Fibonacci Numbers and the Golden Ratio
THE FIBONACCI SEQUENCE Problems for Lecture 1 1 The Fibonacci numbers can be extended to zero and negative indices using the relation Fn = Fn+2 Fn+1 Determine F0 and find a general formula for F nin terms of F Prove your result using mathematical induction 2 The Lucas numbers are closely related to the Fibonacci numbers and satisfy the
Chapter 2 Fibonacci Numbers - MathWorks
Let’s look carefully at fibonacci m It’s a good example of how to create a Matlab function The first line is function f = fibonacci(n) The first word on the first line says fibonacci m is a function, not a script The remainder of the first line says this particular function produces one output result, f, and takes one input argument, n
Institut Denis Poisson
Created Date: 11/3/2005 12:06:00 PM
Research Project: Fibonacci Numbers
Music - Bartok's Dance Suite Fibonacci's Rabbit Problem 7 Choose one of the following extension activities to include in your project: Find flowers images on the net that have a Fibonacci number of petals See how many of the Fibonacci numbers you can find, and display your images on a page with the number of petals
Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci - WordPresscom
3Nombres de Fibonacci On définit la suite (f n) des nombres de Fibonacci par : 8 >> >> < >> >>: f0 = 0 f1 = 1 f n+2 = f n+1 +f n pour tout n2N Théorème — Pour tout m>n, PGCD(f m;f n) = fPGCD(m;n) Démonstration Le principe est similaire à celui mis en oeuvre pour les nombres de Mersenne 2
Advanced Fibonacci Techniques & Studies
Fibonacci Clusters, High Percentage Reversals (HPR), and Energy Points 25 Fibonacci Precision Using Harmonic Wave ConvergenceTM 27 Get Free EUR/USD PitchFork Set-Ups 28 The “Rolling” Fibonacci, Market Turnover, and Shadow Bands 28 Candle Wick or Candle Close? 32 What is the Deal with the 50 Value? 33 Special Elliott Wave Projection
Anne Larue, « La suite Fibonacci dans la littérature
Anne Larue, « La suite Fibonacci dans la littérature populaire », colloque du Groupe Phi, dir Emmanuel Bouju, ENS Ulm, juin 2009 La suite Fibonacci dans la littérature pour la jeunesse et la littérature populaire Au sein d’un vaste corpus « littérature et mathématiques », je choisis ici
PROBLEME : QUELQUES RESULTATS SUR LA SUITE DE FIBONACCI n
PROBLEME : QUELQUES RESULTATS SUR LA SUITE DE FIBONACCI On définit la suite de Fibonacci (F n)n∈ par : F 0 = 0, F 1 = 1 et ∀n∈ , F n+2 = F n+1 + F n 1) Déterminer la liste des 10 premiers nombres de Fibonacci (de F 1 à F 10) Ecrire un programme Maple permettant de calculer le nième terme de la suite de Fibonacci
SUITES - bagbouton
Le travail préliminaire nous permet d’affirmer que la suite yn est une suite géométrique de raison a r r 1 2 et que la suite zn est une suite géométrique de raison a r r 2 1 On a donc , 11 1 1 1 0 2 n n u ru u ru r¥ n n et , 21 2 1 2 0 1 n
[PDF] trouver les racines d'un polynome de degré 2
[PDF] polynome degré n
[PDF] définition de la mobilisation
[PDF] factoriser un polynome de degré n
[PDF] polynome degré 2
[PDF] phyllotaxie spiralée
[PDF] définition société civile organisée
[PDF] comment expliquer l'abstention électorale
[PDF] mobilisation des civils première guerre mondiale
[PDF] implication des civils premiere guerre mondiale
[PDF] les civils victimes de la premiere guerre mondiale
[PDF] les conditions de vie des civils pendant la seconde guerre mondiale
[PDF] le fibroscope pour voir ? l'intérieur du corps correction
[PDF] exercice corrigé fibre optique ? saut d'indice
Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci
blogdemaths.wordpress.com 1Nombres de F ermat
On définit la suite (F
n) des nombres de Fermat par :8n2N;Fn= 22n+1Théorème - .Pour toutm >0,
F m= F0F1:::Fm1+2Démonstration.Le théorème est évidemment vrai sim= 1.Soitm >0.
F m+12 = 22m+11 = (22m)21 = (22m1)(22m+1) = (Fm2)FmDonc, par récurrence, si on suppose que F
m= F0F1:::Fm1+2 alors F m+1= (Fm2)Fm+2 (F0F1:::Fm1)Fm+2 = F0F1:::Fm1Fm+2
ce qui prouve le théorème.2Nombres de MersenneOn définit la suite (M
n) de nombres de Mersenne par :8n2N;Mn= 2n1Théorème - .Pour toutm > n,
PGCD(M
m;Mn) = MPGCD(m;n)Autrement dit, PGCD(2 m1;2n1) = 2PGCD(m;n)1. Démonstration.Sim > n, alors on peut faire la division euclidienne demparn: m=nq+ravecr < n blogdemaths.wordpress.com1Ainsi,
2 m1 = 2m2nq+2nq1 = 2 nq+r2qn+2qn1 = 2 qn2r2nq+2nq1 = 2 qn(2r1)+(2n)q1 = 2 qn(2r1)+(2n1)(1+2n+22n+:::+2(q1)n) Donc, M m= 2nqMr+Mn(1+2n+22n+:::+2(q1)n)Montrons alors que les diviseurs communs à M
met Mnsont identiques aux diviseurs communs à M net Mr. Sidest un diviseur commun à Mmet Mnalorsddivise MmMn(1+2n+22n+ :::+2(q1)n) = 2nqMr. Mais commeddivise le nombre Mnqui est impair,dne peut diviser 2 et donc nécessairement,ddivise Mr. Réciproquement, siddivise Mnet Mralorsddivise 2nqMr+Mn(1+2n+22n+ :::+2(q1)n) = Mm. Nous avons donc montré que les diviseurs communs de Mmet M nsont les mêmes que les diviseurs communs de Mnet Mr. D"où :PGCD(M
m;Mn) = PGCD(Mn;Mr) Si on considère la suite (rn) des restes successifs dans l"algorithme d"Euclide appliqué àmetn, et si on noterNle dernier reste non nul (qui se trouve être le PGCD demet n) alors :8>>>>>><>>>>>>:PGCD(M m;Mn) = PGCD(Mn;Mr0)PGCD(M
n;Mr0) = PGCD(Mr0;Mr1)PGCD(M
rN1;MrN) = PGCD(MrN;M0) Or, M0= 0 donc PGCD(Mm;Mn) = PGCD(MrN;M0) = MrN= MPGCD(m;n). CQFD.3Nombres de F ibonacci
On définit la suite (fn) des nombres de Fibonacci par :8>>>><>>>>:f
0= 0 f 1= 1 f n+2=fn+1+fnpour toutn2NThéorème - .Pour toutm > n,PGCD(fm;fn) =fPGCD(m;n)Démonstration.Le principe est similaire à celui mis en oeuvre pour les nombres de
Mersenne.
2Etape 1 :
On commence par montrer l"égalité suivante :8u;v >0;fu+v=fufv+1+fu1fv(1)
On fixevet on fait une récurrence suru.
Siu= 1,fufv+1+fu1fv= 1fv+1+0fv=f1+v
On suppose l propriété vraie au rangu.
f u+1+v=fu+(v+1) =fufv+2+fu1fv+1 =fu(fv+1+fv)+fu1fv+1 = (fu+fu1)fv+1+fufv =fu+1fv+1+fufv CQFD.Etape 2 :
On montre par récurrence que pour tout entierv >0 et tout entier naturelq,fvdivise f qv(la récurrence est faite surq) : Siq= 0, le résultat est évident carfvdivisef0= 0. On suppose quefvdivisefqv. D"après l"égalité (1), on a : f (q+1)v=fqv+v =fqvfv+1+fqv1fv et commefvdivisefqvetfv, il divisefqvfv+1+fqv1fvdoncf(q+1)v.Etape 3 :
On montre que deux nombres de Fibonacci consécutifs sont premiers entre eux, c"est-à-dire que pour tout entier natureln, PGCD(fn;fn+1) = 1. C"est vrai sin= 0 car PGCD(f0;f1) = PGCD(0;1) = 1.On suppose que PGCD(fn;fn+1) = 1.
Sidest un diviseur commun àfn+1etfn+2alorsddivisefn+2fn+1=fn. Ainsi, dest un diviseur commun àfn+1etfndoncd= 1 (car par hypothèse de récur- rence, le plus grand diviseur commun àfn+1etfnest 1).Etape 4 :
A présent, passons à la démonstration du théorème à proprement parler. Soitm > n. On commence par effectuer la division euclidienne demparn: m=nq+ravecr < n En appliquant l"égalité (1) démontrée précédemment àu=nqetv=r, on obtient : f m=fnq+r =fnqfr+1+fnq1frComme pour les nombres de Mersenne, on montre que les diviseurs commun àfmetfnsont identiques aux diviseurs commun àfnetfr:
3 Siddivisefmetfnalors il divisefmetfnq(voir étape 2) donc il divisefm f nqfr+1=fnq1fr. Mais commefnqetfnq1sont consécutifs, ils sont premiers entre eux (étape 3), donc, puisqueddivisefnq, il est lui aussi premierfnq1. Mais puisqueddivise le produitfnq1fr, c"est qu"il divisefr. Réciproquement, siddivisefnetfr, alorsddivisefnq(étape 2) et donc il divise f nqfr+1+fnq1fr=fm. On en déduit que PGCD(fm;fn) = PGCD(fn;fr) et le même raisonnement utilisant l"algorithme d"Euclide que celui effectué pour les nombres de Mersenne montre que : PGCD(fm;fn) = PGCD(frN;f0) = PGCD(fPGCD(m;n);0) =fPGCD(m;n)4quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22