Mathématiques pour SPI S2 Université de Lorraine
1 2 Règle de l’Hôpital La règle de l’Hôpital est une méthode qui utilise la dérivée afin de calculer cer-taines limites de forme indéterminée Nous allons uniquement utiliser l’énoncé le plus simple de cette règle, qui permet de calculer des limites de forme indéterminée 0 0 Théorème 1 2 1 (Règle de l’Hôpital)
RÈGLE DE L’HÔPITAL T ÈGLE DE L’HÔPITAL
EXEMPLE (INTÉRET DE LA RÈGLE DE L’HÔPITAL:) Dans de nombreux cas, il est plus facile de chercher la limite du rapport des dérivées des fonctions, que celle des rapports des fonctions elles-mêmes : Soient, f(x)˘1¡cosx et g(x)˘tanx sur I ˘]0, 4] Alors f(x) g(x) ˘ 1¡cosx tanx présente lorsque x 0¯ une forme indéterminée 0 0
1Résolutionsd’équationsavecunevariable
a priori indéterminée puisque de la forme 0 1 Mais on se souvient que c’est le xqui l’emporte On peut tenter d’utiliser la règle de l’hopital en écrivant la fonction sous la forme : x=(1=ln(x)) La limite a bien alors cette forme indéterminée f=gavec f= x0 et g= 1=ln(x) 0 Ladérivéedef est1,ladérivéde g:g0= 1=x (ln(x))2
DE lAssociation des Anciens Elèves LÉCOLE CENTRALE
qui se présentent sous forme indéterminée Règle de l'Hôpital Exercices — XI Variations des fonctions Règle pour déterminer les maxima et minima des
Équation de la tangente
Théorème (Règle de l’Hôpital) On suppose que lim x→x0 f(x) g(x) est une forme indéterminée (0 0 ou ∞ ∞) Alors si lim x→x0 f (x) g (x) existe on a lim x→x0 f(x) g(x) = lim x→x0 f (x) g (x) Exemple On retrouve ainsi : lim x→0 1−cos(x) x2 = 1 2
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vement long terme de l'hôpital de jour La durée indéterminée est ici la règle plutôt que I'exception et l'on trouve des anciennetés» allant jusqu'à 4 ans Pour ces patients, c'est surtout la fonc- tion de support social assurée par la structure qui est facteur d'équilibre IIS parlent de briser la solitude », de
Dérivées : les grands théorèmes
Guillaume François Antoine de L’Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d’Entremont, seigneur d’Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704) Mathé-maticien connu pour la règle qui porte son nom
Devoir à la Maison n˚9 : corrigé - wwwnormalesuporg
Bon, il n’y aucun moyen évident de calculer la limite de cette dérivée en 0 (même problème si on passe directement par le taux d’accroissement) En fait, vous manquez un peu de dévelop-pements limités pour faire cette question facilement, même si on peut s’en sortir avec le règle de l’Hôpital vue en exercice
TD n˚7 : corrigé - wwwnormalesuporg
f(x) = +∞ (pas de forme indéterminée), et lim x→+∞ f(x) = 0 (croissance comparée), pour obtenir le tableau de variations suivant : x −1 0 +∞ f(x) +∞ 1 0 Partie II 1 Puisqu’on a prolongé la fonction par continuité en 0, il s’agit de l’intégrale sur un segment d’une fonction continue, elle est évidemment définie 2
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