Corrig¶e de la feuille d’exercices 1
Les exercices ¶etoil¶es (*) s’adressent aux seuls ¶etudiants inscrits µa l’unit¶e MO12 Corrig¶e de la feuille d’exercices 1 Exercice 1 Etude des sous-groupes de Z=nZ: (i) Montrez que tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe µa Z=nZ; (ii) Montrez que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique;
Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1
1 Résoudre dans , l’équation (donner les solutions sous forme algébrique et trigonométrique), et exprimer ces solution en fonction de 2 Montrer que { } muni de la multiplication est un sous-groupe de ( ) 3 Déterminer les ordres possible des sous-groupes de ( ), en déduire tous les sous-groupes de ( )
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2 1 Polyµedres r¶eguliers 1 1 Trois polyµedres r¶eguliers et leurs groupes Exercice 1 Le t¶etraµedre r¶egulier: on note IT le groupe des isom¶etries qui laissent le t¶etraµedre globalement invariant et DT le sous-groupe de IT constitu¶e par les d¶eplacements de IT
Groupes Examenfinal+corrigé
cylique engendré par h K∩hhiétant un sous-groupe strict de hhi, par Lagrange il est trivial De plus le groupe engendré par K et hcontient strictement K, par Lagrange à nouveauilestégalàG Enfinghhig−1 = hhipourtoutélémentdehhi,pourtoutélément de K⊂Z(G), et donc finalement pour tout élément de G: ainsi hhiest distingué dans
EXERCICESSURLESGROUPES
Exercice24 Groupes abéliens d’ordre donné Donner la liste des groupes abéliens d’ordre 72 à iso-morphismesprès,sousforme“facteursinvariants”etsousforme“facteursélémentaires” Exercice25 Un théorème de simplification Soit G,H,G0,H0des groupes finis, tels que G’G0et G×H’G0×H0 OnseproposedemontrerqueH’H0
Groupes, sous-groupes, ordre - Cours et exercices de
Groupes, sous-groupes, ordre Exercice 1 On dispose d’un échiquier et de dominos Les dominos sont posés sur l’échiquier soit horizontalement, soit verticalement de façon à couvrir deux cases contiguës Est-il possible de couvrir ainsi entièrement l’échiquier à l’exception des deux cases extrèmes, en haut à gauche et en bas à
Exercices corrig´es de Algebra Hungerford, Thomas W
Exercices corrig´es de Algebra1, Hungerford, Thomas W Adem Oztur¨ k et Fabien Trihan¨ 2 avril 2004 1Reprint of the 1974 original Graduate Texts in Mathematics, 73 Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980
Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d
Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 1 Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d'équivalence Lois de composition (groupes) Logique élémentaire Objectifs : Démontrer que deux ensembles sont égaux, maîtriser les opérations élémentaires ensemblistes (union, intersection, complémentaire), utiliser
TD11 : Repr esentations des groupes nis I
TD11 : Repr esentations des groupes nis I Exercices ?: a pr eparer a la maison avant le TD, seront corrig es en d ebut de TD Exercices ??: seront trait es en classe en priorit e Exercices ???: plus di ciles Exercice 1 : ? Montrer que tout groupe ni Gadmet une repr esentation d ele sur tout corps K Solution de l’exercice 1
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L2 parcours spécial - Algèbre 11 mai 2016
Groupes
Examen final + corrigé
Durée: 2 heures
Documents, calculatrice ou téléphone interdits. Le barême est sur 20 + 2 points bonus (partie
III).I - Exemples (5 points)
Justifier chacun des exemples en une ou deux phrases.1. Donner un exemple d"élément d"ordre 15 dans le groupe symétriqueS8.
Solution. (1 point)
σ= (12345)(678)convient, car l"ordre d"une permutation est le PPCM des ordres des cycles de sa décomposition canonique.2. Donner un exemple de deux éléments d"ordre 3 non conjugués dans le groupe symétrique
S 6.Solution. (1 point)
(123)et(123)(456)sont deux éléments d"ordre 3 dansS6, qui sont non conjugués car de types différents.3. Donner un exemple de groupeGet de deux élémentsa,b?Gd"ordre 2 tel queabsoit
d"ordre 3.Solution. (1 point)
On peut prendreG=S3,a= (12)etb= (23), on a bienab= (123)d"ordre 3.4. Donner un exemple d"élément d"ordre 4 dans le groupeGL2(R)des matrices2×2in-
versibles à coefficients réels.Solution. (1 point)
La matrice?0-1
1 0? convient, elle correspond à la rotation d"angleπ/2dans le planR2.5. Donner un exemple d"élément d"ordre infini dans le groupeSO2(R)des rotations du plan.
Solution. (1 point)
Toute matrice de la forme?cosθ-sinθ
sinθcosθ? avecθ= 2παetα??Qconvient, en effet les rotations d"ordre fini du plan sont exactement les rotations d"angle un multiple rationnel de2π. NB: c"est bienαqui doit être irrationnel, et pasθlui-même. Par exempleθ=πest irrationnel mais correspond à une rotation d"ordre 2...II - Groupes abéliens (6 points)
Les questions de cet exercice sont indépendantes. On attend une rédaction concise et précise.
1. SoitGun groupe abélien,a?Gd"ordrem, etb?Gd"ordren, avecmetnpremiers entre
eux. Montrer queabest d"ordremn.Solution. (2 points)
Notonsdl"ordre deab: par définition,dest le plus petit entier≥1tel que(ab)d= 1.D"une part, commeab=ba, on a
(ab)mn=amnbmn= (am)n(bn)m= 1n1m= 1. D"autre part (très peu ont su faire cette deuxième partie de l"argument...)1 = (ab)d=adbd
impliquead=b-dappartient à?a?∩?b?. Comme?a?est d"ordrem, et?b?est d"ordren, avecm,npremiers entre eux, on en déduit par le théorème de Lagrange que?a?∩?b?={1}, doncad=bd=1, et finalementdest un multiple commun demetn, en particulierd≥mn.Conclusion :d=mn.
2. SoitGun groupe dont tous les éléments (à part le neutre) sont d"ordre 2. Montrer queG
est abélien.Solution. (2 points)
Soita,b?G. Par hypothèse l"élémentabest d"ordre 2 (ou 1), on a donc1 = (ab)2=abab,
et doncab=b-1a-1. De plusa-1=aetb-1=b(à nouveau cara2=b2= 1) donc ab=b-1a-1=ba, autrement ditaetbcommutent.3. SoitRle groupe additif des nombres réels, etU?C?le sous-groupe multiplicatif des
complexes de module 1. Expliciter un morphisme surjectif deRversU, et en déduire que Uest isomorphe à un quotient deRque l"on précisera.Solution. (2 points)
On considère l"application suivante
?:R→U x?→eix D"une part?est un morphisme car?(x+y)=ei(x+y)=eixeiy=?(x)?(y), et?est surjectif car tout complexe de module 1 s"écrit sous la formeeix. Le noyau de?est égal à ker?={x?R;eix= 1}= 2πZoù2πZdésigne le sous-groupe des multiples entiers de2π. Par le théorème d"isomorphisme,
on en déduit queU?R/2πZ.III - Centre d"unp-groupe (3 points)
Il y avait une erreur d"énoncé dans les deux dernières questions de cette partie (errare humanum
est...). Ci-dessous pour info les énoncés corrects, et concernant le barême j"ai neutralisé ces
deux questions (avec 0.5 ou 1 point bonus pour ceux qui m"ont dit des choses correctes en dépitde l"énoncé incorrect, et 2 points bonus pour l"unique personne qui a repéré qu"il y avait un
problème avec l"énoncé...)