TD2 : Actions de groupes et th eor emes de Sylow
Ecole Normale Sup erieure 1 ere ann ee Ann ee 2015-2016 Alg ebre 1 TD2 : Actions de groupes et th eor emes de Sylow Exercices ?: a pr eparer a la maison avant le TD, seront corrig es en d ebut de TD
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2
Les exercices ¶etoil¶es (*) s’adressent aux seuls ¶etudiants inscrits µa l’unit¶e MO12 Corrig¶e de la feuille d’exercices 2 1 Polyµedres r¶eguliers 1 1 Trois polyµedres r¶eguliers et leurs groupes Exercice 1 Le t¶etraµedre r¶egulier: on note IT le groupe des isom¶etries qui laissent le t¶etraµedre
Th eorie des Groupes Corrig e du Devoir Surveill e du 24
3 le nombre de 3-sous-groupes de Sylow et n 5 le nombre de 5-sous-groupes de Sylow de G=Hrespectivemet Alors n 3 divise 5 et n 3 1 (mod 3) et n 5 divise 3 et n 3 1 (mod 5):Donc n 3 = n 5 = 1:Comme le 5-sous-groupe de Sylow de G=H est un groupe d’ordre 5 il est isomorphe a Z=5Z:De m^eme, le
Corrig¶e de l’examen flnal Problµeme 1 1 Trouver les facteurs
Le nombre de 41-Sylow de G est congru µa 1 modulo 41 et divise 49 selon le th¶eorµeme de Sylow Il en d¶ecoule que ce nombre est 1 et que donc P est distingu¶e dans G Un raisonnement similaire de comptage s’applique µa Q, et permet de conclure Nous constatons aussi que P \ Q = f1g, que G = PQ et que les deux sous-groupes dans le
Corrig´e de la Feuille d’exercices 7
Corrig´e de la Feuille d’exercices 7 D’apr`es le th´eor`eme de Sylow, donc de montrer que pour H0 ⊂ H deux groupes finis tels que H0 est distingu´e
Universit´e Denis Diderot Paris 7, Semestre septembre 2006
Un corrig´e du Partiel du 7 novembre 2006 Le probl`eme et les exercices sont ind´ependants Les groupes et ensembles sont tous suppos´es finis Exercice 1 1 a) Soit G un groupe poss´edant m (exactement) p-sous-groupes de Sylow En faisant agir G sur ces sous-groupes, en d´eduire un homomorphisme non trivial ρ : G → S m
Corrig¶e de l’examen partiel Mars 2008
Corrig¶e de l’examen partiel Mars 2008 Exercice 1 Soit (G;:) un groupe Soient N et H deux sous-groupes de G tels que N soit distingu¶e On considµere le sous-ensemble suivant de G: NH:= fn:h; n 2 N;h 2 Hg: (1) Monter que NH est un sous-groupe de G Comme N et H sont des sous-groupes de G, le neutre 1 de G appartient µa N et µa H D
TD5 : groupes r esolubles et nilpotents, croissance des groupes
TD5 : groupes r esolubles et nilpotents, croissance des groupes Exercices ?: a pr eparer a la maison avant le TD, seront corrig es en d ebut de TD Exercices ??: seront trait es en classe en priorit e Exercices ???: plus di ciles Certaines questions de cette feuille sont r esolues dans le polycopi e de cours, mais ces notions ne seront
Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps
On fournit d’abord des exemples de groupes : dans les deux premiers cas et le dernier, il s’agit de groupes ab´eliens Les deux autres (comme la plupart des groupes fonctionnels) sont non commutatifs •Z, Q, R, Cmunis de la somme •Q∗, R∗, C∗, U, Unmunis du produit
Programme du M1 Math ematiques et applications
- Groupes : Rappels sur les actions de groupes, equations aux classes, p-groupes, groupe altern e, les 3 th eor emes de Sylow, sous-groupes permutables, produit direct, th eor eme de structure des groupes ab eliens nis - Anneaux : Id eaux, maximaux, premiers, quotients, anneaux int egres, anneaux euclidiens, princi-
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