cauchy (1789-1857).
Mathématicien très important et prolifique. Son oeuvre couvre l"ensemble des mathématiques de son temps. Plus ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/
Augustin_Louis_Cauchy
Exemple
Si 0 pbpa 3 pb3pa 32
6pb Démonstration.
On applique le théorème de Cauchy avecf(x) px, g(x) 3px. Avecccomme dans le théorème : pbpa 3 pb3pa =32 6pc32 6pb Règle de L"Hôpital
Motivation
limx!0e xcosx=11 =1 limx!0e xx 2=10+=1
limx!0e x1sinx=00 Limite " indéterminée » de la forme
00 Règle de L"Hôpital
Règle de L"Hôpital; règle de L"Hospital; règle de Bernoulli; cas 0=0Hypothèses
f;g:I!Rdérivables (1)Ou bi ena2Ietf(a) =g(a) =0 (2) Ou bie naest une extrémité deIet limx!af(x) =0 et lim x!ag(x) =0 g0(x)6=0 six6=a La limitel:=limx!af
0(x)g 0(x)existe
Conclusion
La limite lim
x!af(x)g(x)existe et vautl Guillaume François Antoine de L"Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d"Entremont, seigneur d"Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704). Mathé- maticien connu pour la règle qui porte son nom Exemple
lim x!0e x1sinx=? L"Hôpital avecf(x) =ex1,g(x) =sinx,
I=]=2;=2[,a=0
lim x!0x2]=2;=2[e xcosx=1=)limx!0x2]=2;=2[e x1sinx=1 =)limx!0e x1sinx=1 Exemple : formule de Taylor à l"ordre 2
Soitf:R!Rtrois fois dérivable. Alors
lim x!af(x)f(a)f0(a)(xa)(xa)2=f00(a)2 L"Hôpital avecf f(x)f(a)f0(a)(xa),
g (xa)2,I R,a a. On doit calculer l=limx!af 0(x)f0(a)2(xa)
Re-L"Hôpital avecf f0(x)f0(a),g 2(xa). On
trouve (commef00est dérivable, donc continue)l=f00(a)2 D"où la conclusion
Théorème de Darboux
Théorème de Darboux
Hypothèses
f:I!Rdérivable f0(x)6=0,8x2I Conclusion
f 0garde un signe constant surI
Démonstration " avec les mains ».
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
Dans ce cas :
f(b)f(a) =f(b)f(0)|{z} >0+f(0)f(a)|{z} >0>0Application : convexité
Proposition
Hypothèses
f:I!Rdeux fois dérivable f000Conclusion
fconvexeDémonstration.Pourx;y2Iett2[0;1], soitz:=tx+ (1t)y. On doit
mqf(z)[tf(x) + (1t)f(y)]0OPSxy. Soientc2]x;z[,d2]z;y[tq
f(x) =f(z)+(xz)f0(c)etf(y) =f(y)+(yz)f0(d)Démonstration - suite.
On af000=)f0%. Doncf0(c)f0(d)(carcd)
D"où
f(z)[tf(x) + (1t)f(y)] = t(zx)f0(c)(1t)(yz)f0(d) = t(1t)(yx)|{z}0(f0(c)f0(d))|{z}
00Théorème de Cauchy
Théorème de Lagrange généralisé; théorème de CauchyHypothèses f;g: [a;b]!Rfonctions de Rolle g0(x)6=0,8x2]a;b[Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g
0(c)Cauchy=)Lagrange (prendreg(x) =x)
Augustin Louis, baron Cauchy (1789-1857).
Mathématicien très important et prolifique. Son oeuvre couvre l"ensemble des mathématiques de son temps.Plus ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/
Augustin_Louis_Cauchy
Exemple
Si 0 pbpa 3 pb3pa 32
6pb Démonstration.
On applique le théorème de Cauchy avecf(x) px, g(x) 3px. Avecccomme dans le théorème : pbpa 3 pb3pa =32 6pc32 6pb Règle de L"Hôpital
Motivation
limx!0e xcosx=11 =1 limx!0e xx 2=10+=1
limx!0e x1sinx=00 Limite " indéterminée » de la forme
00 Règle de L"Hôpital
Règle de L"Hôpital; règle de L"Hospital; règle de Bernoulli; cas 0=0Hypothèses
f;g:I!Rdérivables (1)Ou bi ena2Ietf(a) =g(a) =0 (2) Ou bie naest une extrémité deIet limx!af(x) =0 et lim x!ag(x) =0 g0(x)6=0 six6=a La limitel:=limx!af
0(x)g 0(x)existe
Conclusion
La limite lim
x!af(x)g(x)existe et vautl Guillaume François Antoine de L"Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d"Entremont, seigneur d"Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704). Mathé- maticien connu pour la règle qui porte son nom Exemple
lim x!0e x1sinx=? L"Hôpital avecf(x) =ex1,g(x) =sinx,
I=]=2;=2[,a=0
lim x!0x2]=2;=2[e xcosx=1=)limx!0x2]=2;=2[e x1sinx=1 =)limx!0e x1sinx=1 Exemple : formule de Taylor à l"ordre 2
Soitf:R!Rtrois fois dérivable. Alors
lim x!af(x)f(a)f0(a)(xa)(xa)2=f00(a)2 L"Hôpital avecf f(x)f(a)f0(a)(xa),
g (xa)2,I R,a a. On doit calculer l=limx!af 0(x)f0(a)2(xa)
Re-L"Hôpital avecf f0(x)f0(a),g 2(xa). On
trouve (commef00est dérivable, donc continue)l=f00(a)2 D"où la conclusion
Théorème de Darboux
Théorème de Darboux
Hypothèses
f:I!Rdérivable f0(x)6=0,8x2I Conclusion
f 0garde un signe constant surI
Démonstration " avec les mains ».
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
6pb