[PDF] Tout ce qu’il faut savoir en math

Livret de formules pour le cours de mathématiques NM

Livret de formules pour le cours de mathématiques NM À utiliser en cours et durant les examens Premiers examens en 2014 Édition de 2015 (2e version)

Formulaire de dérivées - maths-francefr

Formulaire de dérivées Dérivées des fonctions usuelles Fonction Dérivée Domaine de définition Domaine de dérivabilité x n, n ∈ N∗ nx −1 R R 1 x − 1 x2 R∗ R∗ 1 xn, n ∈ N∗ −

RESUME DU COURS DE MATHEMATIQUES

Fiche 33 Formules de Taylor page 41 Fiche 34 Développements limités page 42 Fiche 35 Systèmes d’équations linéaires page 44 Fiche 36 Espaces vectoriels page 45 Fiche 37 Applications linéaires page 47 Fiche 38 Matrices page 49 Fiche 39 Changement de base page 51

Tout ce qu’il faut savoir en math

Tout ce qu’il faut savoir en math 1Pourcentage 2 Prendre un pourcentage t d’un quantité a : a t 100 2 Calculer le pourcentage d’une quantité a par rapport à une quantité b :

Formulaire de trigonométrie circulaire - maths-francefr

Formules d’Euler ∀x ∈ R, cosx = eix +e−ix 2 et eix +e−ix = 2cosx ∀x ∈ R, sinx = eix −e−ix 2i et eix −e−ix = 2isinx Formule de Moivre ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, (eix)n = einx 2 http ://www maths-france frc Jean-Louis Rouget, 2008 Tous droits réservés

TRIGONOMÉTRIE : FORMULAIRE

Formules de linéarisation cos2(a) = 1cos(2) 2 + a sin 2(a) = 1cos(2) 2 − a tan (a) = 1cos(2) 1cos(2) a a − + Extensions : cos3(a) = cos(3)3cos() 4 aa+ sin3(a) = sin(3)3sin() 4 −+aa tan3(a) = sin(3)3sin() cos(3)3cos() aa aa −+ + Au delà, utiliser les formules d'Euler Les formules d'Euler permettent également de montrer que : cos(a

Suite géométrique LES SUITES - Maths & tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques LES SUITES n Le raisonnement par récurrence Principe : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n ≥ n0 n Limites Propriétés : - lim n→+∞ n

Répondre aux questions suivantes

Correction des exercices en groupe en faisant énoncer toutes les règles mathématiques utilisées (on multiplie les deux membres de l’égalité par la superficie, puis on divise les deux membres par 120 ) Partie 2 : Pour chacun des exercices ci-après dégager les règles mathématiques utiles

UniversitédeCaen - Christophe Chesneau

UniversitédeCaen Quelques notions mathematiques de base´ Christophe Chesneau https://chesneau users lmno cnrs fr/ Caen,le28Septembre2017

Première S - Statistiques descriptives - Variance et écart type

Dans l’exemple précédent on pourrait soustraire 50 à toutes les tailles on obtiendrait une nouvelle moyenne : U0,1 H :3 ;0,16 :2 ;0,24 :1 ; E0,3 H0 E0,18 H1 E0,02 H2 L F0,64 et on retrouve T en rajoutant 50 à U : T = – 0,64 + 50 = 49,36 3) Propriété 2 Si on multiplie toutes les valeurs de la série statistique par un même nombre

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Tout ce qu"il faut savoir en math

1

P ourcentage

2Prendre un pourcentaget% d"un quantitéa:at100

2Calculer le pourcentage d"une quantitéapar rapport à une quantitéb:ab

1002Le coecient multiplicateurCMpour une augmentationa:CM=1+a100

2Le coecient multiplicateurCMpour une réductionr:CM=1r100

2On calcul le pourcentage d"évolution d"une quantité par :Valeur finalevaleur initialevaleur initiale

1+t100

n2Une quantitéAdiminuénfois successivement d"un même pourcentagetdevient :A 1t100 n2Statistiques

LamédianeMed"une série statistique est la valeur de la variable qui partage l"eectif total en deux

parties égales.

LequartileQ1est la plus petite valeur de la variable telle qu"au moins 25 % des valeurs de la série lui

soient inférieures ou égales.

LequartileQ3est la plus petite valeur de la variable telle qu"au moins 75 % des valeurs de la série lui

soient inférieures ou égales.

LedécileD1est la plus petite valeur de la variable telle qu"au moins 10 % des valeurs de la série lui

soient inférieures ou égales. LedécileD9est la plus petite valeur de la variable telle qu"au moins 90 % des

valeurs de la série lui soient inférieures ou égales. On définitl"écart interquartilepar :Q3Q1etl"intervalle interquartilepar [Q1;Q3]

Lediagramme en boîtesreprésente une série statistique ainsi que sa médiane, ses quartiles et ses

valeurs extrêmes (éventuellement les déciles) :Une série statistique double dencouples (xi;yi) se représente, dans un repère orthogonal bien choisi,

par unnuage de points. Lepoint moyenGest le point dont les coordonnées sont :xG=¯x=n P i=1xin etyG=¯y=n P i=1yin

Paul Milan 1 sur

8

Terminale ES

3 PROBABILITÉS

Selon la forme du nuage, on peut l"ajuster de manière ane, quadratique (carre/racine carree) ou grâce

aux logarithmes/exponentielles (on pose, en general,zi=ln(yi)) Ajustement des extremes : Ajustement ane qui utilise les deux points extremes du nuage (le premier et le dernier) Ajustement de Mayer : Ajustement ane qui utilise les deux points moyens de deux sous-nuages du nuage global. Pour tous les ajustements anes, on peut calculer la somme des residusnP i=1[yi(axi+b)]2

Ajustement par laméthode des moindres carres: La droite d"equationy=ax+btelle quea=Cov(x;y)V(x), et qui passe par le point moyenG(¯x; ¯y) est la droite qui rend minimale la somme des residus

n P i=1[yi(ax+b)]2. On obtient son équation en utilisant la calculatrice (Menu STAT, CALC, REG) 3

Pr obabilités

L"univers

est l"ensemble des résultats possible d"une expérience aléatoire. UnévénementAest une partie de Pour tout événementA, 06P(A)61. On aP(?)=0etP(

)=1La somme des probabilités des événement élémentaires vaut 1.p1+p2++pn=1La probabilité d"un événement est égale à la somme des propabilité des événements élémentaires qui le

composent. Dans le cas d"équiprobabilité,P(A)=Card(A)Card( )=Nbre de cas favorablesNbre de cas possibles.

Pour deux événementsAetB,P(A[B)=P(A)+P(B)P(A\B)Si les événéments sont incompatibles (A\B=?) alorsP(A[B)=P(A)+P(B)Pour tout événementA, on noteAl"événement contraire etP(A)=1P(A)3.1Conditionnement et indépendance

BsachantApar :

P A(B)=P(A\B)P(A),P(A\B)=P(A)PA(B)On a alors l"arbre suivant :

Paul Milan 2 sur

8

Terminale ES

4 ALGÈBRE

Les événementsAetBsontindépendantslorsque la réalisation de l"un n"influe pas sur la réalisation

de l"autre. On a alors : P

A(B)=P(B) ouPB(A)=P(A))P(A\B)=P(A)P(B)

3.2

V ariablealéatoir e

On définit une variable aléatoireXsur

lorsqu"on associe un nombre réel aux événements de . La loi

de probabilité de la variable aléatoireXest la fonctionk7!P(X=k), souvent présentée dans un tableau :valeurs possiblesx

1x 2...x nprobabilitép 1p 2...p netp1+p2++pn=1 L"espèrence mathématique de cette loi est le nombre notéE(X) défini par : E(X)=p1x1+p2x2++pnxn3.3Répétition d"épr euve

Lorsque qu"on répète plusieurs fois et

de manière indépendante une expè- rience n"ayant que deux issues (suc- cès et échec),Sde probabilitépet¯S de probabilitéq=1p, on eectue uneexpérience de Bernouilli.

Sur l"ensemble des répétitions, on

peut compter le nombre de succès à l"aide d"un arbre. Ne pas oublier que l"évènement contraire de " obtenir au moins un succès » est " obtenir que des échec».4Algèbr e 4.1

Le second degré

P(x)=ax2+bx+cle trinôme du second degré. Lediscriminant =b24ac Si>0, l"équationP(x)=0 admetdeux racinesréelles distinctes : x 1=b+p

2aetx2=bp

2a

Factorisation:

P(x)=a(xx1)(xx2)

LesignedeP(x) est du signe de

aà l"extérieur des racines et du signe deaà l"intérieur.Si =0, l"équationP(x)=0 admetune unique racineréelle "double» : x 0=b2a

Factorisation:

P(x)=a(xx0)2

LesignedeP(x) s"annule enx0

et est du signe deaailleurs.Si<0, l"équationP(x)=0n"admetpas de racineréelle

Onne peut pas factoriserP(x)

LesignedeP(x) est du signe de

a.Paul Milan 3 sur8 Terminale ES

4 ALGÈBRE

4.2

Domaine de définition d"une f onction

Il faut exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.pu(x) existe ssiu(x)>0 ln (u(x))existe ssiu(x)>0 Les conditions peuvent se cumuler d"où des sytèmes et des intersections d"intervalles. 4.3

Limites et asymptotes

On étudie les limites d"une fonction aux bornes de son ensemble de définition. On peut utiliser alors :

2Les limites des fonctions élémentaires : ( limx!+1x2= +1)

2Les limites de comparaison (théorème des gendarmes)

2Les opérations sur les limites (somme, produit et quotient). Attention aux formes indéterminées

+1 1;0 1;11 et00

2La limite en1d"un polynôme est celle de son terme du plus haut degré.

2La limites en1d"une fonction rationnelle est celle de son quotient simplifié des termes du plus

haut degré.

2Les limites par croissance comparées (cf exponentielle et logarithmes)

Asymptote verticaleSi lim

x!af(x)=1, la droite d"équationx=aest asymptote verticale àCf.

Il faut en général étudier la li-

mite à gauche et à droite dea.Asymptote horizontale

Si lim

x!1f(x)=`, la droite d"équationy=`est asymptote horizontale àCf.Asymptote oblique

Si lim

x!1[f(x)(ax+b)]=0, la droite d"équationy=ax+best asymptote oblique àCfen+1, 1.

Position relative: il faut étudier

le signe def(x)(ax+b). 4.4

Théorème des v aleursintermédiair es

alors pour toute valeurkcomprise entref(a) etf(b), l"équationf(x)=kadmet uneunique

solution sur l"intervalle [a;b]. Ce théorème s"étend aux cas d"intervalles ouverts et aux bornes

infinieCas def(x)=0 : Sifest une fonction est dérivable (donc continue) et strictement monotone sur

l"intervalle [a;b] et sif(a)f(b)<0, alors il existe une unique solutionà l"équationf(x)=0 dans l"intervalle [a;b].Paul Milan 4 sur8 Terminale ES

4 ALGÈBRE

4.5

Déri véeet primiti ves

Si pour toutx2I,f0(x)>0 alorsfeststrictement croissantesurI. Si pour toutx2I,f0(x)<0 alorsfeststrictement décroissantesurI. Uneprimitivesur l"intervalleId"une fonctionfcontinue surIest une fonctionFdéfinie et dérivable surI, telle que :

8x2I;F0(x)=f(x)

Les primitives sont définies à uneconstante près.FonctionDérivéeD 0 ff(x)=kf

0(x)=0R

f(x)=xf

0(x)=1R

f(x)=xnn2Nf

0(x)=nxn1R

f(x)=1xf

0(x)=1x

2R f(x)=1x nn2Nf

0(x)=nx

n+1R f(x)=pxf

0(x)=12

pxR +f(x)=ln(x)f

0(x)=1xR

+f(x)=exf

0(x)=exRFonctionPrimitiveD

Ff(x)=kF(x)=kxR

f(x)=xF(x)=x22R f(x)=xnF(x)=xn+1n+1R f(x)=1xF(x)=lnxR +f(x)=1x nF(x)=1(n1)xn1R R f(x)=1pxF(x)=2pxR +f(x)=exF(x)=exR

DérivéeFormule

de la somme(u+v)0=u0+v0deku(ku)0=ku0du produit(uv)0=u0v+uv0de l"inverse 1u 0 =u0u

2du quotient

uv

0=u0vuv0v

2de la puissance(

un)0=nu0un1de la racine pu 0=u02 pu du logarithme( lnu)0=u0u de l"exponentielle( exp(u))0=u0exp(u)PrimitiveFormule de la sommeR (u+v)=Ru+RvdekuR (ku)=kRudeu0unR u0un=un+1n+1de u0uR u0u =lnjujde u0u nn,1R u0u n=1(n1)un1de u0puR u0pu =2pu deu0euR u0eu=euPaul Milan 5 sur8 Terminale ES

4 ALGÈBRE

4.6 Représentation de la f onctionet du nombr edéri vé tativeCfde la fonctionfadmet au pointA(a;f(a)) une tangente de coecient directeurf0(a) dont l"équation est : y=f0(a)(xa)+f(a)Le coecient directeur de la tangente est la valeur du nombre dérivé. Ce coecient se lit sur la courbe en calculant le quotientyx.4.7La f onctionlogarithme et la f onctionexponentielle

Fonction logarithmeFonction exponentielle

lnxest définie sur ]0;+1[

On a :

ln1=0 et lne=1 ln(ab)=lna+lnb;ln1b =lnb ln ab =lnalnb;lnan=nlna ln

0(x)=1x

. La fonction ln est strictement crois- sante sur ]0;+1[.: exoùexp(x) est définie surRe'2;718

On a :

e

0=1 ete1=e

e a+b=eaeb;ea=1e a e ab=eae b;(ea)n=ena ex)0=ex. La fonctionexest strictement croissante surR.Paul Milan 6 sur8 Terminale ES

4 ALGÈBRE

Fonction logarithmeFonction exponentielle

lim x!+1lnxx =0;limx!+1lnxx n=0 lim x!0+xlnx=0;limx!0+xnlnx=0lim x!+1e xx = +1;limx!+1e xx n= +1 lim x!1xex=0;limx!1xnex=04.8Equations et inéquations mêlant logarithmes et exponentielles Elles se traitent en utilisant la strictecroissancedes fonctions logarithme et exponentielle.

Siaetbsont deux réel positifs alors :

lna=lnb,a=bet lnaSiaetbsont deux réels quelconques alors : e a=eb,a=beteaF onctionexponentielle en base a Pour tout réel positifaet pour tout nombre réel b, on définit :ab=eblna.

2Sia>1, la fonctionaxest strictement crois-

sante surR.

2Si 0 décroissante surR.4.10Calcul intégral et calcul d"air es

Toutes les fonctionsfetgsont continues sur [a;b] donc intégrable sur [a;b].Fdésigne une primitive

de la fonctionf. L"intégrale defentreaetbest le nombre défini par : Z b a f(x)dx=[F(x)]ba=F(b)F(a)

On a les propriétés suivantes :

Z a a f(x)dx=0 etZ a b f(x)dx=Z b a f(x)dx Z c a f(x)dx=Z b a f(x)dx+Z c b f(x)dxrelation de Chasles Z b a (af(x)+bg(x))dx=aZ b a f(x)dx+bZ b a g(x)dxlinéarité de l"intégrale

Sif(x)>0 sur [a;b] alorsZ

b a f(x)dx>0La réciproque est fausse

Sif(x)>g(x) sur [a;b] alorsZ

b a f(x)dx>Z b a g(x)dxPaul Milan 7 sur8 Terminale ES

5 SUITE

La valeur moyenne defsur [a;b]=1baZ

b a f(x)dx

Primitive définie par une intégrale :G(x)=Z

x a f(t)dtprimitive qui s"annule ena

Calcul d"aire

Sif(x)>0 sur [a;b], le domaine délimitée

parCf, l"axe des abscisses et les droites d"équation x=aetx=b, est donné, en unité d"aire (ua) par :Zb a f(x)dx

Sif(x)<0 sur [a;b],Rb

af(x)dxsera l"opposé

de l"aire du domaine défini ci-dessus.Sif(x)6g(x) sur [a;b], l"aire du domaine limité parCf,Cget les droite d"équationsx=aetx=b

vaut :Rb a(f(x)g(x))dx 5

Suite Suites arithmétiques

(utilisées pour des variations absolues)Suite géométriques (utilisées pour des variations relatives (en %)Définition :un+1=un+ret un premier terme. rest la raison

Terme général :

u n=u0+nrouun=up+(np)r

Somme des termes :

S n=u0+u1++un=(n+1)u0+un2

D"une façon générale :

S n=Nbre de termestermes extrèmes2Définition :un+1=qunet un premier terme. qest la raison

Terme général :

u n=u0qnouun=upqnp

Somme des termes :

S n=u0+u1++un=u01qn+11qD"une façon générale : S

n=1erterme1qNbre de termes1qLimites de suites :On examine le comportement des termesunlorsquentend vers+1.

On dit que la suite (un)converge, si la limite des termesunest finie soit limn!+1un=`.

Dans tous les autres cas, on dit que la suite (un)diverge: soit limn!+1un=1soit limn!+1unn"existe pas

(exemple (1)n) Thèorème: Une suitegéométriquede raisonq:

2Converge vers 0 si1

2Diverge vers1siq>1 et limn!+1qn= +1

2est constante siq=1

2n"admet pas de limite siq61Paul Milan 8 sur8 Terminale ES

quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19