T D n 1 Les méthodes d’échantillonnage Correction

Exercice 4 En utilisant l’approximation de Fisher Calculer la valeur de k 1 telle que : P(x 2 (60) k)=0,0708 44

CORRIGE DES EXERCICES : Distributions déchantillonnage

Exercice 1 P={élèves du secondaire} X= résultat de fluidité au test de pensée Créative de Torrance, variable quantitative de moyenne connue µ =20, et d'écart-type connu σ =6,5 dans P Echantillons de taille n de X issu de P pour lesquels x, s et s* ne sont pas calculés

TD 5 : Echantillonnage, estimation de paramètres : corrigé

(a) Donner l’estimation ponctuelle de la durée de vie moyenne et de sa variance pour l’ensemble de la production (b) Estimer par un intervalle ayant un niveau de conﬁance de 9 5 la durée de vie moyenne corrigé succint : (a) On trouve ¯x = 400 35 , s = 36 01 et s2 = 1297 (b) √ n X¯ −µ s

Echantillonnage et estimation - Exercices

Echantillonnage et estimation - Exercices Exercice 1 Dans une classe de première S, il y a 9 garçons et 28 filles On se demande toutefois si lorsque l’on choisit 37 élèves au hasard dans une population constituée d’une moitié de garçons et d’une moitié de filles, cette distribution est rare 1

T D n 1 Les méthodes d’échantillonnage Correction

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy-Bertrand 4èmeannée-ESIEA-2011/2012 T D no 1 Les méthodes d’échantillonnage Correction Exercice 1 Correction

Échantillonnage et estimation

3 2 Estimation ponctuelle 3 2 1 Introduction L’ensemble des hypothèses relatives au problème d’estimation de paramètre est appelé modèle statis-tique Celui-ci comprend : — des hypothèses relatives à la loi de la variable X, par exemple X N(m,), m et étant inconnus, ou X suit une loi inconnue

ECHANTILLONNAGE - Maths & tiques

Exercice 2 La proportion de personnes aux cheveux châtains en France est d’environ 50 On a observé un échantillon de 150 personnes dont 89 ont les cheveux châtains Cet échantillon est-il représentatif de la population ? Exercice 3 Dans une classe de 37 élèves, un délégué de classe a été élu avec 60 des voix

Feuille d’exercices : Distribution d’échantillonnage et

Exercice 3 : L’âge des habitants d’une ville veut être étudié d’après une enquête dont les résultats suivent : Âge (en années) Effectifs 50 60 35 30 25 Déterminer le maximum de l’âge moyen des habitants de cette ville au risque de 5 Feuille d’exercices : Distribution d’échantillonnage et estimation

Exercices corrigs de statistiques infrentielles

Les méthodes d"échantillonnageCorrection

Exercice 1. Correction

1. La distribution deYest :Y=kP[Y=k]f

kkP[Y=k](k)2P[Y=k]81=425%81=4 = 8=4(810)21=4 = 4=4101=425%101=4 = 10=4(1010)21=4 = 0112=450%112=4 = 22=4(1110)22=4 = 2=4Total1100%=E[Y] = 10Var[Y] = 4=4 + 2=4 = 6=4 = 1;5D"une part, nous avons d"après les calculs

Var[Y] =2= 1;5

et d"autre part, nous avons d"après la définition du cours

2c=NN12=43

64
= 2:

2. Échantillonnage sans remise.

a) Nous pouvons tirer :43 = 12échantillons. b) Nous remplissons le tableau ci-dessous en utilisant la définition du cours S

22;c(obs) =s22;c=1n1"

nX i=1(Yi(obs)b2(obs))2# :ÉchantillonY

1(obs)Y

2(obs)b2(obs)S

22;c(obs)(1;2)111010;5[(1110;5)2+ (1010;5)2] = 0;5(1;3)1189;5[(119;5)2+ (89;5)2] = 4;5(1;4)111111;0[(1111)2+ (1111)2] = 0;0(2;1)101110;5[(1010;5)2+ (1110;5)2] = 0;5(2;3)1089;0[(109)2+ (89)2] = 2;0(2;4)101110;5[(1010;5)2+ (1110;5)2] = 0;5(3;1)8119;5[(89;5)2+ (119;5)2] = 4;5(3;2)8109;0[(89)2+ (109)2] = 2;0(3;4)8119;5[(89;5)2+ (119;5)2] = 4;5(4;1)111111;0[(1111)2+ (1111)2] = 0;0(4;2)111010;5[(1110;5)2+ (1010;5)2] = 0;5(4;3)1189;5[(119;5)2+ (89;5)2] = 4;5Ici la taille de l"échantillon est égale àn= 2.1

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2011/2012Exemple :Pour l"échantillon(1;3):

22;c;obs=121(119;5)2+ (89;5)2= 4;5:

c) La distribution deb2est :b2=xP[b2=x]xP[b2=x]P[b2=x](xE(b2))29;02=129;02=12 = 18=122=12(910)2= 2=129;54=129;54=12 = 38=124=12(9;510)2= 1=1210;54=1210;54=12 = 42=124=12(10;510)2= 1=1211;02=1211;02=12 = 22=122=12(1110)2= 2=12Total1E[b2] = 120=12 = 10Var[b2] = 6=12 = 1=2 = 0;5Nous remarquons que l"estimateurb2est bien sans biais puisque son

espérance est égale à 10, qui est la moyenne de la populationU. D"autre part, ces calculs nous permettent de vérifier la formule du calcul de la variance de l"estimateurb2dans le cas d"un tirage sans remise. En effet, nous avons :

Var[bn] =NnN12n

Icin= 2,N= 4et2=32

, par conséquent, nous avons :

Var[b2] =42413=22

=12 d) La distribution deS22;cest :S

22;c=xP[S22;c=x]xP[S22;c=x]P[S22;c=x](xES22;c)20;02=1202=12 = 02=12(02)20;54=120;54=12 = 2=124=12(0;52)22;02=1222=12 = 4=122=12(22)24;54=124;54=12 = 18=124=12(4;52)2Total1E

S22;c= 24=12 = 2Var[S22;c] = 42=12 = 7=2 = 3;5e) Voir les réponses c) et d). f)Commentaires :Dans le cas SANS REMISE, aucun échantillon ne fournit la vraie valeur= 10mais en moyenne les échantillons donnent

10. En effet, nous avons

E[b2] = 10 =:

Nous en déduisons de cette égalité queb2est un estimateur sans biais dedans le cas d"un tirage sans remise. L"échantillonnage est non biaisé. De plus,

ES22;c= 2 =2c

et non pas2. Nous en déduisons de cette égalité queS2n;cest un estimateur sans biais de2cdans le cas d"un tirage sans remise et ce quelque soit la taillende l"échantillon. 2

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2011/20123. Échantillonnage avec remise.

a) Nous pouvons tirer :44 = 16échantillons. b)ÉchantillonY

1(obs)Y

2(obs)b2S

22;c(obs)(1;1)111111;0[(1111)2+ (1111)2] = 0;0(1;2)111010;5[(1110;5)2+ (1010;5)2] = 0;5(1;3)1189;5[(119;5)2+ (89;5)2] = 4;5(1;4)111111;0[(1111)2+ (1111)2] = 0;0(2;1)101110;5[(1010;5)2+ (1110;5)2] = 0;5(2;2)101010;0[(1010)2+ (1010)2] = 0;0(2;3)1089;0[(109)2+ (89)2] = 2;0(2;4)101110;5[(1010;5)2+ (1110;5)2] = 0;5(3;1)8119;5[(89;5)2+ (119;5)2] = 4;5(3;2)8109;0[(89)2+ (109)2] = 2;0(3;3)888;0[(88)2+ (88)2] = 0;0(3;4)8119;5[(89;5)2+ (119;5)2] = 4;5(4;1)111111;0[(1111)2+ (1111)2] = 0;0(4;2)111010;5[(1110;5)2+ (1010;5)2] = 0;5(4;3)1189;5[(119;5)2+ (89;5)2] = 4;5(4;4)111111;0[(1111)2+ (1111)2] = 0;0en utilisant la formule du cours

2n;c(obs) =1n1"

nX i=1(Yi(obs)bn(obs))2# Ici la taille de l"échantillon est égale àn= 2.

Exemple :Pour l"échantillon(1;3):

22;c(obs) =121(119;5)2+ (89;5)2= 4;5:

c) La distribution deb2est :b2=xP[b2=x]xP[b2=x]P[b2=x](xE(b2))28;01=1681=16 = 8=161=16(810)2= 4=169;02=1692=16 = 18=162=16(910)2= 2=169;54=169;54=16 = 38=164=16(9;510)2= 1=1610;01=16101=16 = 10=161=16(1010)2= 010;54=1610;54=16 = 42=164=16(10;510)2= 1=1611;04=16114=16 = 44=164=16(1110)2= 4=16Total1E[b2] = 160=16 = 10Var[b2] = 12=16 = 0;753

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2011/2012d) La distribution deS22;cest :S

22;c=xP[S22;c=x]xP[S22;c=x]P[S22;c=x](xES22;c)20;06=1606=16 = 06=16(01;5)20;54=160;54=16 = 2=164=16(0;51;5)22;02=1622=16 = 4=162=16(21;5)24;54=164;54=16 = 18=164=16(4;51;5)2Total1E

S22;c= 24=16 = 1;5Var

S22;c= 54=16 = 3;375e) Voir les réponses c) et d). f)Commentaires :Dans le cas AVEC REMISE, un échantillon fournit la vraie valeur= 10et en moyenne les échantillons donnent10. En effet, nous avons

E[b2] = 10 =:

Nous en déduisons de cette égalité queb2est un estimateur sans biais de. L"échantillonnage est non biaisé. De plus, nous remarquons

E[S22;c] = 1;5 =2

et non pas2c, cette fois-ci. Nous en déduisons de cette égalité queS2n;c est un estimateur sans biais de2et ce quelque soit la taillend"un échantillon dans le cas d"un tirage AVEC REMISE. D"autre part, nous remarquons que la variance debndans le cas d"un tirage AVEC REMISE est plus grande que celle dans le cas d"un tirage SANS REMISE et c"est toujours le cas. Cela veut dire que la distri- bution des moyennes observées sur les échantillons est plus dispersée AVEC REMISE que SANS REMISE : le plan de sondage est moins précis. En effet, d"avoir introduit les échantillons(1;1);:::;(4;4)n"améliore pas le plan de sondage car en interrogeant deux fois la même personne nous n"apportons aucune information supplémentaire. Exercice 2. CorrectionNous avons un sondage aléatoire simple à probabilités

égales sans remise.

1.Premier cas : l"échantillon est de taille n = 4. Une estimation de la dépense

moyenne est égale à : b4= 12euros:

En posantf=nN

, la précision de cette estimation vaut :

Var[b4] = (1f)2cn

Or nous ne connaissons pas2cqui représente la variance corrigée de la po- pulation. Donc il faut introduire un estimateur sans biais de2cqui estS2c.4

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2011/2012En effet, nous avons démontré ce résultat dans l"exercice précédent. D"où

l"estimateur de la variance de l"estimateurb4est égal à :

Var[b4] = (1f)S2cn

et l"estimation est égale à :

Var[b4] = (10;05)43

624
= 11;4euros2:

Donc la précision, à95%, est de :

1;96p11;4 = 6;62euros:

Donc, nous pouvons écrire :

b4= 126;62euros: Second cas : l"échantillon est de taille n = 40. Une estimation de la dépense moyenne est égale à : b40= 12euros:

En posantf=nN

, la précision de cette estimation vaut :

Var[b] = (1f)S2cn

Or nous ne connaissons pasS2cqui représente la variance corrigée de la popu- lation. Donc il faut introduire un estimateur sans biais deS2cqui ests2c(Nous avons démontré ce résultat dans l"exercice précédent). D"où l"estimateur de la variance de l"estimateurb40est égal à :

Var[b40] = (1f)s2cn

et l"estimation est égale à :

Var[b40] = (10;5)4039

6240
= 0;46euros2:

Donc la précision est de :

1;96p0;46 = 1;33euros:

Donc nous pouvons écrire :

b40= 121;33euros:

2. Nous avons un sondage aléatoire simple à probabilités égales SANS REMISE.

Nous estimonsparb= 0;75. La variance de l"estimateurbest égale à

Var[b] =NnN1(1)n

car l"estimateurbsuit une loi hypergéométrique. Or cette formule pose un problème puisque nous ne connaissons pas. Donc nous sommes amenés à construire un estimateur de cette variance. L"estimateur de la variance de l"estimateurbest donc égal à :

Var[b] =NnN

b(1b)n1= (1f)b(1b)n1 5

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2011/2012Premier cas : l"échantillon est de taille n = 4. Nous avons :

Var[b] = (10;05)0;187541= 0;059375:

La précision est de :

1;96p0;059375'0;48:

Donc nous pouvons écrire :

2[0;27;1];

nous ne pouvons pas dépasser la valeur1puisque nous sommes entrain d"es- timer une proportion! Second cas : l"échantillon est de taille n = 40. Nous avons :

Var[b] = (10;5)0;1875401= 0;004567308

La précision est de :

1;96p0;004567308'0;13:

Donc nous pouvons écrire :

2[0;61;0;89]:

3. L"échantillon de taillen= 4introduit des intervalles de confiance très grands,

ce qui était prévisible. De plus l"approximation normale dans ce cas n"est peut-être pas légitime. À ce sujet, pour légitimer l"approximation par une loi normale, nous renvoyons au livre " Les techniques de sondage » de Pascal Ardilly, aux éditions Technip, et plus particulièrement aux pages 60 et 61, qui évoque ce problème.

Exercice 3.Vérification dans un cas simple

1. Nous avons 20 échantillons possibles, énumérés ci-dessous :(Yi;Yj)ys

2c(Yi;Yj)ys

2cY

1;Y290200Y

2;Y190200

1;Y31000Y

3;Y11000

1;Y4110200Y

4;Y1110200

1;Y59585Y

5;Y19585

2;Y390200Y

3;Y290200

2;Y4100800Y

4;Y2100800

2;Y58550Y

5;Y28550

3;Y4110200Y

4;Y3110200

3;Y59552Y

5;Y39552

4;Y5105450Y

5;Y4105450

2. La moyenne dans la population est égale :

=15 (100 + 80 + 100 + 120 + 90) = 98: 6

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2011/2012Chaque échantillon ayant une probabilité de 1/20 d"être tiré, nous avons :

E[b2] =120

(90 + 100 + 110 + 95 + 90 + 100 + 85 + 110 + 95 + 105 + 90 + 100 +

110 + 95 + 90 + 100 + 85 + 110 + 95 + 105) = 98:

Nous retrouvons le résultat du cours à savoir que :

E[b2] =:

Doncb2est un estimateur sans biais de la moyennede la populationU.

3. La variance de l"estimateurb2peut être calculée, d"une part, directement en

utilisant la définition de la variance puisque nous avons la distribution de l"estimateurb2:

Var[b2] =120

[(9098)2+ (10098)2++ (10598)2] = 66: D"autre part, en utilisant la formule du cours, dans le cadre d"un tirage sans remise, nous avons :

Var[b2] = (1nN

)S2cn = 66: 4.

Es2c=120

[200 + 0 + 200 ++ 450] = 220:

Nous retrouvons bien :

Es2c=S2c:

Doncs2cest un estimateur sans biais de la variance corrigéeS2cde la popula- tionU. 7quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

[PDF] T D n 1 Les méthodes d’échantillonnage Correction

Les méthodes d"échantillonnageCorrection

Exercice 1. Correction

1. La distribution deYest :Y=kP[Y=k]f

Var[Y] =2= 1;5

2c=NN12=43

2. Échantillonnage sans remise.

22;c(obs) =s22;c=1n1"

1(obs)Y

2(obs)b2(obs)S

22;c;obs=121(119;5)2+ (89;5)2= 4;5:

Var[bn] =NnN12n

Icin= 2,N= 4et2=32

Var[b2] =42413=22

22;c=xP[S22;c=x]xP[S22;c=x]P[S22;c=x](xES22;c)20;02=1202=12 = 02=12(02)20;54=120;54=12 = 2=124=12(0;52)22;02=1222=12 = 4=122=12(22)24;54=124;54=12 = 18=124=12(4;52)2Total1E

10. En effet, nous avons

E[b2] = 10 =:

ES22;c= 2 =2c

1(obs)Y

2(obs)b2S

2n;c(obs) =1n1"

Exemple :Pour l"échantillon(1;3):

22;c(obs) =121(119;5)2+ (89;5)2= 4;5:

22;c=xP[S22;c=x]xP[S22;c=x]P[S22;c=x](xES22;c)20;06=1606=16 = 06=16(01;5)20;54=160;54=16 = 2=164=16(0;51;5)22;02=1622=16 = 4=162=16(21;5)24;54=164;54=16 = 18=164=16(4;51;5)2Total1E

S22;c= 24=16 = 1;5Var

E[b2] = 10 =:

E[S22;c] = 1;5 =2

égales sans remise.

1.Premier cas : l"échantillon est de taille n = 4. Une estimation de la dépense

En posantf=nN

Var[b4] = (1f)2cn

Var[b4] = (1f)S2cn

Var[b4] = (10;05)43

Donc la précision, à95%, est de :

1;96p11;4 = 6;62euros:

Donc, nous pouvons écrire :

En posantf=nN

Var[b] = (1f)S2cn

Var[b40] = (1f)s2cn

Var[b40] = (10;5)4039

Donc la précision est de :

1;96p0;46 = 1;33euros:

Donc nous pouvons écrire :

2. Nous avons un sondage aléatoire simple à probabilités égales SANS REMISE.

Var[b] =NnN1(1)n

Var[b] =NnN

Var[b] = (10;05)0;187541= 0;059375:

La précision est de :

1;96p0;059375'0;48:

Donc nous pouvons écrire :

2[0;27;1];

Var[b] = (10;5)0;1875401= 0;004567308

La précision est de :

1;96p0;004567308'0;13:

Donc nous pouvons écrire :

2[0;61;0;89]:

3. L"échantillon de taillen= 4introduit des intervalles de confiance très grands,

Exercice 3.Vérification dans un cas simple

1. Nous avons 20 échantillons possibles, énumérés ci-dessous :(Yi;Yj)ys

2c(Yi;Yj)ys

1;Y290200Y

2;Y190200

1;Y31000Y

3;Y11000

1;Y4110200Y

4;Y1110200

1;Y59585Y

5;Y19585

2;Y390200Y

3;Y290200

2;Y4100800Y

4;Y2100800

2;Y58550Y

5;Y28550

3;Y4110200Y

4;Y3110200

3;Y59552Y

5;Y39552

4;Y5105450Y

5;Y4105450