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Domaine et racines d’une fonction

La racine d’une fonction est la valeur de x qui annule la fonction Une fonction peut ne pas avoir de racine, ou bien peut en avoir une ou plusieurs voire une infinité Sur le graphe de la fonction, les racines sont les intersections du graphe avec l’axe des x Comment trouver les racines d’une fonction ?

PUISSANCES ET RACINES CARRÉES

Calculer de même en appliquant la règle des signes : La racine carrée de a est le nombre = √9 x √8 ← On extrait cette racine en appliquant une formule

Fiche de synthèse : LES RACINES CARR É ES

Pour simplifier une racine carrée, on décompose la racine en un produit de racines carrées Par exemple : Pour utiliser la racine carrée dans un quotient, il est nécessaire d’avoir la racine carrée d’un quotient ou bien un quotient de racines carrées Car si a et b sont des nombres positifs et a ≠ 0, alors

Puissances, Racines Exponentielles et Logarithmes

Une estimation de tête peut suffire pour répondre à la question 1 2 Les racines Exercice 1 6: Vérifier avec la calculatrice ces étranges égalités : a) a 4`? 12 “ 1`? 3 b) 2 a 2´? 3 “? 6´? 2 Comment pourrait-on les justifier sans calculatrice? Définition: Soit a P R ` et n P N ˚ On appelle racine n-ième de a, noté n? a, l

Premiers pas avec Mathematica - École Normale Supérieure

pour voir comment les choses se passent en pratique N’h´esitez pas a faire vos 2 peut se calculer ainsi : Sum[i^2,{i,1,10}] num´eriquement une racine

Détermination d’une valeur approchée de la racine carrée d’un

Détermination d’une valeur approchée de la racine carrée d’un nombre Stéphane Clément IREM Aix Marseille 1 Algorithme de Héron La calcul de valeurs approchées de nombres irrationnels est un type de problème qui peut être une raison d’être à de nombreux contenus mathématiques, de la classe de première S en parti-culier

Le polynome minimal d’une matriceˆ

Soient A une matrice de M n(K) et gun polynome annulateur deˆ A Alors, toute valeur propre de A est racine du polynomeˆ g Preuve Soit g= a 0 + a 1x+ a 2x2 + + a mxm un polynome annulateur deˆ A La matrice g(A) est nulle : a 01 n+ a 1A+ a 2A 2 + + a mA p= 0: (8 3) Soient une valeur propre de A et x un vecteur propre associe,´ i e , Ax = x

Calculatrices BA II PLUS™ / BAII PLUS™ PROFESSIONAL

Par exemple, une pression sur les touches & Uferme la feuille de calcul séle ctionnée et active le mode standard de la calculatrice Remarque : pour annuler l'effet d'une pression sur la touche &, appuyez à nouveau sur & Indicateur Signification 2nd Appuyez sur une touche pour sélectionner sa fonction secondaire

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3 - Maths & tiques

L’équation admet donc une unique solution #=√I11 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur

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Détermination d"une valeur approchée

de la racine carrée d"un nombre

Stéphane Clément

IREM Aix Marseille

1 Algorithme de Héron

La calcul de valeurs approchées de nombres irrationnels est un type de problème qui peut être

une raison d"être à de nombreux contenus mathématiques, de la classe de première S en parti-

culier. Ce qui est présenté ci-dessous a été testé en classe; la programmation par les élèves a été

faite avec l"environnement Scilab.

1.1 Le principe mathématique

Pour les mathématiques actuelles, rechercher la racine carrée d"un nombreArevient à résoudre

l"équationx2?A?0.

Chez les mathématiciens grecs, extraire la racine carré deAc"est trouver un carré dont l"aire

estA. En prenant un rectangle de côté arbitrairea0et de même aire, il est nécessaire que la

longueur de l"autre côté soit Aa o. Mais ce rectangle n"est pas carré (en général). Pour le rendre

"plus carré", il suffit de prendre un rectangle dont la longueur est la moyenne arithmétique des

deux côtés précédents soit a o?Aa o2 en carré de même aire.

Dans la suite, on va supposer queA?1. Si la racine carré cherchée et inférieure à1, on pourra

toujours se ramener àA?1.

La figure suivante, réalisée avec le logiciel GeoGebra et suivie de son protocole de construction,

illustre cette technique pour la détermination d"une valeur approchée deA??2. 1

1.2 Exemple à la main : approximations successives de racine de 2

Partons d"un rectangle de côtés de longueurs 1 et 2 et utilisons la technique. Première itération : prenons la demi-somme pour l"un des côtés1?22 ?32 . Pour que l"aire du rectangle soit2, nécessairement la longueur du deuxième côté est23 2 ?43

Deuxième itération : la demi-somme est

32
?43 2 ?1712 et la mesure du deuxième côté est : 217
12 ?2417 Ainsi de suite, on obtient successivement les valeurs rangées dans la tableau suivant : 2 Rang de l"itérationLongueur du premier côtéLongueur du deuxième côté 021
13 2 ?1.54 3 ?1.33333217 12 ?1.4166724 17 ?1.4117763577 408
?1.414215816 577
?1.4142114665 857

470 832

?1.41421356941 664

665 857

?1.41421356On remarque qu"à la troisième itération, on a un encadrement à10?5et qu"à la quatrième une

très bonne valeur approchée. Ces calculs se réalisent facilement avec un logiciel de calcul formel, comme ci-dessous avec wxMaxima :3

1.3 L"algorithme

L"algorithme permet de donner un encadrement de la solution et peut s"écrire de deux façons : 1. en calculant simul tanémentdeux suites (technique proche du principe) ; a?2 b?1 e?précision souhaitée tant quea?b?efairea? ?a?b??2b?2?a résultataetb Algorithme écrit sous le logiciel AlgoBox2.en ne calculant qu"une se ulesuite 1. x?0 y?1 e?précisiontant que?x?y? ?efairex?yy?x?2x 2 résultaty

1.4 Programmation

En Python1. Cf APMEP Bulletin 486Étude d"un très vieil algorithmepar Catherine Combelles 4 La programmation en langage Python ci-dessus donne le résultat ci-dessous :

Avec Scilab

2 Comparaisonderapiditédeconvergenceparrapportàd"autres

algorithmes Sensibiliser les élèves à la comparaison de vitesse de convergence

2.1 Comparaison à l"algorithme de dichotomie

L"algorithme de dichotomie est abordé dès la seconde, mais la mise en oeuvre avec des élèves

peut s"avérer quelques fois difficile à ce niveau. On peut décider de le retravailler en première.

Entrées:aréel,bréel,a?b,ffonction continue sur?a,b?telle que f?a? ?f?b? ?0,?la précision est un nombre réel arbitrairement petit. tant queb?a??fairec?a?b2sif?a? ?f?c? ?0alorsb?csinona?c Sortieaest un nombre réel qui approche une racine defà?près.

Cet algorithme peut être utilisé pour la recherche d"une valeur approchée d"une éventuelle so-

lution à une équation dont les élèves ne connaissent pas de solution algébrique; mais aussi dans

le cadre d"une la recherche d"une valeur approchée d"un nombre (par exemple?2). Il est facile de démontrer que la fonctionx???x2?2est croissante sur?1;2?quef?1? ? ?1 et quef?2? ?2. Il y a donc bien une solution àf?x? ?0dans l"intervalle?1;2?. 5 6 La programmation en langage Python ci-dessus donne le résultat ci-dessous : On remarque que l"algorithme de Héron converge beaucoup plus rapidement que l"algorithme de dichotomie.

2.2 Lien entre la méthode de Newton et l"algorithme de Héron

La méthode de Newton aussi appelé méthode de la tangente, est en fait l"algorithme de Héron

[cf IREM Aix marseille : méthode de newton.pdf]. C"est ce que montre la ligne de calculs ci-dessous u n?1?un?f?un?f ??un?avecf?x? ?x2?2etf??x? ?2x. u n?1?un?u2n?22un?2u2n?u2n?22un?u n?2u n2 7quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17