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Exercices de

mathématiques

Centrale-Supelec, Mines-Ponts,

École Polytechnique et ENS

MP MP*

T. DUGARDIN, M. R

EZZOUK2

ÉDITION

© Dunod, 2015, 2016

5 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.com ISBN 978-2-10-074905-8Conception de couverture : Atelier 3+

Table des matières

1 Dénombrabilité, combinatoire, probabilités1

Ensembles dénombrables.......................... 1 Combinatoire, probabilités......................... 4 Probabilités plus poussées : loi forte des grands nombres, marches aléa- toires,chaînesdeMarkov .......................... 72

2 Algèbre générale111

Arithmétique dansZ,polynômesàcoefficientsentiers .......... 111

Groupes.................................... 135

Anneaux,idéaux............................... 154 Polynômes .................................. 157

3 Algèbre linéaire et bilinéaire179

Matrices,applicationslinéaires,déterminants............... 179 Réductiondesendomorphismesetdesmatrices.............. 201 Algèbre bilinéaire.............................. 232

4 Suites et séries numériques, topologie deR279

Suitesréellesoucomplexes ......................... 279 Sériesnumériques .............................. 314 Familles sommables............................. 333

5 Fonctions339

Fonctiondelavariableréelle ........................ 339 Suitesetsériesdefonctions......................... 354 Sériesentières ................................ 377 Intégration .................................. 390

6 Topologie415

7 Équations différentielles457

8 Calcul différentiel491

Index521

Avant-propos

Cet ouvrage d"exercices corrigés de mathématiques s"adresse aux élèves de classes

préparatoires scientifiques. Il est plus particulièrement adapté à la filière MP/MP* et

conforme au nouveau programme officiel (rentrée 2014) de cette filière. Il pourra bien

sûr également être utile aux élèves des autres filières et aux candidats aux concours

d"enseignement (CAPES et Agrégation). Les exercices sont d"un niveau relativement élevé et visent à préparer les concours les plus exigeants : Centrale-Supélec, Mines-Ponts, École Polytechnique et les Écoles

Normales Supérieures.

Outre les exercices classiques incontournables, nous avons essayé de proposer quelques exercices plus originaux élaborés à partir de ce que nous avons pu proposer en tant qu"examinateurs à des concours aux grandes écoles. Ils nous a semblé intéressant d"illustrer quelques exercices par une implémentation en langage Python conformément au programme d"informatique pour tous en vigueur depuis la rentrée 2013. Nous avons peu utilisé le calcul formel (modulesympyou logicielsage) car celui-ci n"est plus - et c"est dommage - évalué au concours. Ces exercices sont systématiquement recensés dans l"index en fin de l"ouvrage. Le chapitre portant sur les probabilités, thème nouvellement introduit en classes préparatoires scientifiques, est particulièrement développé mais compte tenu de la taille relativement restreinte de l"ouvrage, nous avons supposé que le lecteur s"était déjà familiarisé avec des exercices plus élémentaires d"appropriation du cours. Notre source d"inspiration doit beaucoup à la Revue de Mathématiques Spéciales (RMS) qui constitue une aide précieuse pour tout élève ou professeur en classes pré- paratoires scientifiques. Nous espérons que le lecteur trouvera de l"intérêt à la recherche de ces exercices et nous nous excusons par avance des éventuelles coquilles, omissions ou - pire - erreurs qui seraient encore présentes dans le texte.

Thierry Dugardin

Marc Rezzouk

Remerciements

Nous tenons à remercier Jean-Jacques Chauvin pour sa contribution précieuse, Alain Mansoux pour sa relecture bienveillante, ainsi que nos familles pour leur soutien et leur patience...

Chapitre 1

Dénombrabilité, combinatoire, probabilités

Ensembles dénombrables

Exercice 1.1 - Connexité par arcs et dénombrabilité

1)SoitDun ensemble dénombrable de points deR

2 .Montrer queR 2 ?Dest connexe par arcs. Indication :on pourra considérer la médiatrice de deux points distinctsaetb deR 2 ?D.

2)Montrer que l"espaceR

3 privé d"une réunion dénombrable de droites est connexe par arcs. Indication :couper les droites par des sphères adéquates.

Solution

1)L"ensembleR

2 ?Dn"est pas vide et même infini puisqueR 2 n"est pas dénombrable.

Soit(a,b)??R

2 ?D? 2 ,a?=b.On considère un pointcmobile sur la médiatrice de[a,b]. L"ensemble des pointscpour lequel la ligne polygonale[a,c,b]rencontreDest dénombrable (on construit une injection de cet ensemble versDen choisissant un point de la ligne poly- gonale appartenant àD), comme la médiatrice est une droite en bijection avecRqui n"est pas dénombrable, il existe des pointsctel que la ligne polygonale[a,c,b]ne rencontre pas

D. L"ensembleR

2 ?Dest donc connexe par arcs.

2)SoitD

la réunion dénombrable de ces droites. Considérons la sphère unité. Elle rencontre toute droite en au plus deux points donc elle rencontreD en un nombre au plus dénombrable de points. La sphère n"étant pas dénombrable, l"ensembleR 3 ?D n"est pas vide et même infini.

Soit(a,b)??R

3 ?D 2 ,a?=b.SoitSla sphère de diamètre[a,b].

SiSne rencontre pasD

alors les pointsaetbsont reliés par un arc inclus dans la sphère.

Sinon, il existed?S∩D

.On peut effectuer la projection stéréographiqueπ 1 sur le plan tangentTàSau point diamétralement opposé àd.AlorsS?{d}est homéomorphe à ce plan.

L"ensembleS∩D

est dénombrable (au plus deux points d"intersection par droites) donc?R 3 ?D ?∩Sest homéomorphe parπà un plan privé d"un ensemble dénombrable de points

1. La projection est définie parm?S?{d}?→π(m)=le point d"intersection de la droite(dm)

avec le plan. 1 CHAPITRE 1. DÉNOMBRABILITÉ, COMBINATOIRE, PROBABILITÉS qui d"après la question précédente est connexe par arcs. En composant parπ -1 ,on construit un chemin reliant les pointsaetb.

Exercice 1.2

On considère l"ensembleSdes bijections deNsur lui-même.

1)Montrer queP(N)n"est pas dénombrable (résultat dû à G. Cantor).

IndicationOn raisonnera par l"absurde en considérantΦune bijection deNvers P(N)et on considérera l"ensemble{x?N|x?Φ(x)}?P(N).

2)On considère l"application?définie par

?:?S-→ P(N)

σ?-→ {n?N|σ(n)=n}= Fix(σ).

Déterminer l"ensemble?(S).

3)Montrer queSn"est pas dénombrable.

Solution

Soita=Φ

-1 (A).On a deux possibilités, soita?Φ(a)donca/?A=Φ(a),absurde; soit a/?Φ(a)donca?A=Φ(a)encore absurde!

2)La clé de la réponse est simplement de réaliser qu"une bijection deNne peut pas fixer

tous les éléments sauf un mais que tout ensemble dénombrable fini ou non ayant au moins deux éléments admet une permutation sur lui-même sans point fixe.

Nest l"image par?deid

N .SoitE?P(N)tel queN?Eait au moins deux éléments. En distinguant suivant le caractère fini ou non deN?E,on construit grâce à la remarque précédente une permutationσtel que?(σ)=E. En conclusion,?(S)=P(N)?{les complémentaires des singletons}.

3)Raisonnons par l"absurde et supposons queSest dénombrable.

Alors?(S)=P(N)?{les complémentaires des singletons}serait dénombrable. Comme l"ensemble{les complémentaires des singletons}est dénombrable, on auraitP(N) dénombrable, absurde! Exercice 1.3 - Tribu générée par une partition dénombrable

SoitF={F

n ,n?N}une partition dénombrable (infinie) d"un ensembleA. Décrire la plus petite tribuTcontenantF.Cette tribu est-elle dénombrable?

SolutionOn montre facilement queT=??

n?N

Fn|N?N?

qui est en bijection naturelle (grâce à la partition) avecP(N).On sait depuis Cantor (procédé diagonal) que ce dernier n"est pas dénombrable.? 2 CHAPITRE 1. DÉNOMBRABILITÉ, COMBINATOIRE, PROBABILITÉS Exercice 1.4 - Une tribu dénombrable est forcément finie SoitTune tribu supposée dénombrable sur un ensembleE.

Montrons queTest fini.

1)Soita?E,montrer queC(a)=?

a?A?T A?T.

2)Montrer que la relation surEdéfinie para≂b?b?C(a)est une relation

d"équivalence et donner les classes d"équivalence.

3)Montrer que la plus petite tribu contenantP={C(a),a?E}estTet montrer

en utilisant l"exercice précédent queEest de cardinal fini.

Solution

1)On sait qu"il existeA?Ttel quea?A(prendreE), de plusTétant dénombrable,

l"intersection définissant l"ensembleC(a)est dénombrable doncC(a)?T.

2)Soitb?C(a).Commeb?C(a)?T,C(a)?C(b)par définition deC(b).

Maisa?C(a)donca?C(b)donc de mêmeC(b)?C(a).

Finalement, on aa≂b?C(a)=C(b)ce qui définit immédiatement une relation réflexive, symétrique et transitive. Cherchons la classe d"équivalence dea, cl(a)={b|b≂a}.

Puisqueb?

C(a),cl(a)?C(a),réciproquement sib?C(a)alors on a vu quea?C(b)donc a≂bdoncb?cl(a). Conclusionles classes d"équivalence sont précisément les ensemblesC(a),a?E.

3)L"ensemble{C(a),a?E}constitue une partition deE,dénombrable car tous les ensembles

C(a)appartiennent àTet que la tribuTest supposée dénombrable.

Notonsσ(P)cette plus petite tribu dont une description est donnée dans l"exercice précédent.

Il est clair queσ(P)?T.

Réciproquement, soit un élémentAde la tribuT. Remarquons que d"après la question précédente,A=? a?A

C(a),eneffetsia?A?Talors

a?C(a)?Aet l"inclusion réciproque est évidente. On en déduit queT?σ(P). Conclusionσ(P)=T.Si la tribuTétait dénombrable de cardinal infini alors la partition Ple serait également, l"exercice précédent nous montre que la tribuT=σ(P)ne pourrait alors plus être dénombrable, contradiction.

RemarqueLes tribus non finies sont en général très difficiles à décrire, l"exemple de l"exer-

cice précédent est très particulier et ne représente pas les tribus que l"on rencontre généra-

lement en probabilités plus avancées. Une tribu typique est celle des boréliens deRgénérée

par les intervalles ouverts réels. On ne sait pas décrire simplement cette tribu mais elle est indispensable pour construire des variables aléatoires continues surR.Dans le cadre de notre programme, la construction d"une famille de variables aléatoires discrètes (même finies)(X n)n?indépendantes nécessite d"utiliser une tribu non dénombrable.? 3 ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. CHAPITRE 1. DÉNOMBRABILITÉ, COMBINATOIRE, PROBABILITÉS

Combinatoire, probabilités

Exercice 1.5 - Poker - révisions sur le dénombrement- Python Révisons un peu les techniques élémentaires de dénombrement. Dans le cadre du jeu de poker, on tire une main (5cartes) dans un jeu de52 cartes. On rappelle qu"une carte se définit par sa hauteur (13possibilités) et sa couleurs (4possibilités).

1)Réaliser un programme enPythonqui crée une main aléatoire.

Indicationon pourra utiliser la fonctionshuffle(ou éventuellementchoice) du modulerandom.

2)Déterminer la probabilité d"obtenir (il est sous-entendu que la combinaison est

la meilleure obtenue) a)une paire (exactement) b)deux paires (exactement) c)un brelan (trois cartes de même rang) d)une suite (cinq cartes de rang consécutif) e)une couleur (5cartes de la même couleur) f)un full (un brelan et une paire) g)un carré h)une suite royale (=quinte flush,5cartes de rang successif et de même couleur). i)Une main avec au moins un pique et un as.

3)Effectuer un test statistique élémentaire de vos réponses : la fréquence des ré-

sultats pour un nombre de tirages " grand » doit être proche du résultat théorique.

4)SoitAl"événement dont on veut mesurer la probabilité. On effectueNessais

indépendants et on noteX n =?1siAest réalisé

0sinonàlan

étape.

Rappeler pourquoiP(

N k=1 X k

N-P(A)?

)))?1-σ 2 Nε 2 oùσ 2 =var(X 1 Comment choisirNpour avoir, avec un risque inférieur à5%,une valeur approchée

à10

-2 près deP(A)?

Solution

1)(et3)). Voici le programmePython,oneffectue100tests d"échantillons de10000tirages

(valeur empirique pour l"instant) et on représente les moyennes qui devraient ne pas être trop loin de la mesure théorique... 4 CHAPITRE 1. DÉNOMBRABILITÉ, COMBINATOIRE, PROBABILITÉS import random as r import matplotlib.pyplot as plt

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Exercices de

Centrale-Supelec, Mines-Ponts,

École Polytechnique et ENS

MP MP*

T. DUGARDIN, M. R

EZZOUK2

ÉDITION

© Dunod, 2015, 2016

5 rue Laromiguière, 75005 Paris

Table des matières

1 Dénombrabilité, combinatoire, probabilités1

2 Algèbre générale111

Groupes.................................... 135

3 Algèbre linéaire et bilinéaire179

4 Suites et séries numériques, topologie deR279

5 Fonctions339

6 Topologie415

7 Équations différentielles457

8 Calcul différentiel491

Index521

Avant-propos

Normales Supérieures.

Thierry Dugardin

Marc Rezzouk

Remerciements

Chapitre 1

Ensembles dénombrables

1)SoitDun ensemble dénombrable de points deR

2)Montrer que l"espaceR

Solution

1)L"ensembleR

Soit(a,b)??R

D. L"ensembleR

2)SoitD

Soit(a,b)??R

SiSne rencontre pasD

Sinon, il existed?S∩D

L"ensembleS∩D

1. La projection est définie parm?S?{d}?→π(m)=le point d"intersection de la droite(dm)

Exercice 1.2

1)Montrer queP(N)n"est pas dénombrable (résultat dû à G. Cantor).

2)On considère l"application?définie par

σ?-→ {n?N|σ(n)=n}= Fix(σ).

Déterminer l"ensemble?(S).

3)Montrer queSn"est pas dénombrable.

Solution

Soita=Φ

2)La clé de la réponse est simplement de réaliser qu"une bijection deNne peut pas fixer

Nest l"image par?deid

3)Raisonnons par l"absurde et supposons queSest dénombrable.

SoitF={F

SolutionOn montre facilement queT=??

Fn|N?N?

Montrons queTest fini.

1)Soita?E,montrer queC(a)=?

2)Montrer que la relation surEdéfinie para≂b?b?C(a)est une relation

3)Montrer que la plus petite tribu contenantP={C(a),a?E}estTet montrer

Solution

1)On sait qu"il existeA?Ttel quea?A(prendreE), de plusTétant dénombrable,

2)Soitb?C(a).Commeb?C(a)?T,C(a)?C(b)par définition deC(b).

Maisa?C(a)donca?C(b)donc de mêmeC(b)?C(a).

Puisqueb?

3)L"ensemble{C(a),a?E}constitue une partition deE,dénombrable car tous les ensembles

Il est clair queσ(P)?T.

C(a),eneffetsia?A?Talors

Combinatoire, probabilités

1)Réaliser un programme enPythonqui crée une main aléatoire.

2)Déterminer la probabilité d"obtenir (il est sous-entendu que la combinaison est

3)Effectuer un test statistique élémentaire de vos réponses : la fréquence des ré-

4)SoitAl"événement dont on veut mesurer la probabilité. On effectueNessais

0sinonàlan

étape.

Rappeler pourquoiP(

N-P(A)?

à10

Solution

1)(et3)). Voici le programmePython,oneffectue100tests d"échantillons de10000tirages

VALET, DAME, ROI

CARREAU, COEUR, PIQUE, TREFLE=0,1,2,3