Math niveau 2, exercices de révision, analyse

2) Calculer la pente de la tangente au graphe de g aux points d'abscisse x =1 et 3x = En déduire l'existence d'un point Px y00 0(; ) à tangente ho-rizontale tel que 13

Rédiger un exercice de maths

l'élève perd des points (de 0,25 à plusieurs points suivant la question) Parfois il arrive même qu'une rédaction mal adaptée fausse la réponse à une question dans un exercice de maths La note au contrôle sera donc pénalisée si l'élève n'a pas fait l'effort de rédiger proprement ses réponses en interrogation de maths

Exercices - Moutamadrisma

5) Justifier que le quadrilatère NCMA est un parallélogramme et que O est le milieu de [MN] Exercice 4 B est le milieu de [AC] Démontrer que le barycentre de (A, 1) (C, 3) est confondu avec celui de (B, 2) (C, 2) Exercice 5 Une balance est constituée d’une masse M et d’un plateau fixé à l’extrémité d’une tige Pour peser une

Recueil d’exercices de Mathématiques Terminales S1-S3

2) Soit f une fonction continue sur l’intervalle [0;1] à valeur dans [0;1]; montrer que f possède un point fixe c’est à dire qu’il existe un réel α∈[0;1]tel que : f (α) =α Exercice 2 Calculer les limites suivantes en identifiant la limite demandée à un taux de variation a) π −π − → x x x 6 12 sin 6 lim 6; b) x x x π

Exercices de 1 à 5 sur le chapitre 13 sur la proportionnalité

2) Un cycliste roule à allure régulière et parcourt 2,8 km en six minutes Combien de km parcourt-il en trois minutes ? Exercice 7 : On pourra répondre par un retour à l'unité 1) Le prix de 3 kiwis vendus à l'unité est de 1,80 € Quel est le prix de 7 kiwis ? 2) Un satellite effectue 6 tours en 24h Combien de temps pour 17 tours ?

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GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir d’exercices de BAC TES Exercice n°1 Un groupe d’amis organise une randonnée dans les Al pes On a représenté par le graphe ci-dessous les sommet s B, C, D, F, T, N par lesquels ils peuvent choisir de passer Une arête entre deux sommets coïncide avec l’existence d’un

FEUILLE D’EXERCICES Nombres premiers - Académie de Créteil

1) Donner la liste des diviseurs de 154 puis la liste des diviseurs de 182 2) Dans un centre de loisir, on veut répartir la totalité des 154 garçons et des 182 filles dans des groupes tous de même composition (c'est-à-dire que tous les groupes compteront le même nombre de garçons et le même nombre de filles) a

Sujet du bac S Mathématiques Obligatoire 2017 - Maths Expertes

EXERCICE 2 ( 3 points) Commun à tous les candidats On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O u v) ˜ ˜; , 1 On considère l’équation (E z zc):6 02 − += où c est un réel strictement supérieur à 9 a Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles b Justifier que les solutions de (E) sont zc A

Exercices corrigés de maths sur les équations et inéquations

2 Pendant la période estivale, un marchand de glaces a remarqué qu’il dépensait 75 € par semaine pour faire, en moyenne, 150 glaces Sachant qu’une glace est vendue 2,50 €, combien doit-il vendre de glaces, au minimum, dans la semaine pour avoir un bénéfice supérieur à 76 € ? On expliquera la démarche

ACADÉMIE DE NANTES 2020 - Freemaths

Donner, sans justification, les valeurs de B : 0 ; pour 0 variant de 2 à 16 3 Pour cette question 0 L1 024 a Justifier qu’à l’issue du premier tour de table la prochaine personne retirée porte le numéro 2 b À l’issue du premier tour de table il reste donc 512 personnes

Lycée Denis-de-Rougemont

Neuchâtel et Fleurier

Exercices de révision

Mathématiques niveau 2

ANALYSE

Mathématiques niveau 2 Analyse Exercices de révision, page 2

Exercice 1

a) Soit la fonction 22
:ln(1)fxx x.

A l'aide de

(0)f et du signe de 'f, expliquer pourquoi () 0fx pour tout x. b) Soit la fonction

21:ln(1),0gx x x

1) Sachant que

22
ln(1 ) 0xx, montrer que, pour tout 0x,

0()gx x, puis que

0 lim( ( )) 0 x gx

2) Calculer la pente de la tangente au graphe de g aux points d'abscisse

1 x et 3x. En déduire l'existence d'un point 000 (;)Pxy à tangente ho- rizontale tel que 0 13x. Trouver un intervalle de longueur ½ contenant x 0 c) Soit la fonction 2

21:ln(1),0hx x x

1) Trouver une primitive de h.

2) Calculer, si elle existe, l'intégrale

2 2

01ln(1 )

xdxx

Exercice 2

Étude de la fonction

x exxxfyxf 22
)122()(:

On ne calculera pas la dérivée seconde.

Déduire du graphe de f celui de la fonction

x exxxgyxg 22

122)(:

sans procéder à une étude de g. Mathématiques niveau 2 Analyse Exercices de révision, page 3

Exercice 3

a) Esquisser les graphes de 1: 2 xxg )ln(: xxh

Justifier le fait que l'équation 0)ln(1

2 xx admet deux solutions réelles. Calculer la solution non entière par approximation à 10 -2 près. b) Étudier la fonction 2

2ln():xxfx y

x en soignant particulièrement le graphe sur l'intervalle [0 , 2] (utiliser la deuxième dérivée). c) Résoudre l'équation différentielle

1'2xy y x

x Comparer l'expression de la solution générale avec f.

Exercice 4

Pour un nombre réel k, on considère la fonction : (ln( )) k fxyxx a) Vérifier que pour k > 1, le graphe de f admet deux points à tangente horizon- tale dont un indépendant de k.

Qu'en est-il pour k = 1 ?

b) Esquisser le graphe de f pour k = 1, k= 2, k = 3 (3 dessins) Lors de l'étude de f, on soignera l'analyse au voisinage de zéro, mais on renon- cera à la dérivée seconde. c) Calculer I 1 1 0 ln( )xxdx

On pose I

k 1 0 [ln( )] k xxdx ; montrer que I k = ()2kI k - 1 Déduire des calculs précédents une formule pour I k Mathématiques niveau 2 Analyse Exercices de révision, page 4

Exercice 5

Soit la fonction

211141si ou222:11114 si222xx x x

fx xx x a) Examiner la continuité de f en 0 1 2x et 1 1 2x b) Examiner le comportement asymptotique en justifiant les résultats proposés. c) Calculer la dérivée, le(s) point(s) à tangente horizontale. d) Représenter le graphe de f pour x compris entre -2 et 2. e) Écrire f(x) à l'aide d'une expression fonctionnelle unique.

Exercice 6

a) Trouver la solution générale de l'équation différentielle

34')1(

xyyx, puis la solution particulière telle que .12)0(' y b) Étudier la fonction 2

239:1xxfx y

x La deuxième dérivée n'est pas demandée. c) Soit A l'intersection du graphe de f avec la partie positive de l'axe des x et

B l'intersection du graphe de f avec l'axe des y.

Soit T le triangle curviligne 0AB, où le côté AB est remplacé par le graphe de f.

Déterminer le volume que

T engendre dans sa rotation autour de l'axe des x. d) Trouver une fonction rationnelle dont le graphe

1) admet 4xy comme asymptote oblique.

2) admet 1x comme asymptote verticale.

3) passe par un extremum relatif d'abscisse 4.

Mathématiques niveau 2 Analyse Exercices de révision, page 5

Exercice 7

a) Trouver les solutions u 1 et u 2 de l'équation u 2 - 6u + 1 = 0. b) En déduire les solutions x 1 et x 2 de l'équation e 4x - 6e 2x + 1 = 0.

Vérifier les égalités 1

21
uu et 0 21
xx.

On considère la fonction

2 :41 x x efxe c) Étudier complètement cette fonction. On demande : parité, comportement asymptotique, point à tangente horizontale, intervalles de (dé)croissance, points d'inflexion et graphe (unité = 2cm).

On appelle g la fonction donnée par

22
22
() (()) 16(1) x x egx fxe Par changement de variable, trouver une primitive G de g. d) Le graphe de f délimite avec les axes de coordonnées une surface dans le premier quadrant. Calculer le volume du corps qu'elle engendre en tournant autour de l'axe des x.

Exercice 8

On envisage la fonction

22
a afx y xa où 0a. a) Déterminer en fonction de a les coordonnées du point à tangente horizontale et des points d'inflexion.

Esquisser le graphe de

1:1fx y

x b) Pour a > 0, calculer l'intégrale 22
0 a Idxxa

Calculer x

1 de sorte que 1 22
0 1 3 x aJdxIxa Mathématiques niveau 2 Analyse Exercices de révision, page 6 c) Déterminer k et m de façon que la fonction 2 ( ) arctan( )1kxPx m x x soit une primitive de la fonction 2 1

221(())(1)fxx

En déduire le volume obtenu en faisant tourner le graphe de f 1 autour de l'axe des x entre les abscisses -1 et +1. d) Pour quelle valeur de a, la fonction )(xfy a est-elle une solution particu- lière de l'équation différentielle 2

28(4)'24x

xyxy x Trouver la solution générale de cette équation différentielle.

Exercice 9

On considère la fonction f donnée par l'expression e1()e1 x x fx a) Procéder à une étude complète de la fonction f. Relativement à un repère métrique dont l'unité mesure 2 cm, tracer le graphe de f en tenant compte de la pente au point d'inflexion. b) Sans recourir à une nouvelle étude, esquisser dans le même repère, mais avec des couleurs différentes le graphe de chacune des fonctions 1

1:()fx

fx et ))(ln(: 2 xfxf c) La fonction f définit une bijection de IRdans un intervalle ouvert. Détermi- ner l'expression de la bijection réciproque. En particulier, donner la valeur de x pour laquelle .9,0)( xf d) En posant x eu et en intégrant par changement de variable, calculer une primitive de la fonction f. e) Dans le premier quadrant, on considère la surface située entre le graphe de f et son asymptote. Calculer, si elle existe, l'aire de cette surface illimitée à droite. A défaut d'avoir trouvé une primitive de f, vérifier que )1ln(2)( x exG est une primitive de )(1)( xfxg, puis utiliser G pour le calcul d'aire. Mathématiques niveau 2 Analyse Exercices de révision, page 7

Exercice 10

a) Étudier la fonction réelle f donnée par f(x) = cos(2x) + cos(x)

(domaine de définition, périodicité, parité, zéros, dérivée, variations, dérivée

seconde, points d'inflexion, représentation du graphe). b) Calculer l'aire du domaine limité par le graphe de f et les parties positives des axes de coordonnées.

Exercice 11

On considère un rectangle inscrit dans un demi-cercle de rayon r. a) Quelle est la plus grande aire possible d'un tel rectangle ? b) On fait tourner le rectangle autour du diamètre du demi-cercle. Quel est le plus grand volume possible du cylindre ainsi engendré ? c) Même question si l'on fait tourner le rectangle autour de l'axe de symétrie du demi-cercle.

Exercice 12

Un adepte de la course d'orientation doit se rendre d'un poste A, situé au bord d'un chemin rectiligne, à un poste B situé à 6,5 km de A et à 2,5 km du chemin. Sa vitesse le long du chemin est 15 km/h, alors qu'elle n'est que de 10 km/h à travers champs.

Combien de temps lui faudra-t-il, au minimum ?

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