Cours de Terminale STG

Étude de fonctions polynômes, cours, classe de terminale STMG 4 Exemples d’étude de fonctions polynômes Exemple 1 : Soit f la fonction déﬁnie sur ] 1 ;+1[ par f(x) = 3x2 + 7x f est dérivable sur R et pour tout réel x, f0(x) = 6x+ 7 f0(x) = 0 si et seulement si 6x+ 7 = 0 c’est à dire x = 7 6

Étude de fonctions Exercices - Free

Étude de fonctions – Exercices – Terminale STMG – G AURIOL, Lycée Paul Sabatier Étude de fonctions – Exercices Rappel sur le signe et les variations d’une fonction 1 Soit une fonction dont le tableau de signe est donné ci-dessous Signe de 1 Déterminer les signes de , , et 2 Résoudre , et

Étude de quotients, cours, terminale STMG

Étude de quotients, cours, terminale STMG F Gaudon 3 juillet 2015 Table des matières 1 Dérivation de quotients1 2 Étude de quotients2 1 Dérivation de quotients Propriété : On considère la fonction inverse f dé nie par f(x) = 1 x pour tout x appartenant à] 1 ;0[[]0;+1[ Alors sa fonction dérivée est donnée par:::: Propriété :

Cours de mathématiques – Terminale STMG

Exemple : Le taux de natalité en France pour 1 000 habitants était de 18,70 en 1960 et de 12,83 en 2010 On choisit comme indice de base 100 le taux de natalité pour 1 000 habitants en 1960

Cours de Terminale STG

Page 6 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STG c Calcul d’une grandeur Méthode : On considère une grandeur qui évolue de la valeur y1 à la valeur y2 et on note t le taux d’évolution de la

BAC BLANC - MATHEMATIQUES - CORRIGE Terminale STMG

Terminale STMG Exercice 1 5 points Partie A - Etude du coût total et de la recette 1 Estimons par lecture graphique : (a) Nous lisons l’ordonnée du point de la courbe d’abs-cisse 4 soit 200 Le coût total de production de 4 tonnes est d’environ 200 milliers d’euros (b) Nous lisons l’abscisse du point de la courbe d’ordon-

PROGRAMME DE MANAGEMENT DES ORGANISATIONS - stmgeducation

Le programme de management des organisations constitue le socle des enseignements technologiques en classe de STMG En classe de première, il est étroitement articulé avec celui de sciences de gestion, puis en classe de terminale avec les enseignements de spécialités Le management des organisations privilégie une approche stratégique

PROGRAMMES DES ENSEIGNEMENTS DE SCIENCES DE - stmgeducation

Programme de l’enseignement de sciences de gestion en classe de première de la série STMG Page 2 sur 10 Cette présentation permet notamment de distinguer l'approche technologique, centrée sur le sens et la portée, d’une

Carnet de bord eleve - pedagogieac-orleans-toursfr

L'étude de gestion est une épreuve anticipée et évaluée pendant l’année de première STMG Seuls sont pris en compte les points supérieurs à la note de 10 sur 20, coefficient 2 L’épreuve a lieu en deux parties : la conduite de l’étude (durant l’année) puis la présentation

Fonction exponentielle A) Fonctions exponentielles de base

3) En déduire les solutions de ( ) C) Etude de la fonction ???? 1 Fonction dérivée de la fonction ???? Théorème : Admis La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même ( )Autrement dit, si )= sur ℝ alors ′( = sur ℝ Conséquence :

COURS DE MATHEMATIQUES - TERMINALE STG

Chapitre 1. TAUX D"EVOLUTION.......................................................................................................................5

§ 1. TAUX D" EVOLUTION ET COEFFICIENTS MULTIPLICATEURS.................................5

a. Taux d"évolution...............................................................................................................................5

b. Coefficient multiplicateur................................................................................................................5

c. Calcul d"une grandeur.....................................................................................................................6

d. Evolution réciproque........................................................................................................................6

§ 2. EVOLUTIONS SUCCESSIVES.................................................................................................6

a. Taux global........................................................................................................................................6

b. Taux moyen.......................................................................................................................................7

§ 3. EVOLUTIONS EN TERME D"INDICES.................................................................................7

a. Indice simple.....................................................................................................................................7

b. Taux d"évolution en terme d"indices...............................................................................................7

§ 4. PETITS TAUX D"EVOLUTION...............................................................................................8

a. Taux global........................................................................................................................................8

b. Taux moyen.......................................................................................................................................8

c. Evolution réciproque........................................................................................................................8

Chapitre 2. SUITES..................................................................................................................................................9

§ 1.

SUITES ARITHMETIQUES......................................................................................................9

a. Suite arithmétique............................................................................................................................9

b. Formule explicite de un en fonction de n.........................................................................................9

c. Sens de variation d"une suite arithmétique..................................................................................10

d. Représentation graphique d"une suite arithmétique...................................................................10

e. Somme de termes consécutifs d"une suite arithmétique..............................................................10

§ 2. SUITES GEOMETRIQUES.....................................................................................................11

a. Définition d"une suite géométrique...............................................................................................11

b. Formule explicite de un en fonction de n.......................................................................................11

c. Sens de variation d"une suite géométrique...................................................................................12

d. Représentation graphique d"une suite géométrique....................................................................12

e. Somme de termes consécutifs d"une suite géométrique...............................................................12

§ 3. APPLICATIONS ECONOMIQUES........................................................................................13

a. Intérêts simples...............................................................................................................................13

b. Intérêts composés............................................................................................................................13

c. Valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes.......................................................................14

d. Annuité d"un emprunt à d"annuités constantes...........................................................................14

Chapitre 3. PROGRAMMATION LINEAIRE....................................................................................................15

§ 1. EQUATIONS DE DROITES....................................................................................................15

Page 2 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STG

a. Equation d"une droite non parallèle à l"axe des ordonnées........................................................15

b. Equation cartésienne d"une droite................................................................................................16

c. Parallélisme de droites...................................................................................................................16

d. Résolution d"un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues..................................................16

§ 2. SYSTEMES LINEAIRES D" INEQUATIONS A 2 INCONNUES......................................17

a. Résolution graphique d"une inéquation à 2 inconnues................................................................17

b. Résolution graphique d"un système d"inéquations à 2 inconnues..............................................17

§ 3. PROGRAMMATION LINEAIRE...........................................................................................18

Chapitre 4. STATISTIQUES.................................................................................................................................19

§ 1. SERIES STATISTIQUES SIMPLES.......................................................................................19

a. Série de notes...................................................................................................................................19

b. Série classée.....................................................................................................................................19

§ 2. SERIES STATISTIQUES DOUBLES.....................................................................................19

a. Série statistique double...................................................................................................................19

b. Nuage de points...............................................................................................................................20

c. Point moyen.....................................................................................................................................20

d. Ajustement affine............................................................................................................................21

Chapitre 5. FONCTION DERIVEE.....................................................................................................................22

§ 1. NOMBRE DERIVE...................................................................................................................22

a. Tangente à une courbe en un point...............................................................................................22

b. Nombre dérivé d"une fonction en un réel.....................................................................................22

c. Equation de la tangente à une courbe en un point.......................................................................22

§ 2. CALCUL DE DERIVEES.........................................................................................................23

a. Fonctions dérivée............................................................................................................................23

b. Dérivée des fonctions usuelles........................................................................................................23

c. Dérivées et opérations.....................................................................................................................24

d. Dérivées et composition..................................................................................................................24

§ 3. LECTURE GRAPHIQUE.........................................................................................................25

Chapitre 6. ETUDE DE FONCTIONS.................................................................................................................26

§ 1. SENS DE VARIATIONS D"UNE FONCTION.......................................................................26

a. Signe de la dérivée et monotonie...................................................................................................26

b. Sens de variations et tableau de variations...................................................................................26

c. Etude du sens de variations d"une fonction polynôme................................................................27

d. Etude du sens de variations d"une fonction rationnelle...............................................................27

§ 2. EXTREMUM D"UNE FONCTION.........................................................................................27

a. Minimum d"une fonction...............................................................................................................27

b. Maximum d"une fonction...............................................................................................................28

Page 3 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STG

c. Dérivée et extremum.......................................................................................................................29

§ 3. RESOLUTION D"EQUATIONS ET D"INEQUATIONS......................................................30

a. Résolution graphique d"une équation du type f(x) = k................................................................30

b. Résolution graphique d"une inéquation du type f(x) < k.............................................................30

Chapitre 7. PROBABILITES................................................................................................................................31

§ 1. ORGANISATION DE DONNEES...........................................................................................31

a. Tableau à double entrée.................................................................................................................31

b. Arbre................................................................................................................................................31

c. Diagramme de Venn.......................................................................................................................31

§ 2. VOCABULAIRE DES PROBABILITES................................................................................32

a. Loi de probabilité............................................................................................................................32

b. Probabilité d"un événement...........................................................................................................32

c. Evénement contraire......................................................................................................................33

§ 3. INTERSECTION ET REUNION DE DEUX EVENEMENTS.............................................33

a. Intersection de 2 événements.........................................................................................................33

b. Réunion de 2 événements...............................................................................................................34

§ 4. PROBABILITES CONDITIONNELLES...............................................................................34

a. Approche.........................................................................................................................................34

b. Probabilité conditionnelle..............................................................................................................35

c. Arbre de probabilités.....................................................................................................................35

Chapitre 8. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE...........................................36

§ 1. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN.............................................................................36

a. Fonction logarithme népérien........................................................................................................36

b. Sens de variations...........................................................................................................................36

c. Le nombre e.....................................................................................................................................36

d. Représentation graphique..............................................................................................................37

e. Propriétés algébriques....................................................................................................................37

§ 2. PUISSANCES REELLES.........................................................................................................37

a. Puissances réelles............................................................................................................................37

b. Résolution d"équations du type ax = k...........................................................................................38

c. Résolution d"équations du type xn = a...........................................................................................38

§ 3. FONCTION EXPONENTIELLE.............................................................................................38

a. Fonction exponentielle....................................................................................................................38

b. Propriétés algébriques....................................................................................................................39

c. Sens de variations...........................................................................................................................39

d. Représentation graphique..............................................................................................................39

e. Complément sur les dérivées.........................................................................................................40

§ 4. FONCTIONS EXPONENTIELLES........................................................................................40

Page 4 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STG

a. Fonction exponentielle de base a ; a > 0........................................................................................40

b. Dérivée.............................................................................................................................................40

c. Sens de variation.............................................................................................................................40

d. Représentation graphique..............................................................................................................41

§ 5. LIEN AVEC LES SUITES GEOMETRIQUES......................................................................41

a. Sens de variation d"une suite géométrique...................................................................................41

b. Application......................................................................................................................................41

Page 5 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STG

Chapitre 1. TAUX D"EVOLUTION

§ 1. TAUX D" EVOLUTION ET COEFFICIENTS MULTIPLICATEURS a. Taux d"évolution

Définition :

Lorsqu"une grandeur évolue de la valeur y

1 à la valeur y2, le taux d"évolution t est donné par :

· t = y2 - y1

y1.

Exercice :

Dans chaque cas, calculer le taux d"évolution de la grandeur concernée. i. Un article coûtait 35 € en juin 2007 et 42 € en septembre 2007. ii. Le cours d"une action est passé de 60 € à 57 € en un jour. i. On a : t = y2 - y1 y1 = 42 - 35

35 = 7

35 = 0,20 = + 20 %. Le prix de l"article a augmenté de 20 %.

ii. On a : t = y2 - y1 y1 = 57 - 60

60 = - 3

60 = - 0,05 = - 5 %. Le cours de l"action a diminué de 5 %.

b. Coefficient multiplicateur

Définition :

Le coefficient multiplicateur c d"une grandeur qui évolue de la valeur y

1 à la valeur y2 est donné par :

· c = y2

y1.

Exemple :

· Un article coûtait 35 € en juin 2007 et 42 € en septembre 2007.

On a : c = 4235 = 1,20.

Propriété :

Soit t le taux d"évolution d"une grandeur qui évolue de la valeur y

1 à la valeur y2 et c le coefficient

multiplicateur de cette grandeur. On a :

· c = 1 + t.

Remarques :

i. Si t > 0, alors c > 1. ii. Si t < 0, alors 0 < c < 1.

Exemple :

t c + 5 % 1,05 - 25 % 0,75 + 101 % 2,01 + 0,5 % 1,005 - 99 % 0,01 Page 6 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STG c. Calcul d"une grandeur

Méthode :

On considère une grandeur qui évolue de la valeur y

1 à la valeur y2 et on note t le taux d"évolution de la

valeur y1 à la valeur y2. On a :

· y2 = (1 + t) ´ y1.

· y1 = y2

(1 + t).

Exercice :

i. Une baguette de pain coûte 1,20 € en juin 2010. Son prix augmente de 15 % durant l"été 2010. Quel

est son prix en septembre 2010 ?

ii. Au bout d"un an, j"ai retiré 936 € d"un capital placé à intérêts composés au taux annuel de 4 %. Quel

capital ai-je placé ?

i. On a : y2 = (1 + t) ´ y1 = 1,15 ´ 1,20 = 1,38. La baguette de pain coûte 1,38 € en septembre 2010.

ii. On a : y1 = y2 (1 + t) = 936

1,04 = 900. J"ai placé 900 €.

d. Evolution réciproque

Propriété :

Si t est un taux d"évolution, alors le taux d"évolution réciproque est tel que :

· 1 + tréciproque = 1

1 + t.

Remarque :

Une hausse de 25 % n"est pas compensée par une baisse de 25 %.

Exercice :

Quelle baisse compense une hausse de 25 % ?

On a : 1 + tréciproque = 1

1 + t = 1

1,25 = 0,80.

D"où tréciproque = - 20 %.

Une hausse de 25 % est compensée par une baisse de 20 %.

§ 2. EVOLUTIONS SUCCESSIVES

a. Taux global

Propriété :

Si t

1 et t2 sont les taux de deux évolutions successives, alors le taux d"évolution global est tel que :

· 1 + tglobal = (1 + t1) ´ (1 + t2).

Exemple :

· On considère une hausse de 10 % suivie d"une hausse de 20 %. On a : 1 + tglobal = (1 + t1) ´ (1 + t2) = 1,10 ´ 1,20 = 1,32.

La hausse globale est de 32 %.

Page 7 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STG b. Taux moyen

Propriété :

Si t

1 et t2 sont les taux de deux évolutions successives, alors le taux d"évolution moyen est tel que :

· 1 + tmoyen = (1 + t1) ´ (1 + t2).

Exemple :

· On considère une hausse de 10 % suivie d"une hausse de 20 %.

On a : 1 + tmoyen = (1 + t1) ´ (1 + t2) = 1,10 ´ 1,20 » 1,1489.La hausse moyenne est d"environ 14,89 %.

§ 3. EVOLUTIONS EN TERME D"INDICES

a. Indice simple

Définition :

On considère une grandeur ayant évolué de la valeur y

1 à la valeur y2 entre deux dates t1 et t2.

Dire que I2 est l"indice simple à la date t2 en prenant I1 pour base à la date t1 signifie que :

· I2

I1 = y2

y1.

Exemple :

· Le cours d"une action est passé de 45 € à 54 € entre 2000 et 2001. L"indice simple en 2001 en prenant 100 pour base en 2000 est donné par :

I2 = I1 ´ y2

y1 = 100 ´ 5445 = 100 ´ 1,20 = 120. b. Taux d"évolution en terme d"indices

Propriété :

Le taux d"évolution entre deux valeurs y

1 et y2 est égal au taux d"évolution entre les indices associés.

Autrement dit :

· t = I2 - I1

I1.

Exercice :

On considère le tableau :

Calculer le taux d"évolution entre 2003 et 2004 puis le taux d"évolution entre 2004 et 2005. Soit t1 le taux d"évolution entre 2003 et 2004. On a : t1= 102 - 100

100 = 2 %.

Soit t2 le taux d"évolution entre 2003 et 2004. On a : t2= 103,5 - 102

102 » 1,47 %.

Remarque :

Le taux d"évolution entre les indices se calcule par simple soustraction lorsque l"indice simple initial est

100.

Année 2003 2004 2005

Indice 100 102 103,5

Page 8 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STG

§ 4. PETITS TAUX D"EVOLUTION

a. Taux global

Remarque :

Si un taux d"évolution t est proche de 0, alors le taux global de deux évolutions successives de taux t est

proche de 2t.

Autrement dit, si t » 0, alors :

· (1 + t)2 » 1 + 2t.

Exemple :

· On considère deux hausses successives de taux t = 1,2 %. On a : t = 0,012 » 0 et 2t = 2 ´ 0,012 = 0,024.

La hausse globale est proche de 2,4 %.

b. Taux moyen

Remarque :

Si un taux global t de deux évolutions successives est proche de 0, alors le taux d"évolution moyen est

proche de t 2 .

Autrement dit, si t » 0, alors :

· 1 + t » 1 + t

Exemple :

· En deux mois, le taux d"inflation est t = 0,4 %.

On a : t = 0,004 » 0 et t

2 = 0,004

2 = 0,002.

Le taux mensuel moyen d"inflation est proche de 0,2 %. c. Evolution réciproque

Remarque :

Si un taux d"évolution t de y

1 à y2 est proche de 0, alors le taux de l"évolution réciproque de y2 à y1 est

proche de - t.

Autrement dit, si t » 0, alors :

· 1

1 + t » 1 - t.

Exemple :

· Le taux d"évolution de 100 à 101,1 est 1,1 %.

On a : t = 0,011 » 0 et - t = - 0,011.

Le taux d"évolution de 101,1 à 100 est proche de - 1,1 %. Page 9 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STG

Chapitre 2. SUITES

§ 1. SUITES ARITHMETIQUES

a. Suite arithmétique

Définition :

On considère un réel r.

Une suite u est une suite arithmétique de raison r lorsque pour tout n Î N :

· un + 1 = un + r.

Autrement dit, la différence entre deux termes consécutifs est constante, indépendamment de n.

Exemple :

· Economies

Le 1er janvier 2010, j"économise 100 €. Puis chaque 1er jour des mois suivants, j"économise 15 €.

On note un les économies au bout de n mois depuis le 1er janvier 2010.

Puisque chaque 1er jour du mois, j"économise 15 €, alors pour tout n Î N : un + 1 = un + 15.

Par définition, la suite u des économies est une suite arithmétique de premier terme 100 et de raison 15.

· u1 = u0 + 15 = 100 + 15 = 115 ;

· u2 = u1 + 15 = 115 + 15 = 130 ;

· u3 = u2 + 15 = 130 + 15 = 145 etc...

b. Formule explicite de u n en fonction de n

Propriété :

Si u est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u

0, alors pour tout n Î N :

· un = u0 + n ´ r.

Exemple :

· Economies

La suite u est une suite arithmétique de premier terme 100 et de raison 15 donc, pour tout n Î N :

un = u0 + n ´ r = 100 + 15n.

On a par exemple : u12 = 100 + 15 ´ 12 = 280.

Ainsi, au bout d"un an, j"ai économisé 280 €.

Conséquence :

Si u est une suite arithmétique de raison r

, alors pour tout n Î N, pour tout p Î N :

· un = up + (n - p) ´ r.

Exemple :

· Economies

La suite u est une suite arithmétique de raison 15 donc, pour tout n Î N, pour tout p Î N : un = up + 15 ´ (n - p). En particulier, on a par exemple : u24 = u12 + 15 ´ 12 = 280 + 15 ´ 12 = 460. Ainsi, au bout de deux ans, j"ai économisé 460 €. Page 10 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STG c. Sens de variation d"une suite arithmétique

Propriété :

quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

[PDF] Cours de Terminale STG

COURS DE MATHEMATIQUES - TERMINALE STG

§ 1.

Chapitre 1. TAUX D"EVOLUTION

Définition :

Lorsqu"une grandeur évolue de la valeur y

1 à la valeur y2, le taux d"évolution t est donné par :

· t = y2 - y1

Exercice :

35 = 7

35 = 0,20 = + 20 %. Le prix de l"article a augmenté de 20 %.

60 = - 3

60 = - 0,05 = - 5 %. Le cours de l"action a diminué de 5 %.

Définition :

1 à la valeur y2 est donné par :

· c = y2

Exemple :

On a : c = 4235 = 1,20.

Propriété :

1 à la valeur y2 et c le coefficient

· c = 1 + t.

Remarques :

Exemple :

Méthode :

1 à la valeur y2 et on note t le taux d"évolution de la

· y2 = (1 + t) ´ y1.

· y1 = y2

Exercice :

1,04 = 900. J"ai placé 900 €.

Propriété :

· 1 + tréciproque = 1

1 + t.

Remarque :

Exercice :

Quelle baisse compense une hausse de 25 % ?

On a : 1 + tréciproque = 1

1 + t = 1

1,25 = 0,80.

D"où tréciproque = - 20 %.

§ 2. EVOLUTIONS SUCCESSIVES

Propriété :

1 et t2 sont les taux de deux évolutions successives, alors le taux d"évolution global est tel que :

· 1 + tglobal = (1 + t1) ´ (1 + t2).

Exemple :

La hausse globale est de 32 %.

Propriété :

1 et t2 sont les taux de deux évolutions successives, alors le taux d"évolution moyen est tel que :

· 1 + tmoyen = (1 + t1) ´ (1 + t2).

Exemple :

§ 3. EVOLUTIONS EN TERME D"INDICES

Définition :

1 à la valeur y2 entre deux dates t1 et t2.

· I2

I1 = y2

Exemple :

I2 = I1 ´ y2

Propriété :

Le taux d"évolution entre deux valeurs y

1 et y2 est égal au taux d"évolution entre les indices associés.

Autrement dit :

· t = I2 - I1

Exercice :

On considère le tableau :

100 = 2 %.

102 » 1,47 %.

Remarque :

Année 2003 2004 2005

Indice 100 102 103,5

§ 4. PETITS TAUX D"EVOLUTION

Remarque :

Autrement dit, si t » 0, alors :

· (1 + t)2 » 1 + 2t.

Exemple :

La hausse globale est proche de 2,4 %.

Remarque :

Autrement dit, si t » 0, alors :

· 1 + t » 1 + t

Exemple :

On a : t = 0,004 » 0 et t

2 = 0,004