[PDF] Exo7 - Cours de mathématiques

POLYNOMES

n, ( ) 1, 01 n a n + tels que an 0 et ( ) 01 0 n nk nk k x f x a a x a x a x = = + + + = L’entier naturel n est appelé le degré de la fonction polynomiale f et est noté gf Par convention le degré de la fonction nulle est Une fonction polynomiale distincte de la fonction nulle est donc entièrement déterminée par la suite (01 ,) n a

Exo7 - Cours de mathématiques

4 est un polynôme de degré 3 – Xn ¯1 est un polynôme de degré n – 2 est un polynôme constant, de degré 0 1 2 Opérations sur les polynômes –Égalité Soient P ˘anXn¯an¡1Xn¡1¯¢¢¢¯a1X¯a0 et Q ˘bnXn¯bn¡1Xn¡1¯¢¢¢¯b1X¯b0 deux polynômes à coefficients dans K P ˘Q ssi ai ˘bi pour tout i et on dit que P et Q

TD n 15: Polynômes

2 Pour tout entier n, déterminer le degré et le coefficient dominant de Pn 3 Montrer que la famille ainsi définie satisfait la relation suivante ∀n ∈ N,∀x ∈ R,Pn(cosx)=cos(nx) 4 Montrer que Pn a n racines réelles distinctes, toutes comprises entre -1 et 1 On donnera l’ensemble de ces racines 5 En déduire la factorisation

Chapitre 12 : Polynômes - wwwnormalesuporg

kX=n k=0 a kX k un polynôme, avec a n 6= 0 Les nombres a k sont appelés coef-ficientsdu polynôme P, l’entier ndegréde P (souvent noté d˚(P)), le coefficient correspondant a n estlecoefficientdominantdeP Sicecoefficientestégalà1,onditqueP estunpolynôme unitaire Remarque 1 Par convention, le polynôme nul a pour degré 1

Chapitre 21 - Polynômes - résumé

PCSI2 N Véron-LMB-mars 2021 Chapitre 21 - Polynômes - résumé Dans ce chapitre, désigne ou 1 L’ensemble [X] 1 1 Définition formelle des polynômes à coefficient dans

Les polynômes - AlloSchool

polynôme de degré 3 On note deg (V) = 3 Les réels 1, 8, 15,0 sont appelés coefficients du Polynôme V(x) 8x2 est un monôme de degré 2 et de coefficient 8 x3 est un monôme, de degré 3 et de coefficient 1 15x est un monôme, de degré 1 et de coefficient 15 b) Soient Un polynôme est une somme de monômes

TPN3 MatLab : Les Polynômes et les Fonctions

n sont les coe cients du polynôme fp xq a une aleurv numérique pour chaque aleurv numérique de x Les racines de fp xq sont les aleursv de x qui rendent fp xq 0 1 2 Représentation des polynômes Dans Matlab, un polynôme est représenté par un vecteur ligne de ses coe -cients Si le polynôme de degré n, pp xq a n xn a n 1 xn 1::: a 1 x a 0

Chapitre 15 : Polynômes - Lycée Faidherbe de Lille

PCSI 2 PréparationdesKhôlles 2013-2014 donc puisque an=0, on a n(n−1)−6=0, ce qui donne n =−2ou n =3 L’entier n étant positif, le degré de P est n =3 Puis on pose P =aX3+bX2+cX +d, alors

SERIE D’EXER I ES: Polynôme -Equations-Inéquations-Systèmes

n n n ( ) ( ) ( ) 3) Déduire des résultats ci-dessus que Px n est un polynôme de degré n Exercice 2 : Prouver que le polynôme : P x x x x x() 4 3 24 12 16 16 est le carré d’un polynôme que l’on déterminera Exercice 3 : 1) Soit P(x) un polynôme de degré n Quel est le degré du polynôme : Q x P x P x( ) ( ) ( ) 1

MPSI 2020 – 2021 Devoir maison n 11 Option no 1 (plus

n 1 Pour tout n2N, déterminer le degré de P nainsi que son coefficient dominant 2 Soit n2N a) Montrer que P nvérifie : 8 2R;P n(cos ) = cos(n ) b) Montrer que P nest l’unique polynôme de R[X] vérifiant le relation de la question précédente 3 Soit n2N Déterminer toutes les racines de P ndans [1;1] 4 En déduire que pour

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PolynômesExo7

MotivationLes polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Vous savez

déjà résoudre les équations de degré 2 :aX2ÅbXÅcAE0. Savez-vous que la résolution des équations

de degré 3,aX3ÅbX2ÅcXÅdAE0, a fait l"objet de luttes acharnées dans l"Italie duXVIesiècle?

Un concours était organisé avec un prix pour chacune de trente équations de degré 3 à résoudre.

Un jeune italien, Tartaglia, trouve la formule générale des solutions et résout les trente équations

en une seule nuit! Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée

quelques années plus tard comme la " méthode de Cardan ».

Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l"arithmé-

tique des polynômes. Il y a une grande analogie entre l"arithmétique des polynômes et celles des

entiers. On continue avec un théorème fondamental de l"algèbre : " Tout polynôme de degrén

admetnracines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitreKdésignera l"un des corpsQ,RouC. 1.

Définitions

1.1.

Définitions Définition 1

Unpolynômeà coefficients dansKest une expression de la forme avecn2Neta0,a1,...,an2K.

L"ensemble des polynômes est notéK[X].

-Lesaisont appelés lescoefficientsdu polynôme. -Si tous les coefficientsaisont nuls,Pest appelé lepolynôme nul, il est noté 0. On appelle ledegrédePle plus grand entieritel queai6AE0; on le notedegP. Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0)AE¡1. Un polynôme de la formePAEa0aveca02Kest appelé unpolynôme constant. Si a06AE0, son degré est 0.1 2

Exemple 1

-X3¡5XÅ34 est un polynôme de degré 3. -XnÅ1 est un polynôme de degrén. -2 est un polynôme constant, de degré 0.1.2.Opérations sur les polynômes

Égalité. SoientPAEanXnÅan¡1Xn¡1Å¢¢¢Åa1XÅa0etQAEbnXnÅbn¡1Xn¡1Å¢¢¢Åb1XÅb0

deux polynômes à coefficients dansK.

PAEQssiaiAEbipour touti

et on dit quePetQsont égaux.

Addition.

On définit :

Multiplication.

¢¢¢Åb1XÅb0. On définit

iÅjAEka ibjpourk2{0,...,r}.

Multiplication par un scalaire.

Si¸2Kalors¸¢Pest le polynôme dont lei-ème coefficient est¸ai.Exemple 2

SoientPAEaX3ÅbX2ÅcXÅdetQAE®X2ůXÅ°. AlorsPÅQAEaX3Å(bÅ®)X2Å(ců)XÅ

EnfinPAEQsi et seulement siaAE0,bAE®,cAE¯etdAE°. La multiplication par un scalaire¸¢Péquivaut à multiplier le polynôme constant¸par le polynômeP.L"addition et la multiplication se comportent sans problème :

Proposition 1

PourP,Q,R2K[X] alors

-0ÅPAEP,PÅQAEQÅP, (PÅQ)ÅRAEPÅ(QÅR); -1¢PAEP,P£QAEQ£P, (P£Q)£RAEP£(Q£R); -P£(QÅR)AEP£QÅP£R.Pour le degré il faut faire attention : 3

Proposition 2

SoientPetQdeux polynômes à coefficients dansK.

deg(P£Q)AEdegPÅdegQdeg(PÅQ)Émax(degP,degQ)On noteRn[X]AE©P2R[X]jdegPÉnª. SiP,Q2Rn[X] alorsPÅQ2Rn[X].

1.3.

V ocabulaire

Complétons les définitions sur les polynômes.Définition 2 -Les polynômes comportant un seul terme non nul (du typeakXk) sont appelésmo- nômes.

SoitPAEanXnÅan¡1Xn¡1Å¢¢¢Åa1XÅa0,un polynôme avecan6AE0. On appelleterme

dominant le monômeanXn. Le coefficientanest appelé lecoefficient dominantde P. -Si le coefficient dominant est 1, on dit quePest unpolynôme unitaire.Exemple 3 P

(X)AE(X¡1)(XnÅXn¡1Å¢¢¢ÅXÅ1). On développe cette expression :P(X)AE¡XnÅ1ÅXnÅ

1¢AEXnÅ1¡1.P(X) est donc un polynôme de degrénÅ1,

il est unitaire et est somme de deux monômes :XnÅ1et¡1.Remarque Tout polynôme est donc une somme finie de monômes.Mini-exercices 1. SoitP(X)AE3X3¡2,Q(X)AEX2ÅX¡1,R(X)AEaXÅb. CalculerPÅQ,P£Q, (PÅQ)£R etP£Q£R. Trouveraetbafin que le degré deP¡QRsoit le plus petit possible. 2.

Calculer ( XÅ1)5¡(X¡1)5.

3. Déterminer le degré de ( X2ÅXÅ1)n¡aX2n¡bX2n¡1en fonction dea,b. 4. Montrer que sidegP6AEdegQalorsdeg(PÅQ)AEmax(degP,degQ). Donner un contre- exemple dans le cas où degPAEdegQ. 5.

Montrer que siP(X)AEXnÅan¡1Xn¡1Å¢¢¢alors le coefficient devantXn¡1deP(X¡an¡1n)

est nul. 4 2.

Arithmétique des polynômes Il existe de grandes similarités entre l"arithmétique dansZet l"arithmétique dansK[X]. Cela nous

permet d"aller assez vite et d"omettre certaines preuves. 2.1.

Division euclidienne Définition 3

SoientA,B2K[X], on dit queBdiviseAs"il existeQ2K[X] tel queAAEBQ. On note alors BjA.On dit aussi queAest multiple deBou queAest divisible parB. Outre les propriétés évidentes commeAjA, 1jAetAj0 nous avons :Proposition 3

SoientA,B,C2K[X].

1. 2.

Si AjBetBjCalorsAjC.

3.

Si CjAetCjBalorsCj(AUÅBV), pour toutU,V2K[X].Théorème 1. Division euclidienne des polynômes

SoientA,B2K[X], avecB6AE0, alors il existe un unique polynômeQet il existe un unique polynômeRtels que :

AAEBQÅRet degRÇdegB.Qest appelé lequotientetRleresteet cette écriture est ladivision euclidiennedeAparB.

Notez que la condition degRÇdegBsignifieRAE0 ou bien 0ÉdegRÇdegB.

EnfinRAE0 si et seulement siBjA.Démonstration

Unicité.

SiAAEBQÅRetAAEBQ0ÅR0, alorsB(Q¡Q0)AER0¡R. Ordeg(R0¡R)ÇdegB. DoncQ0¡QAE0.

AinsiQAEQ0, d"où aussiRAER0.

Existence.On montre l"existence par récurrence sur le degré deA. SidegAAE0 etdegBÈ0, alorsAest une constante, on poseQAE0 etRAEA. SidegAAE0 et degBAE0, on poseQAEA/BetRAE0.

On suppose l"existence vraie lorsquedegAÉn¡1. SoitAAEanXnÅ¢¢¢Åa0un polynôme de degré

n(an6AE0). SoitBAEbmXmÅ¢¢¢Åb0avecbm6AE0. SinÇmon poseQAE0 etRAEA.

SinÊmon écritAAEB¢anb

mXn¡mÅA1avecdegA1Én¡1. On applique l"hypothèse de récurrence àA1: il existeQ1,R12K[X] tels queA1AEBQ1ÅR1et degR1ÇdegB. Il vient :

AAEBµanb

ÅR1.

DoncQAEanb

mXn¡mÅQ1etRAER1conviennent. 5

Exemple 4On pose une division de polynômes comme on pose une division euclidienne de deux entiers.

Par exemple siAAE2X4¡X3¡2X2Å3X¡1 etBAEX2¡XÅ1. Alors on trouveQAE2X2ÅX¡3

etRAE¡XÅ2. On n"oublie pas de vérifier qu"effectivementAAEBQÅR.2X4¡X3¡2X2Å3X¡1X

X

3¡4X2Å3X¡1X

3¡X2ÅX¡

¡3X2Å2X¡1¡3X2Å3X¡3¡

¡XÅ2Exemple 5

PourX4¡3X3ÅXÅ1 divisé parX2Å2 on trouve un quotient égal àX2¡3X¡2 et un reste

égale à 7XÅ5.X

4¡3X3ÅXÅ1X

2Å2X

2¡3X¡2X

4Å2X2¡

¡2X2Å7XÅ1¡2X2¡4¡

7XÅ52.2.pgcd

Proposition 4

SoientA,B2K[X], avecA6AE0 ouB6AE0. Il existe un unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la foisAetB. Cet unique polynôme est appelé lepgcd(plus grand commun diviseur) deAetBque l"on note pgcd(A,B). 6

Remarque

-pgcd(A,B) est un polynôme unitaire. -SiAjBetA6AE0, pgcd(A,B)AE1¸

A,où¸est le coefficient dominant deA.

-Comme pour les entiers : siAAEBQÅRalorspgcd(A,B)AEpgcd(B,R). C"est ce qui justifie l"algorithme d"Euclide.Algorithme d"Euclide.SoientAetBdes polynômes,B6AE0. On calcule les divisions euclidiennes successives,

AAEBQ1ÅR1degR1ÇdegB

BAER1Q2ÅR2degR2ÇdegR1

R

1AER2Q3ÅR3degR3ÇdegR2...

R R k¡1AERkQkÅ1

Le degré du reste diminue à chaque division. On arrête l"algorithme lorsque le reste est nul. Le

pgcd est le dernier reste non nulRk(rendu unitaire).Exemple 6 Calculons le pgcd deAAEX4¡1 etBAEX3¡1. On applique l"algorithme d"Euclide : X

4¡1AE(X3¡1)£XÅX¡1

X

3¡1AE(X¡1)£(X2ÅXÅ1)Å0

Le pgcd est le dernier reste non nul, donc pgcd(X4¡1,X3¡1)AEX¡1.Exemple 7 Calculons le pgcd deAAEX5ÅX4Å2X3ÅX2ÅXÅ2 etBAEX4Å2X3ÅX2¡4. X X (3XÅ4)¡149 (X2ÅXÅ2)

Ainsi pgcd(A,B)AEX2ÅXÅ2.Définition 4

SoientA,B2K[X]. On dit queAetBsontpremiers entre euxsi pgcd(A,B)AE1. PourA,Bquelconques on peut se ramener à des polynômes premiers entre eux : sipgcd(A,B)AED alorsAetBs"écrivent :AAEDA0,BAEDB0avec pgcd(A0,B0)AE1. 2.3.

Théorème de Bézout

7

Théorème 2. Théorème de BézoutSoientA,B2K[X] des polynômes avecA6AE0 ouB6AE0. On noteDAEpgcd(A,B). Il existe deux

polynômesU,V2K[X] tels queAUÅBVAED.

Ce théorème découle de l"algorithme d"Euclide et plus spécialement de sa remontée comme on le

voit sur l"exemple suivant.Exemple 8 Nous avons calculé pgcd(X4¡1,X3¡1)AEX¡1. Nous remontons l"algorithme d"Euclide, ici il

n"y avait qu"une ligne :X4¡1AE(X3¡1)£XÅX¡1, pour en déduireX¡1AE(X4¡1)£1Å(X3¡

1)£(¡X). DoncUAE1 etVAE¡Xconviennent.Exemple 9

PourAAEX5ÅX4Å2X3ÅX2ÅXÅ2 etBAEX4Å2X3ÅX2¡4 nous avions trouvéDAEpgcd(A,B)AE X

2ÅXÅ

2. En partant de l"avant dernière ligne de l"algorithme d"Euclide on a d"abord :

BAE(3X3Å2X2Å5X¡2)£19

(3XÅ4)¡149 Ddonc 149

DAEB¡(3X3Å2X2Å5X¡2)£19

(3XÅ4).

La ligne au-dessus dans l"algorithme d"Euclide était :AAEB£(X¡1)Å3X3Å2X2Å5X¡2. On

substitue le reste pour obtenir : 149

DAEB¡¡A¡B£(X¡1)¢£19

(3XÅ4).

On en déduit

¡149

DAE¡A£19

(3XÅ4)ÅB¡1Å(X¡1)£19 (3XÅ4)¢

Donc en posantUAE114(3XÅ4) etVAE¡114

¡9Å(X¡1)(3XÅ4)¢AE¡114(3X2ÅXÅ5) on aAUÅBVAE D.Le corollaire suivant s"appelle aussi le théorème de Bézout.

Corollaire 1

SoientAetBdeux polynômes.AetBsont premiers entre eux si et seulement s"il existe deux polynômesUetVtels queAUÅBVAE1.Corollaire 2 SoientA,B,C2K[X] avecA6AE0 ouB6AE0. SiCjAetCjBalorsCjpgcd(A,B). 8

Corollaire 3. Lemme de Gauss

SoientA,B,C2K[X]. SiAjBCet pgcd(A,B)AE1 alorsAjC.2.4.ppcm

Proposition 5SoientA,B2K[X] des polynômes non nuls, alors il existe un unique polynôme unitaireMde

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