MATHEMATIQUES - Equation de la parabole - —————————————
est négatif, la parabole est décalée vers le bas (fig 2 4) Notons que - si [ a ] est positif et [ c ] négatif, la parabole est orientée vers le haut (concavité positive) mais son sommet est situé en dessous de l'axe des abscisses Le graphe de la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points appelés racines (fig 2 5)
parabole exos 1 - gokce dogan
EX 1) La parabole ci-contre est la représentation graphique de la fonction du second degré Déterminer la valeur minimale de cette fonction EX 2) La parabole ci-contre est la représentation graphique de la fonction f(x) du second degré Le point S est le sommet de la parabole Determiner f(-2) EX 3) La parabole ci-contre est la
TS MATHÉMATIQUES DM 01 - CORRECTION
• f'(3)=2 car la parabole admet en B une tangente de coefficient directeur 2 Remarque : Cette étape est indispensable, elle permet de passer du registre graphique (passe par le point, tangente de coefficient directeur) au registre des fonctions
Les coniques - Accueil
Représentation graphique de la parabole translatée : Étapes : 1 Détermine son ouverture : droite-gauche ou haut-bas ? 2 Détermine son sommet et son foyer 3 Trace également sa droite directrice Exercices : #1 Dans chaque cas, détermine les coordonnées de sommet et du foyer de la parabole :
Mathématique Appliquée 30S Note : Fonctions et Équations
Parabole : - Courbe symétrique qui représente une fonction quadratique Sommet d’une parabole: - Le point le plus bas du graphique (si le graphique est ouvert vers le haut) ou son point le plus haut (si le graphique est ouvert vers le bas) Minimum (d’une fonction) (k) : - La plus petite valeur de l’image d’une fonction
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 1)
II Représentation graphique 1) La parabole Exemple : La représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 s’appelle une parabole Propriétés : Soit f une fonction polynôme du second degré, telle que (#)=8#’+9 - Si a est positif, f est d’abord décroissante, puis croissante : « cuvette »
Exercices chap 1 barbazo
La parabole ci-dessous tracée dans un repère ortho- normé, représente une fonction polynôme du second degréf Utiliser le graphique pour déterminer la forme fac- torisée def(x) La parabole ci-dessous représente une fonction polynôme du second degréf Utiliser le graphique pour déterminer la forme cano- nique def(x)
laterre, don de Dieu - SOCABI
L^équipe de Parabole vous souhaite une bonne lecture pendant que vous contemplerez les splendeurs de l^automne Chers lecteurs et lectrices, La Terre, don de Dieu Le respect de notre environnement naturel implique à coup sûr des efforts de conversion afin d’adopter un nouvel art de vivre
FONCTIONS - Généralités
7) Etude et représentation graphique des fonctions x ax bx co f 2 x 7-1)Résumé : f x ax bx c 2 et az0 1° Dans le repére 0; ;ij la courbe C f c’est une parabole de sommet W;DE et d’axe de symétrie la droite x D 2° Les variations de f a 0 Si a 0 7-2) Exemple : 1° Soit f une fonction numérique tq : f x x x2 2 4 2 on a f
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Mathématique
Appliquée 30S
Note :
Fonctions et
Équations
Quadratiques :
Nom : ________________
2Table Des Matières
Leçon 1 : Explorer les fonctions quadratiques p. 3 de la forme canonique Leçon 2 : Explorer les fonctions quadratiques p. 11 de la forme générale Leçon 3 : Résoudre des équations quadratiques (Les racines/zéros/abscisses) p. 14 Leçon 4 : Résoudre des équations p. 17 Leçon 5 : Trace les Fonctions Quadratiques p. 19 avec la technologie.Leçon 6 p. 21
Leçon 7 p. 29
fonction avec technologie avec un contexte 3 Leçon 1 : Explorer les fonctions quadratiques de la forme canoniqueA) Vocabulaire
Fonction Quadratique :
- Une fonctio dont la valeur f(x) pour x est donnée par un polynôme de degré 2. - f(x) = x2Forme canonique fct quadratique) :
- La forme y = a(x h)2 + k (h, k) = sommetEx : y = 2(x 3)2 4 Sommet :
Ex : y = -3(x + 4)2 + 5 Sommet :
fct quadratique) : - La forme y = ax2 + bx + cParabole :
- Courbe symétrique qui représente une fonction quadratique. - Le point le plus bas du graphique (si le graphique est ouvert vers le haut) ou son point le plus haut (si le graphique est ouvert vers le bas). (k) : - La plus petite val fonction. parabole est ouvert vers le haut. (a est positive) (k) : ouverte vers le bas. (a est négative)Axe de symétrie (h) :
deux parties congruentes. Le graphique est symétrique sur les deux côtés du sommet. 4B) a » de f(x) = a(x h)2 + k ou
y = af(x) a : - Représente le coefficient dominant. Le signe de " a e la parabole. - La valeur de " a » indique si la parabole est étroite ou compressé (large). 1) Le paramètre " a » détermine et la forme de la parabole. - Si " a » est négative, le graphique est ouvert vers le bas.Ex : y = -2(x 1)2 + 3
a = -2 maximum et la valeur du maximum est y = 3. - Si " a » est positive, le graphique est ouvert vers le haut.Ex : y = 3(x + 2)2 1
a = 3 minimum et la valeur du minimum est y = -1. 52) Les étirements verticaux y = af(x)
Étirement :
un facteur donné. - Quand le facteur est compris entre 0 et 1, le sont compressées); quand le facteur est supérieur à 1, le Le graphique subit un étirement vertical par un facteur de ȁࢇȁ i) Si ܽExemple : y = 3x2 Les valeurs de y sont multipliées par 3 et la parabole est plus étroite que celle
de f(x) = x2. ࢞ Les valeurs de y sont multipliées par 1/3, donc vraiment les valeurs de y sont divisés par 3 et la parabole est plus large que celle de f(x) = x2. 6C) Les Effets des valeurs de h et k
1) Les translations verticales y = x2 + k :
La valeur de la translation verticale (k) indique la valeur du minimum/maximum qui est aussi la valeur de y du sommet.Exemple :
a) f(x) = x2 devient y = x2 + 4 k = 4 alors un déplacement (translation) vertical vers le haut par 4 unités. b) y = x2 3 k = -3 alors un déplacement (translation) vertical vers le bas par 3 unités. 72) Les translations horizontales y = (x h)2
La valeur de la translation horizontale (h) indique la valeur qui est aussi la valeur de x du sommet.Exemple :
a) f(x) = x2 devient y = (x 5)2 " e » sur le graphique ci-dessous h = 5 alors déplacement(translation) horizontal vers la droite par 2 unités. b) f(x) = x2 devient y = (x + 2)2 " d » sur le graphique ci-dessous h = 2 alors déplacement (translation) horizontal vers la gauche par 4 unités D) Les Caractéristiques des fonctions quadratiques1) Les Graphiques Quadratiques
Ex 1 : Ex 2 :
Sommet _______ Sommet ______
Ouvert vers le ______ Ouvert vers le _______ Maximum ou minimum Maximum ou minimum Ainsi que la valeur ? Ainsi que la valeur ? Axe de symétrie x = _____ Axe de symétrie x = h = h = k = k = 82) Les Équations Quadratiques y = a(x h)2 + k
(équation de base y = x2)Ex 3 : Ex : 4
y = 2(x + 3)2 6 y = െଵ ଷ(x 2 )2 + 4 a : a : h : h : k : k :Axe de symétrie : Axe de symétrie :
Maximum ou minimum ainsi que la valeur Maximum ou minimum ainsi que la valeurSommet : Sommet :
Notez vos observations des valeurs de a, h, k
Exemple 1 :
Quels graphiques paraissent représenter des relations quadratiques ? Explique ta réponse.Exemple 2 :
Lesquelles des relations suivantes sont quadratiques ? Explique ta réponse. a) y = 2x 7 b) y = x2 5x 6 c) y = 4x3 + x2 x + 4 d) y = 2x(x + 3) 9Exemple 3 :
" a » et " k » de chaque fonction quadratique. a) f(x) = 0,8x2 3 b) f(x) = 2(x 1)2 c) f(x) = -3(x + 2)2 1 E)Exemple : Détermine les
a) y = 2(x 3)2 4 b) y = -3(x + 1)2 + 5 c) y = ଵ 10 11 Leçon 2 : Explorer les fonctions quadratiques de la forme générale A) Trouve le sommet avec la formule et la substitution (algébriquement)2 + bx + c, où a, b et c sont des
nombres réels et où a് 0. f(x) = a(x r1)(x r2) r = racine (abscisse/zéro)a : Détermine la forme du graphique et la direction de son ouverture (a + : vers le haut; a - : vers le bas)
b : Influe sur la position du graphique. c : Tu peux développer f(x) = a(x h)2 + k et comparer les coefficients obtenus avec ceux de la forme générale f(x) = ax2 quadratique. f(x) = a(x h)2 + k (x h)2 est un trinôme carré parfait = (x h)(x h) f(x) = a(x2 2xh + h2) + k f(x) = ax2 2axh + ah2 + k f(x) = ax2 + (-2ah)x + (ah2 + k) f(x) = ax2 + bx + c La comparaison des deux formes permet de constater que : b = -2ah ou ࢎൌି࢈ ࢇ et c = ah2 + k ou k = c ah2. h équivaut à , alors la valeur de x de ton sommet. est ࢞ൌି࢈ la valeur de y/k. 121) Utilise la fonction quadratique générale pour répondre aux questions :
f(x) = 2x2 8x + 9 b) Détermine le minimum ou maximum. c) Détermine le sommet. e) Trace le graphique sans la technologie. 13 B) forme générale.2) a) Détermine les caractéristiques suivantes :
y = x2 y = x2 2x y = -x2 + 2x + 8 y = 2x2 12x + 25La direction de
Le domaine
symétrieLe maximum ou le minimum
Le sommet
b) Associe les équations des fonctions quadratiques générales aux graphiques ci-dessus3) Trace le graphique sans la technologie.
f(x) = -2x2 4x + 5 14Leçon 3
factorisation. (Les racines/zéros/abscisses)A) Vocabulaire
Résoudre :
- Trouve les valeurs de la variable inconnue. Alors ici trouve x quand y = 0.Équation quadratique :
- Une équation du second degré de la forme générale ax2 + bx + c = 0, o a്0. - Par exemple : Si y = 2x2 + 12x + 16 donc 0 = 2x2 + 12x + 16 - Lorsqݔ étant donné une valeur de ݕ. On peut - Chaque solution- Si la solution est un nombre réel ou une expression qui représente un nombre réel, on parle
racine réelle. - ou le zéro sur le graphique (quand y = 0) - Toute valeur de x pour laquelle f(x) = 0. - Les zéros ont un l de la fonction.