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Distributions, analyse de Fourier,
equations aux derivees partiellesF. Golse
Octobre 2012
iiTable des matieres
I Distributions 1
1 FonctionsC1a support compact 3
1.1 Calcul dierentiel : rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Fonctions de classeC1a support compact . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Regularisation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Convolution des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Regularisation par convolution . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Partitions de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Appendice : Inegalites de Holder et de Minkowski . . . . . . . . . 28
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 E.D.P. d'ordre un 35
2.1 L'equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Equations de transport a coecients variables . . . . . . . . . . . 38
2.3 E.D.P. non lineaires d'ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Calcul des distributions 53
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Les distributions : denitions et exemples . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Notion de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.3 Remarques sur la denition des distributions . . . . . . . 63
3.3 Convergence des suites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Operations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.1 Derivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.2 Multiplication par une fonction de classeC1. . . . . . . 78
3.4.3 Localisation et recollement des distributions . . . . . . . . 80
3.4.4 Changement de variables dans les distributions . . . . . . 82
3.4.5 Derivation/Integration sous le crochet de dualite . . . . . 84
3.4.6 Produit de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 La formule des sauts et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.1 Formule des sauts en dimensionN= 1 . . . . . . . . . . . 89
3.5.2 Formule de Green-Riemann : rappels . . . . . . . . . . . . 91
iii ivTABLE DES MATIERES3.5.3 Formule de Green(-Ostrogradsky) . . . . . . . . . . . . . 93
3.5.4 Formule des sauts en dimension quelconque . . . . . . . . 96
3.6 Distributions homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4 Support et convolution des distributions 115
4.1 Les distributions a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.1 Support d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.2 Distributions a support compact . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1.3 Structure des distributions a support dans un singleton . 121
4.2 ConvolutionC1c?D0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3 Operations sur les distributions (suite) . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.1 Produit tensoriel de deux distributions . . . . . . . . . . . 133
4.3.2 Composition d'une distribution et d'une applicationC1. 136
4.4 Produit de convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5 Transformation de Fourier 149
5.1 La classe de SchwartzS(RN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.2 La transformation de Fourier surS. . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3 Les distributions temperees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.4 La transformation de Fourier surS0. . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.5 Transformation de Fourier partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.6 Transformation de Fourier et series de Fourier . . . . . . . . . . . 178
5.7 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6 Appendice 193
6.1 Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.2 Integration sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.2.1 Integrales curvilignes : rappels . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.2.2 Element d'aire sur une surface; integrale de surface . . . . 199
6.3 Integration sur une hypersurface deRN. . . . . . . . . . . . . . 204
6.3.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.4 Quelques proprietes de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 209
II Applications aux EDP 215
7 Operateurs dierentiels 217
7.1 Operateurs dierentiels : exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2 Solutions elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.2.1 Solution elementaire du laplacien . . . . . . . . . . . . . . 226
7.2.2 Solution elementaire du d'Alembertien . . . . . . . . . . . 231
7.2.3 Solution elementaire de l'operateur de la chaleur . . . . . 235
7.2.4 Solution elementaire de l'operateur de Schrodinger . . . . 237
TABLE DES MATI
ERESv7.3 Le probleme de Cauchy au sens des distributions . . . . . . . . . 241
7.3.1 Le cas des equations dierentielles ordinaires . . . . . . . 242
7.3.2 Le cas des EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8 Equations de Laplace et de Poisson 253
8.1 Origines du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.3 L'equation de Poisson dans l'espace euclidien . . . . . . . . . . . 265
8.4 Problemes aux limites pour le laplacien . . . . . . . . . . . . . . 269
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9 Equation de la chaleur 275
9.1 Origines du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.2 Probleme de Cauchy et equation de la chaleur . . . . . . . . . . . 277
9.3 Proprietes qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.3.1 Bornes sur la solution du probleme de Cauchy . . . . . . 286
9.3.2 Eet regularisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
9.3.3 Irreversibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.3.4 Vitesse innie de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.4 Equation des milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
9.4.1 Origine de l'equation des milieux poreux . . . . . . . . . . 295
9.4.2 Solutions auto-similaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
9.5 Solution de l'equation de Hopf apres les chocs . . . . . . . . . . . 300
9.5.1 La transformation de Cole-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . 303
9.5.2 La formule de Lax-Oleinik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
9.5.3 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10 Equation de Schrodinger 321
10.1 Origines du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.2 Probleme de Cauchy et equation de Schrodinger . . . . . . . . . 325
10.3 Eets dispersifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
10.4 Transformation de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10.4.1 La transformation de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10.4.2 Limite semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
10.4.3 Interpretation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
10.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
11 Equation des ondes 347
11.1 Origines du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
11.2 Le probleme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
11.2.1 Formulation au sens des distributions . . . . . . . . . . . 353
11.2.2 Solution elementaire dans le futur . . . . . . . . . . . . . 355
11.2.3 Existence et unicite de la solution . . . . . . . . . . . . . 358
11.3 Solution elementaire dans le futur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
viTABLE DES MATIERES11.3.1 Le cas general en dimensionN2. . . . . . . . . . . . . 362
11.3.2 Le cas de la dimensionN= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 366
11.3.3 Le cas de la dimensionN= 3 : moyennes spheriques . . . 368
11.3.4 Le cas de la dimensionN= 2 : methode de descente . . . 371
11.4 Proprietes qualitatives de l'equation des ondes . . . . . . . . . . 374
11.4.1 Conservation de l'energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
11.4.2 Propagation a vitesse nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
11.4.3 Principe de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
11.5 Equation des ondes et transformation de Radon . . . . . . . . . . 380
11.5.1 La transformation de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . 380
11.5.2 Transformation de Radon et equation des ondes . . . . . 384
11.5.3 Transformation de Radon et scanner . . . . . . . . . . . . 386
11.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Bibliographie 393
Premiere partie
Distributions
1Chapitre 1
FonctionsC1a support
compact Ce chapitre rassemble plusieurs resultats preliminaires indispensables pour developper la theorie des distributions. Apres quelques rappels de calcul dieren- tiel | principalement destines a xer les notations | on etudiera plus par- ticulierement les fonctions de classeC1sur un ouvert deRNet a support compact, ainsi que leurs premieres applications en Analyse | notamment a la localisation et la regularisation des fonctions.1.1 Calcul dierentiel : rappels et notations
Soient
ouvert deRNet une applicationf: !RnouCndenie par f(x) = (f1(x1;:::;xN);:::;fn(x1;:::;xN)):Rappelons que l'applicationfest de classeCpsur
| ce que l'on notef2 C p( ;Rn) ouf2Cp( ;Cn) | si toutes les derivees partielles d'ordre inferieur ou egal apdes fonctionsf1;:::;fnsont continues sur . L'espaceCp( ;R) | ouCp( ;C) selon le contexte | est noteCp( De facon plus generale, pourURN, on noteraCp(U;Rn) (resp.Cp(U;Cn)) l'ensemble des restrictions aUd'applications de classeCpsur un ouvert deRN contenantUet a valeurs dansRn(resp.Cn).Lemme 1.1.1 (Schwarz)Soit
ouvert deRN. Si2C2( ), alors, pour tousk < l= 1;:::;N, on a 2@x k@xl=@2@x l@xksur Nous utiliserons systematiquement les notations suivantes pour les derivees partielles d'une fonctionfde classeC1sur , ouvert deRN: kf(x) ou@xkf(x) designe la derivee partielle@f@x k(x) 34CHAPITRE 1. FONCTIONSC1A SUPPORT COMPACT
pour toutk= 1;:::;N, ainsi que rf(x) ourxf(x) =0 B x1f(x) xNf(x)1 C A: Rappelons egalement que, pour tout champ de vecteurs de classeC1 V:RN!RNou
est un ouvert deRN; on note divV(x) ou divxV(x) =NX k=1@ xkVk(x): Passons au cas des derivees partielles d'ordre superieur. On nomme \multi-indice" tout element= (1;:::;N)2NN. A tout multi-indice2NNon associe sa longueur jj=1+:::+N: Pour chaque multi-indice2NN, on note les derivees partielles iterees d'une fonctionfde classeC1sur comme suit : f(x) ou@xf(x) designe@jjf@x11:::@xNN(x);
c'est-a-dire que f(x) ou@xf(x) =@1x1:::@NxNf(x):Par analogie, pour toutx2RNet tout2NN, on note
x =x11:::xNN:Notons encore, pour tout2NNet tout2NN
si et seulement sikkpourk= 1;:::;N :On posera alors
ou ! =1!:::N!: Avec ces notations, on peut ecrire tres simplement (a) la formule du bin^ome : (x+y)=X x y;1.1. CALCUL DIFF
ERENTIEL : RAPPELS ET NOTATIONS5
(b) la formule du multin^ome : (x1+:::+xN)k=X jaj=kk!!x; (c) et la formule de Leibnitz : pourf;g2Cp( ) etjj p (fg) =X f@g Rappelons une derniere notation que nous utiliserons frequemment par la suite : le laplacien d'une fonction de classeC2sur un ouvert deRNest fou xf(x) = div(rf(x)) =NX k=1@ 2x kf(x): Nous allons maintenant passer en revue (sans demonstration) plusieursenonces classiques du calcul dierentiel. Commencons par la formule de derivation des applications composees. On rappelle que, pour toutRNouvert et toutf2C1(
;Rn), on a (f0(x))k=NX l=1@ xlfk(x)l; x2 ; 2RN;1kn:Ainsi,f0est une application continue de
dans l'espaceL(RN;Rn) des appli- cations lineaires deRNdansRn. De plus, la matrice def0(x) dans les bases canoniques deRNetRnest, pour toutx2 (@xlfk(x))1kn 1jN c'est-a-dire la matrice anlignes etNcolonnes, dont l'element situe a lak-ieme ligne et lal-ieme colonne est@xlfk(x). Theoreme 1.1.2 (Derivation des applications composees)SoientUou- vert deRletVouvert deRm. Soientf2C1(U;Rm)etg2C1(V;Rn)telles quef(U)V. Alorsgf2C1(U;Rn)et on a (gf)0(x) =g0(f(x))f0(x)pour toutx2U : (La notationdesigne la composition d'application lineaires deRldansRmet deRmdansRn.) Les matrices de (gf)0(x), deg0(f(x)) et def0(x) dans les bases canoniques deRl,RmetRnsont donc reliees, pour toutx2U, par la formule (@xk(gf)i(x))1in1kl= (@xjgi(f(x)))1in
1jm(@xkfj(x))1jm
1kl6CHAPITRE 1. FONCTIONSC1A SUPPORT COMPACT
oudesigne le produit de matrices anlignes etmcolonnes par les matrices a mlignes etlcolonnes. Rappelons enn la formule de Taylor avec reste integral : (a) pourfonction de classeCp+1sur un intervalle ouvertIR: (b) =pX k=0(ba)kk!(k)(a) +Z b a(bt)pp!(p+1)(t)dt pour tousa;b2I; (b) pour une fonctionfde classeCp+1sur un ouvert RN: f(b) =X jjp(ba)!@f(a) + (p+ 1)X jj=p+1(ba)!Z 1 0 (1t)p@f(a+t(ba))dt; pour tousa;b2 tels que le segment [a;b] Pour demontrer cette derniere formule, on se ramene au cas a une variable en posant (t) =f(a+t(ba)); et on verie que (k)(t) =X jj=kk!!@f(a+t(ba))(ba):1.2 Fonctions de classeC1a support compact
Rappelons la denition du support d'une fonction :
Denition 1.2.1Soit une fonctiondenie sur un espace topologiqueXet a valeurs dansRouC. Le support de la fonctionest supp() =fx2Xj(x)6= 0g: Les fonctions de classeC1a support compact jouent, en Analyse, plusieurs r^oles distincts, egalement importants : a) elles servent a localiser les fonctions sans en degrader les hypotheses de regularite 1; b) elles servent a approcher les fonctions localement integrables par des fonc-tions de classeC1;1. Sauf l'analyticite, car, d'apres le principe des zeros isoles, il n'existe pas de fonction
analytique a support compact dans un ouvert deCqui ne soit pas identiquement nulle | cf. [6], Theoreme V.1.16, ou [9], chapitre X, Theoreme 6.1.3.