Groupes résolubles, groupes simples

un exemple de sous-groupe H non distingué de G pour lequel la conclusion précédente est fausse Correction H [002153] Exercice 19 Soit G un groupe ﬁni et H un sous-groupe distingué d’ordre n et d’indice m On suppose que m et n sont premiers entre eux Montrer que H est l’unique sous-groupe de G d’ordre n Correction H [002154

4 Groupes : ordres, sous-groupes distingu es, quotients

Rappel : Sous-groupe normal (ou distingu e) On dit qu’un sous-groupe HˆGest normal (ou distingu e) si pour tout x2Gon a xH= Hx Exercice 4 6 1 Montrer que le sous-groupe H= fid;(12)gˆS 3 n’est pas distingu e, et explici-ter les classes a droite et a gauche modulo H 2 Trouver tous les sous-groupes distingu es du groupe sym etrique S 3 3

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotient

Exercice 20 Soit G un groupe et H un sous groupe distingu´e de G d’indice n Montrer que pour tout a ∈ G, an ∈ H Donner un exemple de sous-groupe H non distingu´e de G pour lequel la conclusion pr´ec´edente est fausse Exercice 21 Soit G un groupe ﬁni et H un sous-groupe distingu´e d’ordre n et d’indice m

Exercices sur les groupes 1 Les inexcusables

Un sous-groupe Hvéri ant ces propriétés est appelé sous-groupe distingué dans G 3) rouvTer un exemple de triplet (G;H;x) avec Ggroupe, Hsous-groupe de Get x2Gtel que xHx 1 H (on pourra penser au cas où Hest le sous-groupe engendré par une transvection dans GL(V))

Groupes, sous-groupes, ordre - Cours et exercices de

Soit G un groupe et H;K deux sous-groupes de G (a) Montrer que H[K est un sous-groupe de G si et seulement si H

Leçon 103: Exemples et applications des notions de sous

distingué,illescontienttouspuisqu’ilssonttousconjugués Siilcontientunélémentd’ordre 5, il contient le 5-Sylow engendré par cet élément, donc tous les 5-sous-groupes de Sylow puisqu’ilssonttousconjugués,donc H contienttouslesélémentsd’ordre5

Exercices Algèbre - Groupes I

Montrer que D„G”, f‡get que Gne possède pas de sous-groupe distingué de cardinal 3 En déduire que D„G”=V – 4 Montrer que si Hest un sous-groupe d’indice d’un groupe ˝ni A, alors HCA(regarder les classes à gauche et à droite suivant G) 5 SoitHunsous-groupedeG= A – MontrerquesiHestd’indice ,alorsD„G