G en eralit es sur les fonctions ( En seconde )

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2010 { 2011 G en eralit es sur les fonctions Classe de Seconde G en eralit es sur les fonctions ( En seconde ) Derni ere mise a jour : Dimanche 31 Octobre 2010 Vincent OBATON, Enseignant au lyc ee Stendhal de Grenoble (Ann ee 2010-2011)

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2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeGeneralites sur les fonctions

( En seconde )

Derniere mise a jour : Dimanche 31 Octobre 2010VincentOBATON, Enseignant au lycee Stendhal de Grenoble (Annee 2010-2011)Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-1-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeJ'aimais et j'aime

encore les mathema- tiques pour elles-m^emes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux b^etes d'aversion.

Stendhal

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-2-

Nous n'allons pas utiliser cette representation a chaque fois que l'on travaille sur une fonction et donc nous allons utiliser une nouvelle notation qui veut dire la m^eme chose mais en plus simple :

Notation mathematique d'une fonction:

f:x7!f(x)

On lit :fla fonction qui axassocie son imagef(x)

Attention au vocabulaire :

fest la fonction,xest l'antecedent etf(x) l'image dexpar la fonctionf.

Ne pas confondrefetf(x).Exemples :

1.f1:x7!3x(Fonction lineaire)

2.f2:x7!5x+ 4 (Fonction ane)

3.f3:x7!6 (Fonction constante)

4.f4:x7!x2(Fonction "carre")

5.f5:x7!px(Focntion racine carree)

6.f6:x7!5x+ 37x1(Fonction homographique)

7.f7:x7!4(x1)225 (Fonction polyn^ome du second degre sous forme

canonique)

8.f8:x7!4x25x+ 6 (Fonction polyn^ome du second degre sous forme

developpee)

9.f9:x7!2(x2)(x+ 3) (Fonction polyn^ome du second degre sous forme

factorisee) 2

Ens emblede d enitiond'une f onction

Denition :

L'ensemble de denition d'une fonctionfest l'ensembleDfdes valeurs dex (antecedents) pour lesquellesf(x) (image) existe. Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-4-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeIl n'y a que deux ou trois cas, en seconde, pour lesquels il se peut que la fonction

admette des valeurs interdites. Les fonctions sous forme rationnelle avecxau denominateur et les fonctions sous forme de racines carrees avecxsous le radical.

Exemples :

1.f1:x7!3x25

1(x) existe pour toutes les valeurs reelles dexdoncD

f1=ROn peut aussi ecrire :D f1=] 1;+1[2.f2:x7!1x f

2(x) existe si et seulement six6= 0 doncD

f2=Rn f0gOn peut aussi ecrire :D f2=] 1;0[[]0;+1[ouD f2=R3.f3:x7!3x12x4f

3(x) existe si et seulement si 2x46= 0,2x6= 4,x6= 2

DoncD f3=] 1;2[[]2;+1[ouD f2=Rn f2g4.f4:x7!5x+ 1x 29
f

4(x) existe si et seulement six296= 0,(x3)(x+ 3)6= 0,x36= 0 et

x+ 36= 0 ,x6= 3 etx6=3 DoncD f4=] 1;3[[]3;3[[]3;+1[ouD f4=Rn f3;3g5.f5:x7!p3x6 f

5(x) existe si et seulement si 3x60,3x6,x2

doncD f5= [2;+1[6.f6:x7!p155x f

6(x) existe si et seulement si 155x0, 5x 15,x3

doncD f3=] 1;3]3R epresentationd' unef onction Nous allons voir trois facon de representer une fonction, la representation sous forme algebrique que nous avons vu dans le paragraphe precedent, la representation sous forem graphique et la representation sous forme d'algorithme. Vous devez savoir manipuler les trois forme et passer de l'une a l'autre. 3.1

Repr esentationa lgebrique

La representation algebrique d'une fonction est l'expression def(x) en fonction dex.

Voir les exemples du premier paragraphe.

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2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeA l'aide de la representation algebrique, on peut par exemple dresser un tableau de

valeurs de la fonctionf.

Exemple :

f:x7!3x25 Tableau de valeurs :x2101p21;5f(x)725211;753.2Repr esentationg raphiqued'une fo nction Lorsqu'on a la representation algebrique ou algorithmique on peut dresser un tableau de valeurs de la fonctionfpuis ensuite denir des points de la forme (x;f(x)) que l'on peut placer dans un repere (O;OI;OJ) ouOIetOJsont les unites des axes du repere.

Notation :

On noteraCfla courbe representative de la fonctionfdans le repere. Attention : Il ne faut pas non plus confondref,Cfetf(x). Ce sont trois choses dierentes.

Exemple :

f:x7!x2

Tableau de valeurs :x321012

f(x)9410149

(x;f(x))A(3;9)B(2;4)C(1;1)D(0;0)E(1;1)F(2;4)G(3;9)Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-6-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde3.3Repr esentationa lgorithmiqued' unef onction

Un algorithme est une suite d'instructions rigoureuses, ordonnant a un processeur (vous ou l'ordinateur) d'executer dans un ordre un nombre ni d'operations elementaires. On va des fois confondre algorithme et programme. Le programme est l'ecriture de l'algorithme dans un langage precis pour qu'un ordinateur puisse l'executer. Nous utiliserons principalement cette annee le logiciel Algobox ou la calculatrice pour ecrire le programme de nos algorithme. Exemple 01 : On veut traduire la fonction suivantef:x7!(x+ 1)25 Voici trois facon d'ecrire l'algorithme mais la derniere sera plus proche du programme. 1.

Comm eau col lege:

Prendre un nombre.

Lui ajouter 1.

Elever le resultat au carre.

Retrancher 5 au resultat.

Ecrire le nombre obtenu.

En sc hematisant:

En u tilisantun p rogramme:

Declaration des variables :

xest un reel yest un reel

Debut du programme

yprend la valeur dex+ 1 yprend la valeur dey2 yprend la valeur dey+ 1

Acher la valeur dey

Fin du programme.

Exemple 02 :

On veut traduire la fonction suivantef:x7!1x

+ 2 Voici trois facon d'ecrire l'algorithme mais la derniere sera plus proche du programme. 1.

Comm eau col lege:

Prendre un nombre.

Si celui-ci est egal a 0 acher que c'est impossible de diviser par 0 Sinon

Prendre l'inverse du nombre

Ajouter 2 au resultat precedent.

Acher le resultat obtenu.

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-7-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde2.En sc hematisant:

En u tilisantun p rogramme:

Declaration des variables :

xest un reel yest un reel

Debut du programme

Six= 0 alors acher : Une division par 0 est impossible Sinon yprend la valeur de1x yprend la valeur dey+ 2

Acher la valeur dey

Fin du programme.

4 R echerchede l 'imaged' unnom brepa rune f onction 4.1

Al gebriquement

Exemple :

On notefla fonctionf:x7!(x1)24

Cherchons l'image de 2 par la fonctionf:

Dans ce cas on conna^t l'antecedentx= 2 donc il sut de remplacerxpar 2 dans l'expression algebrique pour calculer son imagef(2). f(2) = (21)24 = (1)24 = 14 =3

Donc3 est l'image de 2 par la fonctionf.

4.2

Gra phiquement

Exemple :

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-8-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeOn notefla fonctionf:x7!(x1)24

Cherchons graphiquement l'image de 2 par la fonctionf:Donc -3 est l'image de 2 par la fonctionf. Remarque : On peut lire qu'uen approximation lorsque l'on fait une lecture graphique. 4.3

A l 'aidede l 'algorithme

Exemple :

On notefla fonctionf:x7!(x1)24

Cherchons a l'aide d'un programme l'image de 2 par la fonctionf:

Programme de la fonction:

Declaration des variables :

xest un reel yest un reel

Debut du programme

yprend la valeur dex1 yprend la valeur dey2 yprend la valeur dey4

Acher la valeur dey

Fin du programme.

Executons ce programme en remplacantxpar 2 :

xprend la valeur de 2 yprend la valeur de 21 = 1 yprend la valeur de 12= 1 yprend la valeur de 14 =3

L'achage est3

Donc l'image de 2 parfest3

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-9-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde5R echerchedes a ntecedentsd'un no mbrepa rune

fonction 5.1

Al gebriquement

Exemple :

On notefla fonctionf:x7!(x1)24

Cherchons les antecedents de 5 par la fonctionf:

Dans ce cas on conna^t l'imagef(x) = 5 donc il sut de resoudre cette equation pour determiner les eventuelles antecedents de 5 parf. f(x) = 5,(x1)24 = 5,(x1)29 = 0 ,(x1 + 3)(x13) = 0,(x+ 2)(x4) = 0 ,x+ 2 = 0 oux4 = 0,x=2 oux= 4

Donc les antecedents de 5 parfsont2 et 4.

5.2

Gra phiquement

On notefla fonctionf:x7!(x1)24

Cherchons graphiquement les antecedents de 5 par la fonctionf:Donc2 et 4 sont les antecedents de 5 par la fonctionf.

5.3

A l 'aidede l 'algorithme

On notefla fonctionf:x7!(x1)24

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2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeCherchons a l'aide d'un programme les antecedents de 5 par la fonctionf:

Programme de la fonction:

Declaration des variables :

xest un reel yest un reel

Debut du programme

yprend la valeur dex1 yprend la valeur dey2 yprend la valeur dey4

Acher la valeur dey

Fin du programme.

Executons ce programme mais a l'envers. Faire les operations inverses du bas vers le haut.

L'achage est 5

ya donc pris la valeur de 5 ya pris la valeur de 5 + 4 = 9 ya pris la valeur dep9 = 3 oup9 =3 ya pris la valeur 3 + 1 = 4 ou la valeur3 + 1 =2 xa pris la valeur2 ou 4

Donc les antecedents de 5 parfsont4 et 2

R esolutiond'i nequations

6.1

Al gebriquement

Cette partie sera abordees dans le futur chapitre sur les inequations donc pour l'instant il n'y aura que des resolutions graphique d'inequations.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeJ'aimais et j'aime

Stendhal

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeTable des matieres

D enitionet N otations

En sembled ed enitiond 'unefo nction

Re presentationd' unefo nction

Rep resentational gebrique

Rep resentationgrap hiqued 'unef onction

Rep resentational gorithmiqued' unefon ction

Al gebriquement

G raphiquement

A l 'aided el 'algorithme

Al gebriquement

G raphiquement

A l 'aided el 'algorithme

R esolutiond 'inequations

Al gebriquement

G raphiquement

Re cherched esex tremasd 'unef onction

Al gebriquement

G raphiquement

L etab leaud es igned 'unefo nction

L etab leaud esv ariationsd 'unef onctions

Q uelquescas p articuliers

Les fon ctionsp aires

Les fon ctionsi mpaires

Les fon ctionsp eriodiques

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Notation mathematique d'une fonction:

On lit :fla fonction qui axassocie son imagef(x)

Attention au vocabulaire :

Ne pas confondrefetf(x).Exemples :

1.f1:x7!3x(Fonction lineaire)

2.f2:x7!5x+ 4 (Fonction ane)

3.f3:x7!6 (Fonction constante)

4.f4:x7!x2(Fonction "carre")

5.f5:x7!px(Focntion racine carree)

6.f6:x7!5x+ 37x1(Fonction homographique)

7.f7:x7!4(x1)225 (Fonction polyn^ome du second degre sous forme

8.f8:x7!4x25x+ 6 (Fonction polyn^ome du second degre sous forme

9.f9:x7!2(x2)(x+ 3) (Fonction polyn^ome du second degre sous forme

Ens emblede d enitiond'une f onction

Denition :

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeIl n'y a que deux ou trois cas, en seconde, pour lesquels il se peut que la fonction

Exemples :

1.f1:x7!3x25

1(x) existe pour toutes les valeurs reelles dexdoncD

2(x) existe si et seulement six6= 0 doncD

3(x) existe si et seulement si 2x46= 0,2x6= 4,x6= 2

4(x) existe si et seulement six296= 0,(x3)(x+ 3)6= 0,x36= 0 et

5(x) existe si et seulement si 3x60,3x6,x2

6(x) existe si et seulement si 155x0, 5x 15,x3

Repr esentationa lgebrique

Voir les exemples du premier paragraphe.

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeA l'aide de la representation algebrique, on peut par exemple dresser un tableau de

Exemple :

Notation :

Exemple :

Tableau de valeurs :x321012

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde3.3Repr esentationa lgorithmiqued' unef onction

Comm eau col lege:

Prendre un nombre.

Lui ajouter 1.

Elever le resultat au carre.

Retrancher 5 au resultat.

Ecrire le nombre obtenu.

En sc hematisant:

En u tilisantun p rogramme:

Declaration des variables :

Debut du programme

Acher la valeur dey

Fin du programme.

Exemple 02 :

On veut traduire la fonction suivantef:x7!1x

Comm eau col lege:

Prendre un nombre.

Prendre l'inverse du nombre

Ajouter 2 au resultat precedent.