[PDF] Outils Mathématiques 1 - L1 PCGS



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Chapitre 1 Outils mathématiques et chiffres significatifs

Cours Outils mathématiques et chiffres significatifs L’ordre de grandeur L’ordre de grandeur d’une longueur est égal à la puissance de 10 qui s’approche le plus de sa valeur, l’unité étant le mètre Point méthode Déterminer un ordre de grandeur :



Chap1 : OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

Chap 1 : OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS L'objectif de ce chapitre est de donner brièvement les outils mathématiques nécessaires à la compréhension de la suite de ce cours et donner des notions sur les glisseurs et les torseurs



OUTILS MATHEMATIQUES POUR LA PHYSIQUE

en aucun cas un cours complet et rigoureux, mais plutôt une liste d’outils mathématiques dont vous aurez besoin un jour ou l’autre, aussi bien en physique qu’en chimie ou math Il est fait pour mettre les étudiants en confiance et de les familiariser avec les calculs mathématiques, ce qui est plus difficile dans un cours traditionnel



Outils mathématiques pour physiciens et ingénieurs

2e édition Outils mathématiques pour physiciens et ingénieurs Rappels de cours et exercices corrigés Jean-Marc Poitevin 9782100758883-FM indd 1 11/28/16 8:36 PM



Cryptographie : outils mathématiques

Objectif du cours Connaitre des outils mathématiques utilisés en crypto En particulier ceux basés sur l’arithmétique Étudier quelques primitives simples Savoir programmer une primitive crypto utilisant de grands nombres Et donc être capable de suivre le cours de sécurité de INFO4



Apprentissage des techniques et outils mathématiques pour l

Apprentissage des techniques et outils mathématiques pour l'économie CM Course title - Intitulé du cours Apprentissage des tech&outils mathématiques pour l'econom CM Level / Semester - Niveau /semestre L2 / S1 School - Composante Ecole d'Economie de Toulouse Teacher - Enseignant responsable ILLIG AUDE



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Outils Mathématiques 1 - L1 PCGS

Frédéric Touzet (Polycopié rédigé par Max Bauer)

Université Rennes 1, UFR Mathématiques

Bât. 23, bureau 834

frederic.touzet@univ-rennes1.fr

4/9/2017

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 0 / 329

Deux contrôles continus (1h00) et un examen terminal (2h00). CC 1 prévu le vendredi 27/10/2017, 15h30-16h30, salle d"examen, Bât.27.CC 2 prévu le vendredi 01/12/2017, 14h00-15h00, salle d"examen, Bât.27.Si vous voulez l"imprimer, vous pouvez imprimer 6 diapos sur une même page, ou même 9 diapos, mais alors en orientation " paysage »

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 1 / 329

Chap 1. Fonctions numériques

1Chap 1. Fonctions numériques

2Chap 2. Fonctions trigonométriques

3Chap 3. Les nombres complexes

4Chap 4. Polynômes et fractions rationnelles

5Chap 5. Calcul de primitives

6Chap 6. Équations différentielles du premier ordre

7Chap 7. Équations différentielles du second ordre

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 2 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations

1Chap 1. Fonctions numériques

1.1. Notations

1.2. Symétrie

1.3. Asymptotes

1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

1.5. Continuité

1.6. Dérivabilité

1.7. Extremum

Théorème des acroissements finis (complément)

1.8. Fonctions monotones

1.9. La règle de l"Hospital

1.10. Convexité

1.11. Plan détude d"une fonction

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 3 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations

Notations de la théorie des ensembles

Nous utiliserons les symboles suivants :Symboles ensemblistes

siEest un ensemble,x2Ese lit : "xappartient àE".siEetFsont deux ensembles,FEse lit : "Fest inclus dansE"./0: ensemble vide.\: intersection et[: réunion.Connecteurs binaires

siPetQsont deux assertions, l"assertionP=)Qse lit : "PimpliqueQ».etP()Qse lit : "Péquivalente àQ».Quantificateurs

8x2Ese lit : " Pour toutxappartenant àE».9x2Ese lit : " Il existexappartenant àE».Attention!

Ne pas confondre=)et(). Par exemple : il est vrai que x=1=)x2=1 mais il est faux quex=1()x2=1UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 4 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations

Définition d"une fonction numérique

Définition 1.1

Une f onctionn umérique d"une v ariableréelle de domaine de définition XR,

à valeurs dans un

ensemb led"arr ivéeYR, est un procédé qui à tout nombre réelx2X, associe un nombref(x)2Y: f:X!Y

x7!f(x)L"élémentf(x)est appelé l"imagede xparf, ou encorela v aleurde fenx.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 5 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations

Exemple

En pratique, on se donne souvent une fonction par une formule, et l"ensemble de définition est laissé à déterminer, comme étant le plus grand ensemble sur lequel la formule donnée a un sens.Exemple 1.2

Déterminer le domaine de définition de

f(x) =1p4x2:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 6 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations

Solution

On a les contraintes

p4x26=0 4x20 La première contrainte nous impose d"exclure 4x2=0, ssi 4=x2ssi x=2. La deuxième contrainte est est équivalente àx24 ssijxj 2 ssix2[2;2]. Le domaine de définition est l"ensemble desxqui vérifie les deux contraintes, donc]2;2[.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 7 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations

Antécédent, image

Définition 1.3 (Image)

L"image

d"une application f:X7!Yest l"ensemble des valeurs prises parf: ff(x)jx2Xg:On peut aussi dire que l"image est l"ensemble desydansYqui ont un antécédentxdansX: fy2Yj 9x2X;y=f(x)g:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 8 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations

Visualisation des antécédents d"uny.x2x1yyest l"image dex1mais aussi dex2.Les antécédents deysontx1etx2.Domaine de définition : en bleue. Image de f : en rouge.

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 9 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations

Exemples

Exemple 1.4

Image dex7!x2,x2R.Image dex7!x3,x2R.Image dex7!sin(x),x2R.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 10 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.2. Symétrie

1Chap 1. Fonctions numériques

1.1. Notations

1.2. Symétrie

1.3. Asymptotes

1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

1.5. Continuité

1.6. Dérivabilité

1.7. Extremum

Théorème des acroissements finis (complément)

1.8. Fonctions monotones

1.9. La règle de l"Hospital

1.10. Convexité

1.11. Plan détude d"une fonction

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 11 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.2. Symétrie

Symétrie

On dit qu"une fonctionfestpaire si on a f(x) =f(x), pour toutxdu

domaine de définition.Le graphe (la courbe représentative) d"une fonction paire est symétrique

par rapport à l"axeOy.On dit qu"une fonctionfestimpai resi on a f(x) =f(x), pour toutxdu

domaine de définition.Le graphe d"une fonction impaire est symétrique par rapport à l"origine du

plan.Pour vérifier qu"une fonction est paire ou impaire, on part def(x)que l"on essaie de simplifier pour retrouverf(x).Exemple 1.5 g(x) =x2,h(x) =x3,...h(x) =ex+ex:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 12 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.2. Symétrie

Domaine d"étude

Exemple 1.6

Montrer que la période de la fonctionx7!tan(x) =sin(x)cos(x)estp.La symétrie, périodicité d"une fonction permet de limiter le domaine d"étude.

Pour l"exemple précédent, on peut prendre]p2 ;p2 [comme domaine détude.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 13 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.2. Symétrie

Périodicité (complément)

Voici une définition formelle de la periodicité :Définition 1.7 On dit quefestpér iodiquede pér iodeT>0 si8x2X;x+T2Xet f(x+T) =f(x).On dit queT0estla pér iodede f, siT0est le plus petit nombreT>0 pour lequelfest périodique de périodeT.Interprétation graphique La fonctionfest périodique si son graphe est préservé par une translation de vecteur horizontal(T;0).UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 14 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes

1Chap 1. Fonctions numériques

1.1. Notations

1.2. Symétrie

1.3. Asymptotes

1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

1.5. Continuité

1.6. Dérivabilité

1.7. Extremum

Théorème des acroissements finis (complément)

1.8. Fonctions monotones

1.9. La règle de l"Hospital

1.10. Convexité

1.11. Plan détude d"une fonction

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 15 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes

Asymptote verticale, horizontale

On ne donne pas la définition de limite (finie ou infinie) d"une fonction lorsque xtend vers une valeur finie ou infinie. De même pour la notion de limite à

gauche et à droite.Pour simplifier l"écriture,¥désigne soit+¥, soit¥.Définition 1.8

On dit que le graphe d"une fonctionfadmet uneasymptote v erticaleen a si lim

x!a+f(x) =¥, ou limx!af(x) =¥.On dit que le graphe admet uneasymptote hor izontaled"équation y=b

en¥si limx!¥f(x) =b.Exemple 1.9 f:x7!2x+3x5:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 16 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes

Solution

Le graphe defadmet la droite d"équationx=5 pour asymptote verticale, et la droite d"équationy=2 pour asymptote horizontale.-551015 -20-101020 2x+3 x¡5y=2UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 17 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes

Asymptote oblique

Définition 1.10

Sif(x)(ax+b)tend vers 0 lorsquextend vers¥, on dit que la droite

d"équationy=ax+bestasymptote ob liqueen ¥.Poura=0 on retrouve la définition d"asymptote hoizontale.Proposition 1.11

y=ax+best asymptote oblique en+¥si et seulement si lim x!+¥f(x)x =aet limx!+¥(f(x)ax) =bExemple 1.12 f:x7!3x2+xx+1:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 18 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes

Solution

On a lim x!+¥f(x)x =3;et limx!+¥(f(x)3x) =2; donc la droite d"équationy=3x2 est asymptote en+¥.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 19 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes

Solution-3-2-11234

-15-10-5510 3x2+x x+1y=3x¡2y=3x¡2UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 20 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

1Chap 1. Fonctions numériques

1.1. Notations

1.2. Symétrie

1.3. Asymptotes

1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

1.5. Continuité

1.6. Dérivabilité

1.7. Extremum

Théorème des acroissements finis (complément)

1.8. Fonctions monotones

1.9. La règle de l"Hospital

1.10. Convexité

1.11. Plan détude d"une fonction

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 21 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

Relations importantes du ln

On ne donne pas de définition formelle des fonctions logarithme et exponentielle. On se restreint à quelques propriétés importantes.Proposition 1.13

Pour toutx;y>0 on a

ln(xy) =ln(x)+ln(y)ln(1x ) =ln(x) ln(xy ) =ln(x)ln(y)ln(xa) =aln(x);8a2Q:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 22 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

Représentation graphique du ln246810

x-4-3-2-112 yy=ln(x)UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 23 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

Limites importantes du ln

Exemple 1.14

Montrer que la fonction

f(x) =ln(x+p1+x2) vérifief(x)+f(x) =0. En déduire une symétrie de la courbe def.Proposition 1.15 lim x!+¥ln(x) = +¥limx!0+ln(x) =¥: lim x!0ln(1+x)x =1 lim x!+¥lnxx =0 lim x!0+xlnx=0UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 24 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

Solution de l"exemple

f(x)+f(x) =ln(x+p1+x2)+ln(x+p1+x2) =ln (p1+x2+x)(p1+x2x) =ln(1+x2)x2=ln(1) =0 On déduit quef(x) =f(x), doncfest impaire. La courbe defpossède donc une symétrie centrale par rapport à l"origine.

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 25 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance Démonstration de la proposition (complément) (1) Soientn2Netx3n. Alors ln(x)ln(3n) =nln(3)et donc ln(x)n (car ln(3)>1) d"où limx!+¥ln(x) = +¥. (2) En posanty=1=xon déduit : lim x!0+ln(x) =limy!+¥ln(1y ) =limy!+¥ln(y) =limy!+¥ln(y)(1)=¥ (3) De l"Hospital : lim x!0ln(1+x)x =limx!011+x1 =limx!011+x=1

Variante :Soitf(x) =ln(1+x). On a

ln(1+x)x =ln(1+x)ln(1)x0=f(x)f(0)x0!f0(0) =1:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 26 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

Démonstration (suite)

(4) De l"Hospital (exercice). Variante :Un tableau des variations montre quef(x) =ln(x)px. est croissante sur]0;4]et décroissante sur[4;+¥[. D"où8x>0,f(x)f(4)0, c.à.d. ln(x)px. On déduit que8x>0,lnxx px x =1px . On a donc :

8x>1, 0lnxx

1px (5) Il suffit de posery=1=xet d"utiliser (4).UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 27 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

Propriétés de la fonction exponentielle

Proposition 1.16

e x+y=exeyex=1e x e xy=exe y(ex)y=exyProposition 1.17 lim x!¥ex=0 limx!+¥ex= +¥Proposition 1.18 e lnx=x8x>0 ln(ex) =x8x2RUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 28 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance Représentation graphique de la fonction exponentielle -3-2-1123 x5101520 yy=exUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 29 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

Définition de la fonction puissance

On sait comment définirxn, pourn2N.Par exemple, x

3=xxx:Mais comment définir par exemplexp?Une façon de le faire est de constater qu"on a, pourn2N,

x

n=exp(ln(xn)) =exp(nln(x)):Notons que l"expression de droite est définie si on remplacenpar un nombre

réela.l"idée est alors dedéfinir xaen utilisant cette relation :Définition 1.19 Pour tout réela, on appellef onctionpuissance ala fonctionx7!xadéfinie sur]0;+¥[par x a=ealnx:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 30 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

Propriétés de la fonction puissance

Proposition 1.20

x a+b=xaxbxa=1x a x ab=xax b(xa)b=xabUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 31 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance Croissance comparée des fonctions logarithme, exponentielle et puissance

On va faire plus loin une étude de la fonction puissance.Théorème 1.21 (Croissance comparée)

8a;b>0;limx!+¥(lnx)bx

a=0:

8a>0;limx!+¥x

ae x=0

8a>0;limx!0xalnx=0UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 32 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.5. Continuité

1Chap 1. Fonctions numériques

1.1. Notations

1.2. Symétrie

1.3. Asymptotes

1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

1.5. Continuité

1.6. Dérivabilité

1.7. Extremum

Théorème des acroissements finis (complément)

1.8. Fonctions monotones

1.9. La règle de l"Hospital

1.10. Convexité

1.11. Plan détude d"une fonction

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 33 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.5. Continuité

Continuité

Définition 1.22

fest ditecontin ueen a2Dfsi

f(a) =limx!af(x):fest ditecontin uesi elle est contin ueen tout point de Df.Une fonction définie sur un intervalle est continue si on peut tracer son graphe

sans soulever le stylo. Autrement dit, son graphe n"a pas de " trous ».Les fonctions " classiques » sont continues sur leur domaine de définition :

polynomes, fractions rationnelles, sin, cos, tan, exp, ln, kp, e.t.c.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 34 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.5. Continuité

Exemples d"une fonction qui n"est pas continue

Exemple 1.23

La fonctionfdéfinie surRpar

f(x) =(

1;six0

1;six<0

n"est pas contin ueen 0. Elle a un " saut » en 0 .-3-2-1123 -1-0.50.51

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 35 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.5. Continuité

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 1.24 (des valeurs intermédiaires)

Soit f

contin ue sur un inter valle[a;b].

Si y est compris entre f(a)et f(b), alors il existe c2[a;b]tel que y=f(c).xyacbf(a)yf(b)UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 36 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.5. Continuité

L"image d"un intervalle

Remarque 1.25

Lecdu théorème des valeurs intermédiares n"est pas unique en général.Sifest strictement monotone, alorscest unique.Proposition 1.26

L"image d"un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Exemple 1.27

L"équation 3x32x2x=1 admet une solution dans l"intervalle]1;0[.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 37 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité

1Chap 1. Fonctions numériques

1.1. Notations

1.2. Symétrie

1.3. Asymptotes

1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

1.5. Continuité

1.6. Dérivabilité

1.7. Extremum

Théorème des acroissements finis (complément)

1.8. Fonctions monotones

1.9. La règle de l"Hospital

1.10. Convexité

1.11. Plan détude d"une fonction

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 38 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité Définition de la dérivabilité et vitesse moyenne

Définition 1.28

fest ditedér ivableen un point adu domaine de définition si f

0(a) =limx!0f(a+x)f(a)x;

existe.On appelle alorsf0(a)lenombre dér ivéede fena.Une fonction est dérivable

si elle est dér ivableen tout point de son domaine de définition. Sixest le temps etf(x)la distance parcouru à l"instantxpar un mobile se

déplaçant sur une axe, alors le taux d"accroissement de fena f(a+x)f(a)x

est la vitesse moyenne pendant le laps de tempsx.Lorsquextend vers 0, le taux d"accroissement tend versf0(a).Donc la

vitesse moyenne du mobile tend vers la vitesse instantanée f0(a)à l"instanta.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 39 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité

Représentation graphique de la vitesse moyenne

Le taux d"accroissement defenaest la pente de la droite(AB).aa+¢xf(a)f(a+¢x)AB¢xf(a+¢x)¡f(a)UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 40 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité

Droite tangente

Lorsquextend vers 0, la droite(AB)tend vers une position limite, ce qu"on appelle la droite tangente af(a)AUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 41 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité

Droite tangente

La pente de la droite tangente est donc

lim x!0f(a+x)f(a)x=f0(a):Elle passe par le point(a;f(a))donc :

Proposition 1.29

Une équation de la

droite tangente au point A(a;f(a))du graphe defest y=f0(a):(xa)+f(a):UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 42 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité

Une fonction qui n"est pas dérivable

Soitfla fonction définie parf(x) =jxj, pour toutx2R.-2-1120.511.52 y=jxjUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 43 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité

Propriétés de la fonctionx7! jxj

Notons d"abord quefest continue en 0 car le graphe defn"a pas de " trous ».Par contre,fn"est pas dérivable en 0, car la droite tangente n"est pas bien

définie : pourx0 on ay=xcomme droite tangente et pourx0 on a y=x.Dans ce cas on parle depoint anguleux . C"est donc l"exemple d"une fonction qui est continue mais pas dérivable.

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 44 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité

Demi-tangente verticale

Exemple 1.30

x7!pxadmet une demi-tangente verticale enO.12340.511.52 y=p x

UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 45 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité

Dérivées des fonctions usuelles

ketasont des constantes réels aveca6=0.f(x)f

0(x)k0

x aaxa1ln(x)1 x e xe xsin(x)cos(x)cos(x)sin(x)tan(x)1+tan2(x) =1cos

2(x)UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 46 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité

Opérations sur les dérivées

Théorème 1.31

Si u, v sont dérivables sur un intervalle I, alors u+v, uv, et ku (k2R) le sont

aussi.Si en plus v ne s"annule pas, alors u=v sont également dérivables. On a1(u+v)0=u0+v0;et(ku)0=ku0;2(uv)0=uv0+u0v;3

1u 0 =u0u 2,4 uv 0 =u0vuv0v

2.Théorème 1.32

Si u, v sont dérivables, alors uv est dérivable (là ou c"est défini) et (uv)0(x) =v0(x)u0(v(x)):UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 47 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité

Exemples

Exercice 1.33

Déterminer la dérivée des fonction suivantes f

1(x) =1x

2f2(x) =1x

32
f3(x) =1px f

4(x) =1cos(x)f5(x) =sin(x2)f6(x) =ecosx

f

7(x) =ln(x2+1)f8(x) =ln(lnx)Exercice 1.34

Vérifier la formule donnée plus haut pour

f(x) =tanx g(x) =xaUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 48 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité

Solution

tanx: xa: (xa)0=ealnx0=ax ealnx=ax xa=axa1: f1(x) =1x 2.

Méthode 1 : f

1(x) =x2, donc

f 0

1(x) =2x3=2x

3:

Méthode 2 :

f 0

1(x) =2xx

4=2x

3:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 49 / 329

Chap 1. Fonctions numériques1.7. Extremum

1Chap 1. Fonctions numériques

1.1. Notations

1.2. Symétrie

1.3. Asymptotes

1.4. Logarithme, exponentielle, puissance

1.5. Continuité

1.6. Dérivabilité

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