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On the almost Goldbach problem of Linnik

On the almost Goldbach problem of Linnik par JIANYA LIU, MING-CHIT LIU, et TIANZE WANG RÉSUMÉ On démontre que sous GRH et pour k ~ 200, tout en-tier pair assez grand est somme de deux nombres premiers impairs et de k puissances de 2 ABSTRACT Under the Generalized Riemann Hypothesis, it is

YUGOSLAV WAR OCCURRENCES AND THE INTERNATIONAL AND MUNICIPAL

Yugoslav War Occurrences and the International and "Municipal" Law Problem Relations 465 ship, held in 1990, completely defeated their competitors Only, there was an essential difference between the Serbian and other nationalisms Those nationalisms longed for dis-solution of Yugoslavia by means of secession of certain Republics; the Serbian

item?id=JTNB 2003 15 1 141 0

ressons au problème de la représentation des puissances de nom-bres premiers pm appartenant à une progression de 0394 par une forme quadratique de r ABSTRACT Let r be a set of binary quadratic forms of the same discriminant, 0394 a set of arithmetical progressions and m a positive integer

Uneformuleasymptotiquepourlenombredespartitionsde

anxn une s´erie de puissances a coefficients POSITIFS, telle qu’on ait log g(x) ∼ A 1 −x, quand x tend vers un par valeurs positives Alors on a log sn = log (a0 +a1 +···an) ∼ 2 p (An), quand n tend vers l’infini† En posant g(x) = (1 −x)f(x), on a A = π2 6; et nous en tirons p(n) = eπ q (2 3 n)(1+ǫ), (1) ou` ǫ tend vers

Section 1 FUNDAMENTALS OF AUTOMATIC TRANSMISSIONS

the vehicle picked up speed The problem occurred because the vanes on the impeller and turbine are curved in the opposite direction to one another Fluid coming off of the turbine is thrust against the impeller in a direction opposite to engine rotation Notice the illustration of the torque converter stator on the following

D´eveloppementsasymptotiquesdanslescoques elliptiques

de vecteur f(ε) admet un d´eveloppement asymptotique en puissances de ε : f(ε) f0+εf1+ k≥2 ε kfk o`u les fk sont des champs de vecteurs C∞ sur Ω=S×(−1,1) ind´ependants de ε On note (r,s)un syst`eme de coordonn´ees dans un voisinage du bord ∂S o`u r est la distance g´eod´esique au bord et s l’abscisse curviligne le long

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Probl`emes math´ematiques de la m´ecanique /Mathematical Problems in Mechanics

D´eveloppements asymptotiques dans les coques

elliptiques : Equations tridimensionnelles lin´earis´ees

ErwanFAOU

IRMAR, Universit´e de Rennes 1, Campus de Beaulieu, F-35042 Rennes Cedex, France R´esum´e.On ´etudie le d´eveloppement asymptotique de la solution des ´equations tridimensionnelles de l"´elasticit´e lin´earis´ee pour un mat´eriau homog`ene et isotrope dans le cas d"une coque elliptique encastr´ee tout le long de sa face lat´erale. On montre que pour des donn´ees r´eguli`eres, cette solution admet un d´eveloppement asymptotique en puissances deε1/2 o`uεrepr´esente la (demi-)´epaisseur de la coque. Ce d´eveloppement contient deux´echelles de termes de couches limites : d"une part des termes exponentiellement d´ecroissants enr/⎷εo`urest la distance g´eod´esique au bord lat´eral de la coque, d"autre part des termes exponentiellement d´ecroissants enr/ε comme dans le cas des plaques.Asymptotic expansions for elliptic shells: Linearized three-dimensionnal equations Abstract.We study the asymptotic expansion of the solution of the three-dimensionnal linearized elasticity equations for a homogeneous and isotropic material in the case of an elliptic shell clamped along its whole lateral face. We show that for smooth data, this solution admits an asymptotic expansion in powers ofε 1/2 whereεrepresents the (half-)thickness of the shell. This expansion contains boundary layer terms with two scales: terms exponentially decaying with respect tor/⎷εwhererdenotes the geodesic distance to the lateral boundary of the shell, and terms exponentially decaying with respect tor/ε like for plates.

Abridged english version.We consider the equations of linear three-dimensional elasticity on a thin elastic shell made

with a homogeneous and isotropic material. We suppose that the mean surfaceSis a smooth compact surface embedded inR 3 , with or without boundary. We suppose that the shell is elliptic: this means thatShas positive Gaussian curvature, or equivalently that the principal curvatures are everywhere of the same sign. For , we define the geometric shell Ω as the image of the application (P,h)?→P+hN(P) fromS×(-ε,ε)toR 3 , whereN(P) is a normal vector field onS.Thushis the transverse variable and ifxα are local coordinates onS, (x ,h) is a localnormal coordinates systemon Ω . The constituting material is characterized

Note pr´esent´ee par Philippe Ciarlet

1 by the Lam´e coefficientsλandμ. The boundary conditions imposed to the shell are zero traction condition on the upper and lower faces and clamped conditions on the whole lateral face. Letube the three-dimensional displacement. We denote byu its surfacic components and byu 3 its normal component. We make the change of variableh=εx 3 and we pose u(ε)(x ,x 3 )=u(x ,h) . Thusu(ε)=(u (ε),u 3 (ε)) is a 1-form field on the manifold Ω :=

S×(-1,1) .

The main result is the following: if the loading forces are smooth and admit an asymptotic

expansion in powers ofεon Ω (like the Taylor expansion), then in the case where∂S?=∅we

have an asymptotic expansion : u(ε)?? k≥0 k/2 ?u k/2 (x ,x 3 )+χ(r)V k/2 (r⎷

ε,s,x

3 )+χ(r)Φ k/2 (r Mmnml 3 )?(1) where theu k/2 are smooth 1-form fields on Ω . The coordinates (r,s) are defined near the boundary of the surfaceS, andris the geodesic distance to∂Swhilesis the arc length on ∂S. Here,V k/2 (T,s,x 3 ) are terms exponentially decreasing with respect toTand polynomials inx 3 . The termsΦ k/2 (R,s,x 3 ) are exponentially decreasing with respect toRand are similar to the boundary layer terms for plates (see [2]). The functionχ(r) is a cut-off function near the

lateral boundary of the shell. If∂S=∅then the displacementu(ε) expands in powers ofε.

The expansion (1) means that we can estimate the difference in the H 1 norm on Ω betweenu(ε) and a partial sum of the expansion by the remaining terms. The first term in the expansion (1) is of the formu 0 (x ,x 3 0 (x 0 is the solution of the membrane problem onS(see [1, 4]). Moreover, we haveV 0α = 0 andV 03 (T,s,x 3 )=Z 03 (T,s) whereZ 03 is a boundary layer term independent onx 3 .AsΦ 0 1/2 0 H 1 ×H 1 ×L 2 1/4 This inequality is optimal and improves the result in [7].

Recall that Γ(T

1 S) is the space of 1-form fields onS. Using the expansion (1) and the expansion of the solutionz=(z ,z 3 )?Γ(T 1

S)×C

(S) of the Koiter model given in the part one (see [4]), we can estimate the difference between the displacementuandzin H 1 Moreover, we define the displacementU(z) by the formula (see also [5]): U (z)=z -h(D z 3 +2b z ) andU 3 (z)=z 3 -hλ

P+2μγ

(z)+h 2

2(λ+2μ)ρ

(z), where D is the covariant derivative onS,b the curvature tensor,γ (z) the change of metric tensor associated tozandρ (z) the change of curvature tensor (the repeated indices correspond to the contraction of tensor fields). Then we have the estimate : 1/2 E[u] whereE[v] is the energy ofvassociated with the three-dimensional problem on the physical shell Ω . Moreover, this estimate remains the same if we replacezby the solution of others classical two-dimensional models of the formM+ε 2

BwhereMis the membrane operator

andBis a bending operator (see [4]) associated with a bilinear form of the type (z,η)?→ 1 g S M (z)τ (η)dS, withM =?λa a +μ(a a +a a ) wherea is the inverse of the metric tensor onSand?λ=2λμ(λ+2μ) -1 . The operatorτ is of the form (z)=D D z 3 (z) whereχ is an operator of order 1 inz and 1 in 0 inz 3 Hence for clamped elliptic shell, these models approach the three-dimensional model with the same convergence rate inε. 2

1 Le probl`eme tridimensionnel

SoitSune surface compacte orientable dont le bord∂Speut ´eventuellement ˆetre r´eduit `a∅. On suppose queSestC , et est plong´ee isom´etriquement dansR 3 . Dans cette note, on suppose queSestelliptiqueen tout point, c"est-`a-dire que sa courbure de Gauss est strictement positive, o`u encore que ses courbures principales sont partout de mˆeme signe. SurS, on notea le tenseur m´etrique etb le tenseur de courbure dans un syst`eme de coordonn´ees locales. Le tenseur m´etrique permet de monter et descendre les indices. Par exempleb =a b repr´esente les composantes du tenseur de courbure vu comme champ de tenseurs de type (1,1) surS.Lar´ep´etition d"indices covariant et contravariant correspond `a la contraction des champs de tenseurs. La surface ´etant elliptique, on a alors dans tout syst`eme de coordonn´ees localesb ≥c(ξ 21
22
) pour une constantecnon nulle et pour tout couple (ξ 1 2 )?R 2 Une coque tridimensionnelle est un objet mince dont la surface moyenne est donn´ee par 0 assez petit, on d´efinit la coque g´eom´etrique comme l"image Ω de l"application (P,h)?→P+hN(P)deS×(-ε,ε) dansR 3 ,o`uN(P) est une normale unitaire `aSenP. L"ouvert Ω poss`ede donc deux faces Γ images par l"application pr´ec´edente deS×{-+ε}et un bord lat´eral Γ ε0 image de∂S×(-ε,ε). Six est un syst`eme de coordonn´ees locales surS, alors (x ,h) est un syst`eme de coordonn´ees locales sur Ω issu du diff´eomorphisme entre Ω et la vari´et´eS×(-ε,ε). Un tel syst`eme de coordonn´ees s"appellesyst`eme de coordonn´ees normales.

Le probl`eme tridimensionnel consiste alors `ar´esoudre les ´equations de l"´elasticit´e sur Ω

pour un mat´eriau homog`ene et isotrope d´etermin´e par ses coefficients de Lam´eλetμ.

On suppose de plus que la coque est encastr´ee tout le long de sa face lat´erale Γ ε0 et libre sur les faces Γ .Led´eplacementuest donc solution des ´equations suivantes, ´ecrites en coordonn´ees cart´esiennes j A ijk? e k? (u)=f i dans Ω

T(u) = 0 sur Γ

u= 0 sur Γ ε0 ,(2) o`uA ijk? ij k? ik j? i? jk ) est le tenseur de rigidit´eete ij (v)= 1 i v j j v i est le tenseur des d´eformations en coordonn´ees cart´esiennes (∂ i est la d´eriv´ee par rapport `a une coordonn´ee cart´esienne deR 3 ). L"op´erateurTest l"op´erateur de traction naturel sur les faces Γ issu de l"int´egration par partie de la formulation variationnelle associ´ee. Les forces appliqu´ees `a la coques sont repr´esent´ees par le champs de vecteurs dont les composantes sont not´eesf i

Il s"agit donc du probl`eme classique de l"´elasticit´e lin´earis´ee pos´e sur un ouvert mince

deR 3 pour un mat´eriau homog`ene et isotrope. Ce probl`eme admet une unique

solutionuet son ´etude dans le cas g´en´eral fait l"objet d"une vaste litt´erature (voir par

exemple [5, 8, 1, 9]). En particulier, une question naturelle est de se demander comment approcher le d´eplacementupar un d´eplacement construit `a partir de la solution d"un probl`eme bidimensionnel pos´e sur la surface moyenne. De nombreux mod`eles ont ´et´e

propos´es (voir [8] pour un survol de diff´erents mod`eles employ´es) mais le plus ´el´egant

du point de vue de sa formulation et le plus utilis´e est le mod`ele de Koiter (voir [5]). Ce mod`ele d´ecrit une petite d´eformation de la surface moyenne `a partir des tenseurs de changement de m´etrique et de changement de courbure associ´es. 3 Lorsque cela est possible, l"utilisation de d´eveloppements asymptotiques permet de d´eterminer la performance d"un mod`ele bidimensionnel dans l"approximation du d´eplace- ment tridimensionnel, et de comparer les performances des diff´erents mod`eles entre eux. Dans le cas o`u la surfaceSest elliptique, comme dans le cas des plaques (voir [2]) une telle analyse est possible. Dans [4], on a montr´e l"existence d"un d´eveloppement asymp- totique `a deux ´echelles pour la solution du mod`ele de Koiter, et on montre maintenant l"existence d"un d´eveloppement asymptotique `a trois ´echelles du d´eplacementu. Dans un syst`eme de coordonn´ees normales, on noteu les composantes surfaciques du d´eplacementu,etu 3 sa composante transverse. Pour ´etudier le comportement enε de la solutionu, on fait le changement de variableh=εx 3 et on poseu(ε)(x ,x 3 u(x ,h)o`ux est un syst`eme de coordonn´ees locales surS. Le champ de 1-formes u(ε)=(u (ε),u 3 (ε)) est donc d´efini sur la vari´et´eS×(-1,1). Sifd´esigne le charge- ment, on note aussif(ε) le champ de vecteur correspondant sur la vari´et´eΩ.

2D´eveloppement asymptotique

On a le r´esultat suivant (voir [3])

Th ´eor`eme 1. -Supposons que la surfaceSest elliptique, et soitu(ε)la solution du probl`eme(2)apr`es le changement de variableh=εx 3 . On suppose que le champ de vecteurf(ε)admet un d´eveloppement asymptotique en puissances deε:f(ε)? f 0 +εf 1 k≥2 k f k o`u lesf k sont des champs de vecteursC surΩ=S×(-1,1) ind´ependants deε. On note(r,s)un syst`eme de coordonn´ees dans un voisinage du bord ∂So`urest la distance g´eod´esique au bord etsl"abscisse curviligne le long de∂S. Alorsu(ε)admet un d´eveloppement asymptotique en puissances deε 1/2 u(ε)?? k≥0 k/2 ?u k/2 (x ,x 3 )+χ(r)V k/2 (r⎷

ε,s,x

3 )+χ(r)Φ k/2 (r leSeb 3 )?(3) o`u lesu k/2 sont des champs de 1-formesC surΩ,o`uχ(r)est une fonction de troncature pr`es de bord, et o`u les ´el´ementsV k/2 (T,s,x 3 )sont uniform´ement exponen- tiellement d´ecroissants enT, polynomiaux de degr´ekenx 3 et sont de classeC .Enfin les termesΦ k/2 (R,s,x 3 )sont uniform´ement exponentiellement d´ecroissants enR.Le d´eveloppement(3)est intrins`eque et ne d´epend pas du syst`eme de coordonn´ees choisi. L"´equation (3) signifie que siNest un entier et siS N d´esigne la somme partielle d"ordreNde la s´erie (3) alors on a ?u(ε)-S N H 1 3 (N+1)/2 ??u (N+1)/2 H 1 3 +?χV (N+1)/2 H 1 3 (N+1)/2 H 1 3 En utilisant alors les d´ecroissances exponentielles des termesV k/2 etΦ k/2 on montrequotesdbs_dbs9.pdfusesText_15