Racine carrée - Free
Racine carrée A- Définition La racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté x dont le carré est égal à x Ainsi, pour tout réel positif x, x 2=x et x≥0 Attention : les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée, en effet leur carré est positif
Racines carrées I Définition : nombre positif
Remarque: On évite de laisser une racine carrée au dénominateur pour un résultat final : 5 5 8 5 8 5 4 2 5 2 2 5 2 8 8 8 8 8 8 4 uu u 2 2 8 8 4 8 7 32 8 7 32 8 7 8 4 7 474 7 4 7 47 16 7 9 u u u u (a + b)(a –b) = a² b²
LE PÉRIMÈTRE DE FIGURES SIMPLES MATHÉMATIQUES
est : a² + b² = c² Exemple : a² + b² = c² 4² + 3² = c² 16 + 9 = 25 Pour obtenir la mesure de c (l’hypoténuse), il faut extraire la racine carrée de 25 : 25=5 Donc c égale 5 Par contre, si l’on connaît la longueur de l’hypoténuse mais non la longueur d’un des
PATCHWORK – KALEIDOSCOPE
- Dans un triangle : a² + b² = c² Racine de 2 = 1,414 o Dans le cas d’un triangle isocèle où a = b, la formule devient : C² = 2a²
Méthode pratique pour factoriser un polynôme
Chercher si une valeur telle que -1 ou +1, ou autre annule le polynôme La racine trouvée a permet de mettre en facteur (x-a) ex : x2-6x-7 = (x-1)(x-7) Identitées Remarquables Pour tous nombres a et b : (a+b)² = a²+2ab+b² (a- b)² = a²-2ab+b² (a+b)(a-b) = a²-b² Règle des signes : Puissances, radicaux
Professeur COURS TCT BIOF Lycée Les ensembles des nombres
Soit x un nombre reel positif,la racine carree de x est le nombre positif dont le carre est egal à x a −b3 =(a−b)(a²+ab+b²) 6 7 Puissances de 10
Livret 3e 2010 11 pages-ordre croissant
•On fait apparaître un carré sous la racine carrée (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 etc voir ci-dessous) •On utilise la propriété de multiplication •Puis, on simplifie l’écriture •Ecrire B = − +2 24 150 54 sous la formea 6 2 4 6 25 6 9 6 2 4 6 25 6 9 6 2 2 6 5 6 3 6 (4 5 3) 6 2 6 B B B
Fiche de cours Maths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIR
4 a² ∆ 2a b ax² bx c a x 2 avec ∆=b² −4ac Racine de f(x) = 0 Factorisation Signe de f(x) ∆0 a deux racines distinctes 2a
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Racine carréeA- DéfinitionLa racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté xdont le carré est égal à x.
Ainsi, pour tout réel positif x,
x2=x et x≥0.Attention : les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée, en effet leur carré est positif.Les nombres dont la racine carrée est un entier sont les carrés parfaits; il est utile de lesreconnaître immédiatement : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, etc...En général on ne peut écrire que des valeurs approchées des racines carrées sous formedécimale. Ainsi :
2≈1,414; 3≈1,732; 5≈2,236B- Racines carrées et opérations 1- Propriété préliminaireDeux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux.DémonstrationSoient a et b deux réels positifs tels que a² = b².
On a alors a² - b² = 0, soit (a + b)(a - b) = 0. D'où les deux possibilités :-soit a + b = 0 et a = -b ce qui est impossible si a et b sont positifs-soit a - b = 0 et a = b.
2- PropriétésSoient a et b deux réels positifs. Comparons
ab et a×b.On a :
ab2 =ab en appliquant la définition des racines carrées, et a×b2 =a2×b2
=abOn en déduit que : ab=a×b.La racine carrée du produit de deux nombres positifs est le produit des racines carrées de cesnombres.On démontre qu'il en va de même pour les quotients.Si a et b sont deux nombres positifs avec b≠0, alors
a a b.AttentionIl n'y a pas de propriétés similaires pour l'addition et la soustraction.Le carré de
ab est a + b.Par contre le carré de
ab est ab2=a22 abb2=ab2 abComme les expressions
ab et ab n'ont en général pas le même carré, elles ne sont paségales. 3- Utilisation des carrés parfaitsSi a et b sont deux nombres positifs, on a l'égalité
a2b=ab.KB 1 sur 2
En effet, a2b=a2b=abCette égalité permet de transformer certaines racines carrées et parfois de les ajouter ou de lessoustraire en faisant apparaître un facteur commun.Etudions les nombres
12 et 27.En remarquant que 12 et 27 sont divisibles par des carrés parfaits (12 = 4 × 3 et 27 = 9 × 3),nous pouvons écrire :
12=4 ×3=4×3=2 3 et 27=9 ×3=9×3=3 3.
Ainsi, la somme de
12 et 27 est 1227=2 333=53.C- Dénominateurs rendus rationnelsLorsque des quotients contiennent des racines carrées au dénominateur, il peut être intéressantde les faire disparaître du dénominateur, par exemple pour effectuer des additions. On utilise pour cela la propriété de simplification des quotients : on ne change pas la valeurd'un quotient en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. 1- Premier casSoient a et b deux réels, b étant positif et non nul. On a alors l'égalité : a
b=a b b . Il a suffi de multiplier le numérateur et le dénominateur par b.Exemple
2=1 ×2 2×2=22- Deuxième casSoient a et b deux réels positifs différents. On a l'égalité :
ab=a-b a-b. Il a suffi de multiplier le numérateur et le dénominateur par a-b pour obtenir : ab=1 a-b a-b.L'idée est de faire apparaître l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a² - b² sous la forme