ENSEMBLES DE NOMBRES - Maths & tiques
Un ensemble qui ne contient pas de nombre s’appelle l’ensemble vide et se note ∅ 7 Symbole d’exclusion Le signe * exclu le nombre 0 d'un ensemble Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0 8 Inclusions Tous les nombres de l’ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs ℤ
214: Inversion locale; fonctions implicites Exemples et
Exemple 14 Le ônec du seondc degré privé de 0 est une variété lisse Théorème 11 Soient Uun ouvert de Rn et f 1;:::;f p de Udans R des fonctions de classe C1 Soit V l'ensemble des ointsp xtels que x2U et f 1(x 1;:::x n) = 0, :::, f p(x 1;:::x n) = 0 On suppose les di érentielles indépendantes Alors vest une sous-variété de
Limits of Functions
1/n → 0 and sgn(1/n) → 1 as n → ∞, while (−1/n) is a non-zero sequence such that −1/n → 0 and sgn(−1/n) → −1 as n → ∞ Since the sequences of sgn-values have different limits, Corollary 2 5 implies that the limit does not exist Example 2 7 The limit lim x0 1 x, corresponding to the function f: R \ {0} → R given by
garage privé - Ville de Québec
Fermes de toit préfabriquées Laine isolante (R-40) Polyéthylène pare-vapeur 0,15 mm Fourrure Revêtement intérieur ur Type de revêtement extérieur Fourrure Pare-intempérie Carton fibre goudronné Colombages de 38 mm x 140 mm au 400 c/c Laine isolante (R-20) Polyéthylène pare-vapeur 0,15 mm Fourrure Type de revêtement intérieur Plancher
TRAVAILLER AVEC LE SECTEUR PRIVE POUR REALISER LES OBJECTIFS
DOCUMENT DE TRAVAIL No 2 TRAVAILLER AVEC LE SECTEUR PRIVE POUR REALISER LES OBJECTIFS DE SANTE PUBLIQUE Pour un bon fonctionnement des systèmes de santé Département Politique et développement sanitaires
Théorème d’inversion locale, difféomorphismes
]0;¥[ ] p;p[ sur le plan privé de la demi-droite R Si f(x;y) = g(r;q) donner les formules de passage entre les dérivées partielles de f et celles de g 2 Soit U le plan privé de l’origine, et f(x;y)=(x2 y2;2xy) Montrer que f est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de U mais n’est pas un difféo-morphisme global
Rappels et compl´ements - mathuniv-lyon1fr
r = r+∗ ∪r−∗ ∪{0}, qui signifie que l’ensemble des nombres r´eels est l’union des nombres r´eels stric- tement positifs, des nombres r´eels strictement n´egatifs et de 0
11 ;O(;C~;r; ~ ~;[P:r~~
portant incorporation au domaine privé de la Commune Rurale de Messondo, d'une portion de forêt de 16 864 ha dénommée« Forêt Communale de Messondo » LE PREMIER r ,INISTRE, CHEF DU GOUVERNEMENT, Vu la Constitution ; Vu la loi nO 94/01 du 20 janvier 1994 portant régime des forêts, de la faune et de la pêche, ensemble ses modificatifs
Dynamiques de déforestation dans le bassin du Congo
plan de gestion a plus que quadruplé au cours de la période 2005-2010, pour atteindre plus de 22 millions d'hectares (dont 6,6 millions ayant en plus une certification) Exploitation forestière hautement sélective : Dans les concessions industrielles, l'extraction du bois est très faible, avec un taux moyen de moins de 0,5 m 3 par hectare
Naar een levenslo o p st e ls e l
meen maar ge r i c ht te ve r l a g en (om op die manier voor de kwe t s b a r e groepen iets extraÕs te doen), hetzij door laste n ve r l i c hting ge p a a r d te l a t en gaan met een fl a n ke r end arbeidsmarktbeleid en het liefst door een combinatie van beide In dit ra p p o r t staan de ge r i ch t e laste n ve r l i c hting (voor
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Chapitre 1
Rappels et compl´ements
Dans ce chapitre, nous introduisons des notations et quelques notions ensem- blistes utiles pour la suite de l"ouvrage. Nous y avons aussi rassembl´elespro- pri´et´es des fonctions usuelles, qui sont un pr´e-requis indispensable pour ce cours, meme celles qui seront vues ult´erieurement, pour donner au lecteur un aide-m´emoire complet. Les notions utilis´ees ici (continuit´e, d´erivabilit´e, convexit´e, li-
mites, ...) seront d´efinies dans les chapitres suivants dans un cadre plus g´en´eral, o`u les fonctions usuelles serviront d"exemples. Un lecteur familiaris´eauxsymboles math´ematiques, et pour qui les propri´et´es ´el´ementaires des fonctions usuellesn"auraient plus de secret, peut se dispenser de la lecture de ce premier chapitre.1.1. Quelques notations
Les ensembles
Unensembleest une collection d"objets. SiEest un ensemble : - la notationx?Esignifiexappartient `aE. On dit aussi quexest un´el´ement deE. - la notationx??Esignifiexn"appartient pas `aE. Le symbole∅d´esigne l"ensemble vide, qui n"a aucun ´el´ement. Un ensemble qui ne contient qu"un seul ´el´ement s"appelle unsingleton.Les ensembles classiques de nombres Nous notonsNl"ensemble des entiers naturels, comme par exemple 1 ou 23, on ´ecrit 23?N. L"ensemble des entiers relatifs est not´equant`aluiZ, par exemple -3?Zmais aussi 4?Z.Ainsi,Nest unsous-ensembledeZ. Enfin, l"ensemble des nombres r´eels est not´eR, il comprend tous les nombres commeπou 45/789. Les r´eels sont parfois aussi appel´es desscalaires. On retrouvera cette terminologie au chapitre 10.On noteR+
(resp.R- ) l"ensemble des nombres r´eels positifs ou nuls (resp. n´egatifs ou nuls). On d´esigne par une ´etoile un ensemble de nombres priv´ede0,ainsiR est l"ensemble de tous les nombres r´eels non nuls.Quelques symboles ensemblistes
On d´efinit un ensemble, soit en donnant la liste de ses ´el´ements, soit par une propri´et´e qui les caract´erise :E={-5,-1,0,3,6},F={x?R|x3
-3x+1?=0}.2CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPL´EMENTS
Le symbole|se littel quedans la d´efinition d"un ensemble. Par exemple, {x?N|x<2}={0,1}, {x?R|x 2 +1<0}=∅. SiAetBsont deux ensembles, lar´eunion deAetB,not´eeA?B, qui se lit"A unionB», est l"ensemble form´eparles´el´ements qui appartiennent `aAou `aB.Par exemple,{1,4}={1}?{4}et
R=R ?R ?{0}, qui signifie que l"ensemble des nombres r´eels est l"union des nombres r´eels stric- tement positifs, des nombres r´eels strictement n´egatifs et de 0. Le signe∩d´ecrit l"intersectionde deux ensembles et se lit"AinterB».A∩B est l"ensemble des ´el´ements qui appartiennent `aAet `aB. Par exemple, {1,4,6}∩{1,4,5}={1,4}etR ∩Z=N. Nous utilisons aussi le signe?qui montre qu"un ensemble est inclus dans un autre, on dit que c"est unsous-ensemble.Onaparexemple{1,4}?{1,4,5}et N?Z?R.L"inclusionde l"ensembleAdans l"ensembleBsignifie que tous les ´el´ements deAsont aussi des ´el´ements deB. Lorsque un ensemble est inclus dans un autre, on peut en faire la soustraction : siA?B,alorsonpeut´ecrireB\A, qui se lit"Bpriv´edeA», et qui repr´esente les ´el´ements qui sont dansBmais pas dansA. Par exemple{1,4,6}\{1}={4,6} etR =R\{0}. Attention, il faut v´erifier que les ensembles sont compatibles, c"est-`a-dire que le premier ensemble contient bien le second. SiAetBsont deux ensembles (par exemple des intervalles deR), on noteA×B, qui se lit"AcroixB», l"ensemble des couples (a,b)telsquea?Aetb?B. L"ensembleA×Bs"appellele produit cart´esiendes ensemblesAetB.Ilest ´equivalent d"´ecrirea?A,b?Bet (a,b)?A×B. L"ordre est important : l"ensembleA×Bn"est ´egal `a l"ensembleB×Aque siA=B.SiA=B, on utilise aussi la notationA 2 au lieu deA×AetA 3 pourA×A×A. On rencontrera ainsi souvent la notationR 2 pour l"ensemble des couples de nombres r´eels etR 3 pour les triplets de nombres r´eels. Nous retrouverons le produit cart´esien dans le chapitre 10.Symboles math´ematiques
Pour faciliter l"´ecriture des ´enonc´es math´ematiques, nous utilisons -lesigne?qui signifieil existe(la lettreEen miroir), -lesigne?pourquel que soit(oupour tout), c"est la lettreArenvers´ee, premi`ere lettre du mot anglaisall,quisignifietout.Nous obtenons par exemple :
?x?R ,?y?R ,x=y 2 ce qui signifie que pour tout r´eel positifx,ilexisteunr´eel positifytel quex=y 21.2. RAPPELS SUR LES FONCTIONS USUELLES3
Implication et ´equivalence
Dans ce paragraphe, les lettresPetQrepr´esentent des propositions, c"est-`a- dire des ´enonc´es math´ematiques, auxquels on peut attribuer la valeur "vrai" ou "faux". La notationP=?Qse lit"PimpliqueQ», et elle signifie que siPest vraie, alorsQest vraie. La notationP??Qse lit"PetQsont ´equivalentes», et elle signifie queP impliqueQet queQimpliqueP. Cessymbolesnesontpasdessignesst´enographiques, et ils doivent etre utilis´es `a bon escient.Fonction factorielle
Pour toutn?N,ond´efinit la fonction factorielle de la fa¸con suivante : 0! = 1 et pour toutn?1,1.2. Rappels sur les fonctions usuelles
Ce paragraphe regroupe les propri´et´es fondamentales des fonctions dites usuelles : valeur absolue, fonctions polynomes, exponentielle, logarithme et fonctions puis- sance. Les fonctions trigonom´etriques ne seront pas ´etudi´ees dans ce livre. Il s"agit essentiellement de rappels du cours de Terminale S. Les notions de limites, d´erivabilit´eetsym´etries sont red´efinies dans les chapitres suivants.1.2.1. Valeur absolue
D´efinition 1.1.-?x?R, on appellevaleur absolue dexle nombre r´eel positif not´e |x| d´ef =max(x,-x)=?xsix?0 -xsix<0. Les deux figures ci-dessous repr´esentent les graphes des fonctionsx?→|x|et x?→|x-2|+ 1. On pourra remarquer leurs similitudes. 11-1-2xy
012 123xy 0