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Distributions, analyse de Fourier,

equations aux derivees partielles

F. Golse

Octobre 2012

ii

Table des matieres

I Distributions 1

1 FonctionsC1a support compact 3

1.1 Calcul dierentiel : rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Fonctions de classeC1a support compact . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Regularisation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Convolution des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Regularisation par convolution . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Partitions de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Appendice : Inegalites de Holder et de Minkowski . . . . . . . . . 28

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 E.D.P. d'ordre un 35

2.1 L'equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Equations de transport a coecients variables . . . . . . . . . . . 38

2.3 E.D.P. non lineaires d'ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Calcul des distributions 53

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Les distributions : denitions et exemples . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.1 Notion de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2 Distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.3 Remarques sur la denition des distributions . . . . . . . 63

3.3 Convergence des suites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4 Operations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4.1 Derivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4.2 Multiplication par une fonction de classeC1. . . . . . . 78

3.4.3 Localisation et recollement des distributions . . . . . . . . 80

3.4.4 Changement de variables dans les distributions . . . . . . 82

3.4.5 Derivation/Integration sous le crochet de dualite . . . . . 84

3.4.6 Produit de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.5 La formule des sauts et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.5.1 Formule des sauts en dimensionN= 1 . . . . . . . . . . . 89

3.5.2 Formule de Green-Riemann : rappels . . . . . . . . . . . . 91

iii ivTABLE DES MATIERES

3.5.3 Formule de Green(-Ostrogradsky) . . . . . . . . . . . . . 93

3.5.4 Formule des sauts en dimension quelconque . . . . . . . . 96

3.6 Distributions homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4 Support et convolution des distributions 115

4.1 Les distributions a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.1.1 Support d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.1.2 Distributions a support compact . . . . . . . . . . . . . . 119

4.1.3 Structure des distributions a support dans un singleton . 121

4.2 ConvolutionC1c?D0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3 Operations sur les distributions (suite) . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.3.1 Produit tensoriel de deux distributions . . . . . . . . . . . 133

4.3.2 Composition d'une distribution et d'une applicationC1. 136

4.4 Produit de convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . 139

4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5 Transformation de Fourier 149

5.1 La classe de SchwartzS(RN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.2 La transformation de Fourier surS. . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.3 Les distributions temperees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.4 La transformation de Fourier surS0. . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.5 Transformation de Fourier partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.6 Transformation de Fourier et series de Fourier . . . . . . . . . . . 178

5.7 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6 Appendice 193

6.1 Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.2 Integration sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.2.1 Integrales curvilignes : rappels . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.2.2 Element d'aire sur une surface; integrale de surface . . . . 199

6.3 Integration sur une hypersurface deRN. . . . . . . . . . . . . . 204

6.3.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.4 Quelques proprietes de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 209

II Applications aux EDP 215

7 Operateurs dierentiels 217

7.1 Operateurs dierentiels : exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.2 Solutions elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.2.1 Solution elementaire du laplacien . . . . . . . . . . . . . . 226

7.2.2 Solution elementaire du d'Alembertien . . . . . . . . . . . 231

7.2.3 Solution elementaire de l'operateur de la chaleur . . . . . 235

7.2.4 Solution elementaire de l'operateur de Schrodinger . . . . 237

TABLE DES MATI

ERESv

7.3 Le probleme de Cauchy au sens des distributions . . . . . . . . . 241

7.3.1 Le cas des equations dierentielles ordinaires . . . . . . . 242

7.3.2 Le cas des EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

8 Equations de Laplace et de Poisson 253

8.1 Origines du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

8.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

8.3 L'equation de Poisson dans l'espace euclidien . . . . . . . . . . . 265

8.4 Problemes aux limites pour le laplacien . . . . . . . . . . . . . . 269

8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

9 Equation de la chaleur 275

9.1 Origines du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

9.2 Probleme de Cauchy et equation de la chaleur . . . . . . . . . . . 277

9.3 Proprietes qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

9.3.1 Bornes sur la solution du probleme de Cauchy . . . . . . 286

9.3.2 Eet regularisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

9.3.3 Irreversibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

9.3.4 Vitesse innie de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . 293

9.4 Equation des milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

9.4.1 Origine de l'equation des milieux poreux . . . . . . . . . . 295

9.4.2 Solutions auto-similaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

9.5 Solution de l'equation de Hopf apres les chocs . . . . . . . . . . . 300

9.5.1 La transformation de Cole-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . 303

9.5.2 La formule de Lax-Oleinik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

9.5.3 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

9.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10 Equation de Schrodinger 321

10.1 Origines du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

10.2 Probleme de Cauchy et equation de Schrodinger . . . . . . . . . 325

10.3 Eets dispersifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

10.4 Transformation de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

10.4.1 La transformation de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . 335

10.4.2 Limite semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

10.4.3 Interpretation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

10.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

11 Equation des ondes 347

11.1 Origines du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

11.2 Le probleme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

11.2.1 Formulation au sens des distributions . . . . . . . . . . . 353

11.2.2 Solution elementaire dans le futur . . . . . . . . . . . . . 355

11.2.3 Existence et unicite de la solution . . . . . . . . . . . . . 358

11.3 Solution elementaire dans le futur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

viTABLE DES MATIERES

11.3.1 Le cas general en dimensionN2. . . . . . . . . . . . . 362

11.3.2 Le cas de la dimensionN= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 366

11.3.3 Le cas de la dimensionN= 3 : moyennes spheriques . . . 368

11.3.4 Le cas de la dimensionN= 2 : methode de descente . . . 371

11.4 Proprietes qualitatives de l'equation des ondes . . . . . . . . . . 374

11.4.1 Conservation de l'energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

11.4.2 Propagation a vitesse nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

11.4.3 Principe de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

11.5 Equation des ondes et transformation de Radon . . . . . . . . . . 380

11.5.1 La transformation de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . 380

11.5.2 Transformation de Radon et equation des ondes . . . . . 384

11.5.3 Transformation de Radon et scanner . . . . . . . . . . . . 386

11.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Bibliographie 393

Premiere partie

Distributions

1

Chapitre 1

FonctionsC1a support

compact Ce chapitre rassemble plusieurs resultats preliminaires indispensables pour developper la theorie des distributions. Apres quelques rappels de calcul dieren- tiel | principalement destines a xer les notations | on etudiera plus par- ticulierement les fonctions de classeC1sur un ouvert deRNet a support compact, ainsi que leurs premieres applications en Analyse | notamment a la localisation et la regularisation des fonctions.

1.1 Calcul dierentiel : rappels et notations

Soient

ouvert deRNet une applicationf: !RnouCndenie par f(x) = (f1(x1;:::;xN);:::;fn(x1;:::;xN)):

Rappelons que l'applicationfest de classeCpsur

| ce que l'on notef2 C p( ;Rn) ouf2Cp( ;Cn) | si toutes les derivees partielles d'ordre inferieur ou egal apdes fonctionsf1;:::;fnsont continues sur . L'espaceCp( ;R) | ouCp( ;C) selon le contexte | est noteCp( De facon plus generale, pourURN, on noteraCp(U;Rn) (resp.Cp(U;Cn)) l'ensemble des restrictions aUd'applications de classeCpsur un ouvert deRN contenantUet a valeurs dansRn(resp.Cn).

Lemme 1.1.1 (Schwarz)Soit

ouvert deRN. Si2C2( ), alors, pour tousk < l= 1;:::;N, on a 2@x k@xl=@2@x l@xksur Nous utiliserons systematiquement les notations suivantes pour les derivees partielles d'une fonctionfde classeC1sur , ouvert deRN: kf(x) ou@xkf(x) designe la derivee partielle@f@x k(x) 3

4CHAPITRE 1. FONCTIONSC1A SUPPORT COMPACT

pour toutk= 1;:::;N, ainsi que rf(x) ourxf(x) =0 B x1f(x) xNf(x)1 C A: Rappelons egalement que, pour tout champ de vecteurs de classeC1 V:

RN!RNou

est un ouvert deRN; on note divV(x) ou divxV(x) =NX k=1@ xkVk(x): Passons au cas des derivees partielles d'ordre superieur. On nomme \multi-indice" tout element= (1;:::;N)2NN. A tout multi-indice2NNon associe sa longueur jj=1+:::+N: Pour chaque multi-indice2NN, on note les derivees partielles iterees d'une fonctionfde classeC1sur comme suit : f(x) ou@xf(x) designe@jjf@x

11:::@xNN(x);

c'est-a-dire que f(x) ou@xf(x) =@1x1:::@NxNf(x):

Par analogie, pour toutx2RNet tout2NN, on note

x =x11:::xNN:

Notons encore, pour tout2NNet tout2NN

si et seulement sikkpourk= 1;:::;N :

On posera alors

ou ! =1!:::N!: Avec ces notations, on peut ecrire tres simplement (a) la formule du bin^ome : (x+y)=X x y;

1.1. CALCUL DIFF

ERENTIEL : RAPPELS ET NOTATIONS5

(b) la formule du multin^ome : (x1+:::+xN)k=X jaj=kk!!x; (c) et la formule de Leibnitz : pourf;g2Cp( ) etjj p (fg) =X f@g Rappelons une derniere notation que nous utiliserons frequemment par la suite : le laplacien d'une fonction de classeC2sur un ouvert deRNest fou xf(x) = div(rf(x)) =NX k=1@ 2x kf(x): Nous allons maintenant passer en revue (sans demonstration) plusieursenonces classiques du calcul dierentiel. Commencons par la formule de derivation des applications composees. On rappelle que, pour tout

RNouvert et toutf2C1(

;Rn), on a (f0(x))k=NX l=1@ xlfk(x)l; x2 ; 2RN;1kn:

Ainsi,f0est une application continue de

dans l'espaceL(RN;Rn) des appli- cations lineaires deRNdansRn. De plus, la matrice def0(x) dans les bases canoniques deRNetRnest, pour toutx2 (@xlfk(x))1kn 1jN c'est-a-dire la matrice anlignes etNcolonnes, dont l'element situe a lak-ieme ligne et lal-ieme colonne est@xlfk(x). Theoreme 1.1.2 (Derivation des applications composees)SoientUou- vert deRletVouvert deRm. Soientf2C1(U;Rm)etg2C1(V;Rn)telles quef(U)V. Alorsgf2C1(U;Rn)et on a (gf)0(x) =g0(f(x))f0(x)pour toutx2U : (La notationdesigne la composition d'application lineaires deRldansRmet deRmdansRn.) Les matrices de (gf)0(x), deg0(f(x)) et def0(x) dans les bases canoniques deRl,RmetRnsont donc reliees, pour toutx2U, par la formule (@xk(gf)i(x))1in

1kl= (@xjgi(f(x)))1in

1jm(@xkfj(x))1jm

1kl

6CHAPITRE 1. FONCTIONSC1A SUPPORT COMPACT

oudesigne le produit de matrices anlignes etmcolonnes par les matrices a mlignes etlcolonnes. Rappelons enn la formule de Taylor avec reste integral : (a) pourfonction de classeCp+1sur un intervalle ouvertIR: (b) =pX k=0(ba)kk!(k)(a) +Z b a(bt)pp!(p+1)(t)dt pour tousa;b2I; (b) pour une fonctionfde classeCp+1sur un ouvert RN: f(b) =X jjp(ba)!@f(a) + (p+ 1)X jj=p+1(ba)!Z 1 0 (1t)p@f(a+t(ba))dt; pour tousa;b2 tels que le segment [a;b] Pour demontrer cette derniere formule, on se ramene au cas a une variable en posant (t) =f(a+t(ba)); et on verie que (k)(t) =X jj=kk!!@f(a+t(ba))(ba):

1.2 Fonctions de classeC1a support compact

Rappelons la denition du support d'une fonction :

Denition 1.2.1Soit une fonctiondenie sur un espace topologiqueXet a valeurs dansRouC. Le support de la fonctionest supp() =fx2Xj(x)6= 0g: Les fonctions de classeC1a support compact jouent, en Analyse, plusieurs r^oles distincts, egalement importants : a) elles servent a localiser les fonctions sans en degrader les hypotheses de regularite 1; b) elles servent a approcher les fonctions localement integrables par des fonc-

tions de classeC1;1. Sauf l'analyticite, car, d'apres le principe des zeros isoles, il n'existe pas de fonction

analytique a support compact dans un ouvert deCqui ne soit pas identiquement nulle | cf. [6], Theoreme V.1.16, ou [9], chapitre X, Theoreme 6.1.3.

1.2. FONCTIONS DE CLASSEC1A SUPPORT COMPACT7ï㌩ï㈩ïㄩ

Figure1.1 { A gauche : graphe de la fonctionE. A droite : zoom sur la region du graphe correspondant ax= 0. c) enn, c'est a partir des fonctions de classeC1a support compact et par un procede de dualite que l'on va etendre le calcul dierentiel des fonctions aux distributions, qui sont des objets plus generaux que les fonctions. Commencons par construire des exemples de fonctions de classeC1a sup- port compact sur la droite reelle.

Considerons la fonction

E:R!Rdenie parE(x) =e1=xsix <0 etE(x) = 0 six0:

Il est clair queEest de classeC1surR; d'autre part, on montre que E (n)(x) =Pn1x e1=xpour toutx <0, ouPnest la suite de polyn^omes denis par la relation de recurrence P

0(X) = 1;

P n+1(X) =X2(P0n(X) +Pn(X)); n0:

On en deduit que

E (n)(x)!0 lorsquex!0pour toutn0 et donc queE2C1(R). D'autre part, le support deEestR. A partir de la fonctionE, on construit tres simplement une fonctionFde classeC1surRet a support dans un segment [a;b], oua < bsont deux reels quelconques : il sut de poser

F(x) =E(ax)E(xb) pour toutx2R

c'est-a-dire

F(x) =eba(bx)(xa)six2]a;b[;

F(x) = 0 six2] 1;a][[b;+1[:

8CHAPITRE 1. FONCTIONSC1A SUPPORT COMPACTï㈮〩ïㄮ㔩ïㄮ〩ï〮㔩

Figure1.2 { Graphe de la fonctionFpoura=1 etb= +1.

Il est clair queF2C1(R) et que supp(F) = [a;b].

On construit de m^eme un exemple de fonction de classeC1surRNet a support compact, en posant

G(x) =NY

k=1E(akxk)E(xkbk) pour toutx= (x1;:::;xN)2RN:(1.1) A nouveau, on verie sans peine queG2C1(RN) (par exemple en constatant queGadmet des derivees partielles continues a tout ordre et en tout point de R

N) et que supp(G) = [a1;b1]:::[aN;bN].

On obtient encore un autre exemple de fonction de classeC1a support compact surRNen posant

H(x) =E(jxj21);

c'est-a-dire

H(x) = 0 sijxj 1;

H(x) =e1jxj21sijxj<1:

Dans toute la suite, nous designerons systematiquement parjxjla norme euclidienne dex2RN, c'est-a-dire jxj=v uutN X k=1x 2k: La fonctionHest de classeC1surRNcomme composee de la fonctionE et de la fonctionRN3x7! jxj212R, toutes deux de classeC1; d'autre part, supp(H) =B(0;1) =fx2RNjjxj 1g:

1.2. FONCTIONS DE CLASSEC1A SUPPORT COMPACT9〩

Figure1.3 { CasN= 2,a1=a2=1 etb1=b2= +1. Graphe de la fonction (x;y)7!500G(x;y).

10CHAPITRE 1. FONCTIONSC1A SUPPORT COMPACTï㈮〩ïㄮ㔩ïㄮ〩ï〮㔩

Figure1.4 { Graphe de la fonctionIpoura=1 etb= +1. Un autre exemple important de fonction de classeC1dansRest la fonction

Idonnee par

I(x) =Z

x 1

F(z)dzZ

1 1

F(z)dz

ouFest la fonction denie ci-dessus. Remarquons que la fonction continueF verie

F >0 sur ]a;b[ de sorte queZ

1 1

F(z)dz >0:

La fonctionI2C1(R) satisfait donc les conditions suivantes :

0I1; I]1;a]= 0; I[b;+1[= 1;

oua < bsont les deux reels apparaissant dans la construction deFci-dessus. A partir de la fonctionI, en supposant que les parametresa;b >0, on construit tres simplement un exemple de fonctionJ2C1(RN) telle que supp(J)B(0;pb); JB(0;pa)= 1;0J1:

Il sut en eet de poser

J(x) = 1I(jxj2):

Notation 1.2.2Etant donne

RNouvert, on noteraCkc(

)| resp.C1c( C c( )| l'ensemble des fonctions de classeCk| resp. de classeC1, resp. continues | sur a valeurs dansRouCet dont le support est un compact inclus dans

1.3. R

EGULARISATION DES FONCTIONS11

1.3 Regularisation des fonctions

Le procede le plus courant de regularisation pour des fonctions localement integrables surRNutilise la notion de produit de convolution par une suite regularisante.

1.3.1 Convolution des fonctions

Le produit de convolution est une operation classique dans le cas des fonc- tions, que nous generaliserons ulterieurement au cas des distributions. Rappelons quelques resultats de base sur cette operation. Denition 1.3.1 (Convolution des fonctions)Deux fonctionsfetgdenies p.p. et mesurables surRNsont dites convolables si, pour presque toutx2RN, la fonction y7!f(xy)g(y)est integrable surRN: On denit alors le produit de convolution defet degpar la formule f ? g(x) :=Z R

Nf(xy)g(y)dyp.p. enx2RN:

Donnons quelques exemples de fonctions convolables.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13