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Département COMELEC UE COM105 Corrigé du TD 1 Exercice 1 1 Il est clair que Tb = 1 D avec D le débit binaire On obtient donc Tb = 1µs 2 On rappelle qu’un sinus cardinal a pour Transforméede Fourier une fonctionrectangulaire Ainsi, on a
zNotations asymptotiques : 0 et Θ zComplexité des algorithmes
Le comparer avec le dernier élément; renvoyer le plus grand des deux 36 Analyse : nombre de comparaisons effectuées zC(n)= complexité de la recherche du plus
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Département COMELEC UE COM105
Corrigé du TD 1
Exercice 1
1. Il est clair que
T b=1 D avecDle débit binaire. On obtient donc T b= 1μs.2. On rappelle qu"un sinus cardinal a pour Transformée de Fourier une fonction rectangulaire. Ainsi, on a
TF t?→sinc?t Ts??1Ts(f),
avec 12Ts0si|f|>1
2Ts. d"où TF? t?→sinc?t-Ts Ts??1Ts(f)e-2iπTsf.
On en conclut que
H(f) = Π1
Ts(f) (1-e-2iπTsf) = 2i.Π1Ts(f).e-iπTsf.sin(πTsf), ce qui implique que |H(f)|= 2.Π1Ts(f).|sin(πTsf)|.
3. D"après la formule de Bennet, la largeur de bande des(t)est donnée par celle de|H(f)|. Par conséquent, on a
B=1 2Ts.4. Parce queh(Ts)?= 1, cette mise en forme ne vérifie pas la condition de Nyquist pour le temps-symboleTs. Il y
aura donc de l"IES.5. En ré-écrivant le signal par rapport aux sinus cardinaux,on obtient facilement que
s(t) =? kc kg(t-kTs) avec g(t) = sinc?t Ts? et c k=ak-ak-1.(1)Par conséquent, aux instants d"échantillonnage multiplesdeTs, le signals(t)est représenté par la nouvelle
constellation"ckqui admet 3 valeurs possibles-2,0, et2. Par conséquent, le diagramme de l"oeil est celui en
bas à gauche (Quadrant Sud-Ouest). 16. Finalement, on peut décoder directementcket donc obtenirˆck. Ensuite, on retrouve les détectionsˆaksuraken
supposant que l"Eq. (1) est encore valable pour les décisions, c"est-à-dire, queˆck= ˆak-ˆak-1.(2)
On pratiquedonc un codagedifférentiel entre deux amplitudes consécutives.Le système est initialisé para-1=
ˆa-1= 0, et on en déduit donc lesˆaksuivant l"Eq. (2).Vous verrez en COM223 que cette manière de procéder ne correspond pas au maximum de vraisemblance et
n"est donc pas optimale. En fait, l"algorithme optimal est l"algortihme de Viterbi qui a été découvert en 1973
et qui est implémenté notamment dans les téléphones mobiles2G pour gérer ce problème d"IES (induit par des
échos du canal de propagation).
Exercice 2
1. On rappelle que
B=1 +α
2Ts=D2log2(M)(1 +α)
Commeα≥0, on a
D-1 et donc DL"application numérique de l"exercice conduit àlog2(M)≥3,6d"où l"utilisation minimale d"une16-PAM.
2. SiM= 16, alors
1 +α=2Blog2(M)
D= 1.1111
ce qui induit queα= 11.11%
3. Comme nous fournissons les spectres des filtres, il faut vérifier si l"équation suivante est valide
k???? R? f-k Ts? ?=constante.Clairement le spectreane vérifie pas le critère de Nyquist (fréquentiel).En revanche les spectresbetcvérifient
le critère. Pour le spectreb, cela se voit en sommant deux spectres décalés entre eux. Pour le spectrec, il faut
sommer trois spectres décalés entre eux pour s"en apercevoir.