Exercices supplémentaires – Dérivation
Exercice 3 1) Etablir la relation ' ' ˇ 'ˇ' pour tous réels et ' 2) En déduire une factorisation de 2ˇˆ 8 3) Déterminer le nombre dérivée de la fonction cube en 2 Exercice 4 On considère la fonction racine carrée définie sur )0;ˇ∞) 1) Vérifier que pour ˆ$0, 1ˇˆ 1 ˆ 1 √1ˇˆˇ1
Terminale S - Continuité et dérivabilité - Exercices
Exercice 10 Exercice 11 Soit f la fonction définie par : f (x)=√x2−x3 1 Déterminer l’ensemble de définition Df de f 2 Démontrer que f est continue sur Df 3 Etudier la dérivabilité de f en 0
Primitives EXOS CORRIGES - Free
Exercice n°1 Dérivée et primitives 1) Calculez la dérivée de la fonction f définie par f ()xx=33 −9x+1 2) Déduisez-en deux primitives de la fonction g définie par gx()=9x2 −9 3) Déterminer le sens de variation de f sur \ Exercice n°2 à 11 – Primitives sans fonction logarithme
Fonction dérivée dune fonction Corrigé exercices
Fonction dérivée d'une fonction Corrigé exercices fon_deri_c_ex1 Recherche des extremums de la fonction h définie sur [ 4 ; 1] par h(x) = 0,2 x3 + x² + 2 h'(x) = 0,6 x² + 2 x = 2 x ( 0,3 x + 1) La dérivée s'annule pour les valeurs x1 = 0 et x2 = 3 10 − x 4 3 10
EXERCICES Fonctions Trigonométriques TS
2- Calculer la dérivée S ' de la fonction S puis démontrer que S' x =–2sin2x–sinx 1 3-Etudier le signe de S ' pour x∈[0; 2] (on pourra poser X=sinx et utiliser l'exercice d'échauffement) 4-Dresser le tableau de variations de la fonction S sur l'intervalle [0; 2] 5-Tracer la représentation graphique de la fonction S
`ere S `a la TS Chapitre 4 : Etudes de fonctions´
de la 1`ere S `a la TS Chapitre 4 : Etudes de fonctions´ Exercice n˚1: On donne la fonction f d´efinie sur R par : f(x) = −x4 +2x2 + 1 On appelle Γ la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere orthonorm´e (O;~ı,~ ) 1 Etudier la parit´e de´ f 2 D´eterminer les limites de f aux bornes de son domaine de d´efinition 3
Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S
Certains passages vont au-delà des objectifs exigibles du programme de terminale S Le programme complet (B O spécial n°8 du 13/10/2011) indique clairement qu’on ne saurait se restreindre aux capacités minimales attendues Notations Une expression en italique indique une définition ou un point important Logiciels
Cours de Mathématiques TS - LeWebPédagogique
Exercice 1 Montrer que l’on détermine ainsi les n valeurs distinctes de la suite u Définition 1 1 Les solutions de l’équation (1)sont appelées racines nième de z ☞ Remarque Si n =2, on parle de racines carrées Si n =3, on parle de racines cubiques Exercice 2 Déterminer les racines cubiques de -8 1 2 Représentation
1S1 : DEVOIR SURVEILLÉ N°8 (2 heures) - Free
La somme S = u50 + u51 + + u100 contient donc N = 100 − 50 + 1 = 51 termes En outre, S est une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison r = 8 Nous pouvons donc utiliser la formule : S = NP(+D) 2 Avec P = u50 = 406 et D = u100 = 806, nous obtenons : S = 51406 806 2 ( + ) = 30906 Exercice 3
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de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions
Exercice n°1:
On donne la fonctionfd´efinie surRpar :f(x) =-x4+ 2x2+ 1. On appelle Γ la courbe repr´esentative defdans un rep`ere orthonorm´e (O;?ı,??) . 1.´Etudier la parit´e def.
2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition.
3. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.
4. Dresser le tableau de variations def.
5. Tracer la courbe repr´esentative def.
Corrig´e
Exercice n°2:
Soit la fonction d´efinie surR- {1}, parf(x) =x2+x+ 1x-1. On note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. Montrer que (Cf) admet un centre de sym´etrie en un point d"abscisse 1.
2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition. Que peut-on
en d´eduire pour (Cf)?3. D´eterminer trois r´eelsa, betctels que :f(x) =ax+b+x
x-1.4. En d´eduire l"existence d"une asymptote oblique pour (Cf) en +∞.
5. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.
6. Dresser le tableau de variation def.
7. Tracer (Cf).
Corrig´e
Exercice n°3:
On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =3x2+ 2x-3, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDfde la fonctionf.
2. Montrer que la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).
Dans la suite de l"exercice, la fonctionfsera ´etudi´ee sur [-1;1[?]1;+∞[.3. D´eterminer les limites en 1 et la limite en +∞. Que peut-on en d´eduire pour (Cf)?
4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.
5. Dresser le tableau de variations def.
6. Tracer (Cf).
Corrig´e
L.BILLOT 1DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctionsExercice n°4:
On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =x2x2-2x+ 2, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.
2. D´eterminer les limites defaux bornes du domaine, en d´eduire l"existence d"une
asymptote horizontale (Δ) pour (Cf). 3. ´Etudier les positions relatives de (Cf)et de (Δ).4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.
5. Dresser le tableau de variations def.
6. Tracer (Cf).
Corrig´e
Exercice n°5:
On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =2x3+ 272x2et on note (Cf) sa courbe repr´e- sentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. D´eterminer l"ensemble de d´efinitionDfdef.
2. D´eterminer les limites defaux bornes de son ensemble de d´efinition.
3. Montrer que la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞
et en-∞.4. (a) Justifier l"´equivalence :x?3?x3?27.
(b) Calculer la fonction d´eriv´ee def. (c)´Etudier le signe def?.
5. Dresser le tableau de variations def.
6. Tracer la courbe repr´esentative def.
Corrig´e
Exercice n°6:
On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) = cos2x-2cosxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. (a) Montrer quefest 2π-p´eriodique.
(b) Montrer quefest paire.2. (a) Montrer que la fonction d´eriv´ee defs"´ecrit :f?(x) = 2sinx(1-2cosx).
(b)´Etudier le signe def?sur [0;π].
3. Dresser le tableau de variations defsur [0;π].
4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π.
Corrig´e
L.BILLOT 2DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctionsExercice n°7:
On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) =sinx1-sinxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. Montrer quefest d´efinie ssix?=π
2+ 2kπaveck?Z.
2. Montrer quefest 2π-p´eriodique.
Pour la suite de l"exercice, on ´etudiera la fonction sur l"intervalle? -3π2;π2?
3. D´eterminer les limites defen :
(a)-3π2par valeurs sup´erieures,
(b)2par valeurs inf´erieures,
4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.
5. Dresser le tableau de variations def
6. Tracer (Cf) sur?
-3π2;5π2?
Corrig´e
Exercice n°8:
On donne la fonctionfd´efinie surRparx2-|x|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. Montrer quefest paire.
2. Donner l"expression defsans valeur absolue surR+puis surR-.
3.´Etudier la d´erivabilit´e defen 0.
4.´Etudier la fonctionfsurR+.
5. Tracer (Cf) surR.
Corrig´e
Exercice n°9:
On donne la fonctionfd´efinie surRparx-?|x-1|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.1. Donner l"expression defsans valeur absolue sur [1;∞[ et sur ]- ∞;1].
2.´Etudier la d´erivabilit´e defen 1.
3.´Etudier la fonction sur ]- ∞;1].
4.´Etudier la fonction sur [1;+∞[.
5. Dresser le tableau de variations defsurR.
6. Tracer la courbe (Cf).
Corrig´e
L.BILLOT 3DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions D´efinition :soitxun nombre r´eel, on appelle partie enti`ere dexet on noteE(x), le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `ax.Exemples :
E(5,4) = 5E(⎷
2) = 1E(4) = 4E(-2,5) =-3.
Exercice n°10:
Tracer la courbe repr´esentative de la fonction partie enti`ere :x?→E(x) sur l"intervalle [-3,3[.Corrig´e
Exercice n°11:
On d´efinit surRla fonctionfpar :f(x) =x-E(x).
1. Montrer queEest p´eriodique de p´eriode 1.
2. Donner l"expression defsur [0,1[ puis sur [1,2[.
3. Tracer la courbe repr´esentative defsur [-3,3[.
Corrig´e
L.BILLOT 4DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctionsExercice n°1:
1. Pour toutx?R,-x?R. (On peut aussi dire que le domaine de d´efinition est
centr´e en 0.) soitx?R,f(-x) =-(-x)4+2(-x)2+1 =-x4+2x2+1 =f(x), doncfest paire2. lim
x→+∞f(x) = limx→+∞-x4=-∞et par sym´etrie : limx→-∞f(x) =-∞.
3.fest d´erivable surRet pour toutx?R, on a :f?(x) =-4x3+ 4x= 4x(1-x2).
D"une part 4x?0?x?0, d"autre part 1-x2?0?x?[-1;1] (r`egle du signe du trinˆome), ce qui donne : x0 1 +∞ 4x0++1-x2+0-
f?(x)0+0-4.x0 1 +∞
f?(x)0+0- 2 f(x)1-∞
5. 123-1 -2 -3 -4 -51 2 3 4-1-2-3-4-5 Dans un graphique doivent apparaˆıtre toutes les droites dont il a ´et´e question dans le sujet, auquel s"ajoutent les tangentes horizontales.
Retour
L.BILLOT 5DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctionsExercice n°2:
1. Le domaine de d´efinition est centr´e en 1, de plus pour touth?= 0, on a :
12[f(1 +h) +f(1-h)] =12?
(1 +h)2+ (1 +h) + 11 +h-1+(1-h)2+ (1-h) + 11-h-1? 1 2?3 + 3h+h2h+3-3h+h2-h?
1 2?3 + 3h+h2-3 + 2h-h2h?
=12×6hh= 3 Donc le point Ω de coordonn´ees (1;3) est centre de sym´etriede (Cf).2.limx→+∞f(x) = limx→+∞x
2 x= limx→+∞x= +∞et par sym´etrie, limx→-∞f(x) =-∞.limx→1(x2+x+ 1) = 3 et lim
x >→1x-1 = 0+, donc lim x >→1f(x) = +∞, et par sym´etrie : lim x <→1f(x) =-∞.3. Pour toutx?= 1,ax+b+c
x-1=(ax+b)(x-1) +cx-1=ax2+ (b-a)x+c-bx-1, en identifiant le num´erateur de cette fraction avec celui def(x), on obtient :???a= 1 b-a= 1 c-b= 1????a= 1 b= 2 c= 3, doncf(x) =x+ 2 +3 x-1.4. lim
x→+∞3 x-1= 0, donc limx→+∞(f(x)-(x+2)) = 0 et la droite (d) d"´equationy=x+2 est asymptote `a la courbe en +∞. Puisque Ω?(d), nous pouvons d´eduire que (d) est aussi asymptote `a (Cf) en-∞.5. Pourx?= 1,fest d´erivable comme quotient de deux polynˆomes, et :
f ?(x) =(2x+ 1)(x-1)-(x2+x+ 1) (x-1)2=x2-2x-2(x-1)2. Pour toutx?= 1,(x-1)2>0, doncf?(x) est du signe dex2-2x-2, polynˆome ayant pour racines 1-⎷3 et 1 +⎷3 qui, d"apr`es la r`egle du signe du trinˆome est
positif ssix?]- ∞;1-⎷3[?]1 +⎷3;+∞[.
6. x-∞1-⎷3 1 1 +⎷3 +∞ f?(x)+0--0+3-2⎷3+∞+∞
f(x) -∞ -∞3 + 2⎷3Remarque : il ´etait possible de ne faire que
la moiti´e du tableau de variations.2468 -2 -4 -62 4 6-2-4-6Retour
L.BILLOT 6DDL
de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctionsExercice n°3:
1.fest d´efinie ssix2+ 2x-3?= 0 ssix?= 1 etx?=-3, doncDf=R- {-3;1}.
2.Dfest sym´etrique par rapport `a 1, et pour touth?=±2, on a :
f(-1 +h) =3 (-1 +h)2+ 2(-1 +h)-3=3h2-4, etf(1 +h) =3 (1 +h)2+ 2(1 +h)-3=3h2-4. Doncf(-1+h) =f(-1-h) et la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).3.lim
x <→1x2+ 2x-3 = 0-, donc lim x <→1f(x) =-∞, d"autre part :lim x >→1x2+ 2x-3 = 0+, donc lim x >→1f(x) = +∞. (Cf) admet une asymptote verticale d"´equationx= 1.Remarque : Le signe (0
+ou 0-) est facile `a d´eterminer ici, cela serait plus com- pliqu´e avec par exemple :x2-2x.limx→+∞x2+ 2x-3 = +∞, donc limx→+∞f(x) = 0, (Cf) admet une asymptote hori-
zontale d"´equationy= 0 en +∞.