Équations différentielles linéaires

Licence 1 - DLST Ann´ee 2016-2017 Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations diﬀ´erentielles Exercice 1 L’´equation est y

Universit´e Paris-Est Marne-La-Vall´ee TD 8 : Equations diﬀ

Universit´e Paris-Est Marne-La-Vall´ee License GSI 2010/2011 T D 8 : Equations diﬀ´erentielles - Corrig´e´ Exercice 1 R´esoudre les ´equations diﬀ´erentielles suivantes, avec les conditions de Cauchy donn´ees

Série d’exercices n 6 Équations différentielles Exercice 1

Université Claude Bernard Lyon 1 Licence Sciences & Technologies 43, boulevard du 11 novembre 1918 Spécialité : Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France Analyse 1- Automne 2014 Série d’exercices no6 Équations différentielles Exercice 1 : calcul de primitives 1 Déterminez les primitives suivantes sur des intervalles appropriés

Équations différentielles linéaires

Licence d’économie Cours de M Desgraupes MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES DYNAMIQUES Corrigé du TD “Équations différentielles” Équations différentielles linéaires Corrigé ex 30: Équations d’ordre 1 à coefﬁcients constants Équation y0 2y= 7 Solution particulière : v(t) = 7 2 Solution de l’équation homogène : w(t) = Ce2t

TD Equations différentielles linéaires

Equations différentielles linéaires 1 TD – Equations différentielles linéaires 0 Rappels de cours 0 1 Différents types d’équations différentielles

Equations ´ differ´ entielles d’ordre 1

a) R´esoudre l’equation´ differentielle´ (E0) y + xy = 0 b) Determiner´ deux nombres reels´ a et b tels que la fonction h d´eﬁnie sur par h(x) = (ax + b)e x soit une solution particuliere` de (E) c) Deduire´ des questions prec´ ´edentes la solution gen´ erale´ de l’´equation (E) Exercice 7 : Equation´ a` coefﬁcients non

Equations di erentielles L3 de Math ematiques

Exercice : R esoudre x0+ ax= 0 avec a2R: Th eor eme Soit aet bdeux fonctions num eriques continues sur un intervalle ouvert I de R, t 0 2I et x 0 2R Alors l’ equation di erentielle scalaire d’ordre 1 (E) x0= a(t)x+ b(t) admet une unique solution prenant la valeur x 0 en t 0 Il s’agit de la fonction ’ : 8

MAT265 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - Cours

Avant-propos Vous trouverez dans ce document une nouvelle section de mes notes de cours, soit le chapitre 5 sur les transformées de Laplace, le chapitre 6 sur les applications physiques des équations d’ordre

Equations · differentielles· d’ordre 2

A` cette equation´ differentielle´ sont associees´ 2 autres equations´ : Une autre ´equation differentielle´ d’inconnue y, que l’on appelle ·equation sanssecondmembreassociee· a˚ l’equation· (E) (ou encore equation· homogene˚ associee· a˚l’equation· (E)) et que l’on note souvent (E0) : (E0) ay + by + cy = 0 Une

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE

U.F.R. SEGMI Année universitaire 2018 - 2019

Licence d"économie Cours de M. Desgraupes

MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES DYNAMIQUES

Corrigé du TD "Équations différentielles"Équations différentielles linéaires Corrigé ex. 30: Équations d"ordre 1 à coefficients constants

Équationy02y= 7

Solution particulière :

v(t) =72

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C e2t

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =C e2t72 Solution de l"équation générale avecy(0) = 5: y(t) =172 e2t72

Équation2y0+ 3y= 3t

Solution particulière :

v(t) =t23

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C e32 t

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =C e32 t+t23 Solution de l"équation générale avecy(0) =13 y(t) =e32 t+t23 1

Équationy03y= 2e3t+ 1

Solution particulière :

v(t) =13 (e3t+ 1)

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C e3t

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =C e3t13 (e3t+ 1) Solution de l"équation générale avecy(0) = 0: y(t) =23 e3t13 (e3t+ 1)Équationmy0y=e2t

On commence par supposer quem6=12

Solution particulière :

v(t) =e2t2m1

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C et=m

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =C et=m+e2t2m1 Solution de l"équation générale avecy(0) = 0: y(t) =e2tet=m2m1Dans le cas oùm=12 , on trouve la solution particulièrev(t) = 2te2t. On a alors : y(t) =v(t) +w(t) = (2t+C)e2t Avec la condition initialey(0) = 0, la solution est finalementy(t) = 2te2t. 2 Corrigé ex. 31: Équations d"ordre 1 à coefficients variables Résoudre les équations différentielles à coefficients variables suivantes :

Équationy02ty= 4t

Solution particulière :

v(t) =2

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C et2

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =C et22

Équationty0my=t

Solution particulière :

v(t) =tm lorsquem6=. Dans le cas particulier oùm=, on obtienty= tlogt.

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C tm Solution de l"équation générale (lorsquem6=) : y(t) =v(t) +w(t) =tm+C tm

Dans le cas oùm=, on ay(t) =t(logt+C).

Équation(t21)y0t1y=m

Solution particulière :

v(t) =mt L"équation homogène se décompose sous la forme w 0w =1t(t21)=1t +12

1t1+12

1t+ 1

On en déduit que

(logjwj)0= logjtj+12 logjt1j+12 logjt+ 1j 0 logpjt21jjtj! 0 Finalement la solution de l"équation homogène est (en supposant quet6= 0) : w(t) =Cpjt21jt 3

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =Cpjt21jt mt Corrigé ex. 32: Équations d"ordre 2 à coefficients constants Dans toutes les équations qui suivent, on utilise les mêmes conditions initiales y(0) =y0(0) =1.

Équationy00+ 3y0+ 2y=tet

Solution particulière :

v(t) =12 (t22t)et

Solution de l"équation homogène :

w(t) =et+e2t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =12 (t22t4)et+e2tÉquationy004y= 10

Solution particulière :

v(t) =52

Solution de l"équation homogène :

w(t) =e2t+e2t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =e2t+12 e2t52

Équationy006y0+ 9y=2e3t

Solution particulière :

v(t) =t2e3t

Solution de l"équation homogène :

w(t) = (t+)e3t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) = (t2+ 2t1)e3tÉquationy00+ 2y0+ 5y=et+ sin(2t) 4

Solution particulière :

v(t) =sin(2t)4 cos(2t)17 +et4

Solution de l"équation homogène :

w(t) =etsin(2t) +cos(2t) Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =et64 sin(2t)69 cos(2t)68 +sin(2t)4 cos(2t)17 +et4

Équation8y004y0+ 3y=3et

Solution particulière :

v(t) =15 et

Solution de l"équation homogène :

w(t) =et4 sinp5t4 +cosp5t4 Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =45 et4 cosp5t4 +p5 sin p5t4 15 etCorrigé ex. 33: Équation dépendant d"un paramètre (E)y00+ 4y0+my=e2t

33-1) L"équation homogène associée(H)est :

(H)w00+ 4w0+mw= 0

Le discriminant est :

0= 4m

1-a) La forme dew(t)dépend du signe du discriminant.

Sim <4alors0>0et on a deux racines réelles distinctesr1etr2. La solution de(H)s"écrit : w(t) =k1er1t+k2er2t Sim= 4alors0= 0et on a une racine réelle doubler. La solution de(H) s"écrit : w(t) = (k1t+k2)ert Sim >4alors0<0et on a deux racines complexes conjuguées qu"on écrit sous forme algébriquez=+i. La solution de(H)s"écrit : w(t) =etk1cos(t) +k2sin(t) 5

1-b) La condition nécessaire et suffisante pour que toutes les fonctionsw(t)

tendent vers 0 lorsquet!+1est donnée par les conditions de stabilité. Résultat de cours :si l"équation est notéew00+aw0+bw= 0, les conditions de stabilité s"expriment par les relations suivantes a >0 b >0Dans le cas présent, cela se ramène àm >0. 33-2)

2-a) La valeur d"équilibre est une solution particulière de(E). On cherche a

prioriv(t) =C e2t. On en déduit quev0(t) =2C e2tetv00(t) = 4C e2t. D"où, en remplaçant dans l"équation(E):

4C e2t+ 4(2C e2t) +mC e2t=e2t

On en tireC=1m4lorsquem6= 4.

Dans le cas oùm= 4, il faut chercherv(t)sous la formev(t) =C t2e2t. Tout calcul fait, on trouveC= 1=2et doncv(t) =12 t2e2t.

2-b) La nature de l"équilibre a été discutée à la question précédente : l"équilibre

est stable si et seulement sim >0..Corrigé ex. 34: Solution d"équilibre (E)my00+ 3(m1)y0+ 3y= 6

34-1) On cherche une solution particulière de(E)de la formev(t) =K. On a

alorsv0(t) =v00(t) = 0et, en reportant dans l"équation(E), on obtientK= 2quelle que soit la valeur dem.

34-2) La valeur d"équilibre de(E)est la solution particulière trouvée à la question

précédente.

34-3) Condition nécessaire et suffisante pour que cet équilibre soit stable.

Pour utiliser les conditions de stabilité, on doit mettre le membre de gauche de l"équation sous la formey00+ay0+by: y

00+ 3m1m

y0+3m y et alors les conditions s"expriment par les relations a >0 b >0

Ici on obtient les conditions

8>>< >:m1m >0 3m >0 6 ce qui impose finalementm >1. 34-4)

4-a) Pour que toutes les solutions de(E)présentent des oscillations, il faut et il

suffit que le discriminant de l"équation caractéristique associée soit négatif. On a :

P(r) =mr2+ 3(m1)r+ 3 = 0

On calcule

= 9(m1)212m= 3(3m210m+ 3) = 3(m3)(3m1)

Le discriminant est négatif lorsque1=3< m <3.

4-b) Pour que les oscillations soient amorties, il faut que l"équilibre soit stable.

On a vu, en discutant les conditions de stabilité, que la condition estm >1. Compte- tenu du résultat précédent, on obtient1< m <3.

Corrigé ex. 35: Solution particulière

004y0+ 4y=temt

On cherche une solution particulière sous la formev(t) = (at+b)emt.

On calcule :

0(t) =m(at+b)emt+aemt

00(t) =m2(at+b)emt+ 2amemt

En reportant dans l"équation, on obtient :

a(m2)2t+b(m2)2+ 2a(m2)emt=temt

Par identification, on trouve :

a(m2)2= 1 b(m2)2+ 2a(m2) = 0

D"où finalement, lorsquem6= 2

8>>>< >>:a=1(m2)2 b=2(m2)3 Dans le cas oùm= 2, on doit chercher la solution particulière sous la forme v(t) =Ct3e2t. Tout calcul fait, on trouvev(t) = 1=6t3e2t. Solution générale de l"équation homogène : w(t) = (k1t+k2)e2t

Finalement on reconstituey(t) =w(t) +v(t).

Nature de l"équilibre obtenu : l"équilibre est instable à cause du termee2tqui fait diverger la fonctionw(t)représentant les écarts à l"équilibre. 7 Corrigé ex. 36: Équation vérifiée par une fonction

36-1) Pour chacune des fonctionsyci-dessous, on cherche une équation différen-

tiellehomogène du second ordredontysoit solution générale :

Fonctiony=et+e5t

Un polynôme caractéristique dont les racines sont 1 et 5 est

P(r) = (r1)(r5) =r26r+ 5

La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée y

006y0+ 5y= 0Fonctiony=e5t+te5t

Un polynôme caractéristique ayant 5 comme racine double est

P(r) = (r5)2=r210r+ 25

La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée y

0010y0+ 25y= 0Fonctiony=e2t(cos3t+sin3t)

Un polynôme caractéristique dont les racines sont23iest

P(r) =r(2 + 3i)r(23i)=r24r+ 13

La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée y

004y0+ 13y= 0Fonctiony=+e5t

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Équationy02y= 7

Solution particulière :

Solution de l"équation homogène :

Solution de l"équation générale :

Équation2y0+ 3y= 3t

Solution particulière :

Solution de l"équation homogène :

Solution de l"équation générale :

Équationy03y= 2e3t+ 1

Solution particulière :

Solution de l"équation homogène :

Solution de l"équation générale :

On commence par supposer quem6=12

Solution particulière :

Solution de l"équation homogène :

Solution de l"équation générale :

Équationy02ty= 4t

Solution particulière :

Solution de l"équation homogène :

Solution de l"équation générale :

Équationty0my=t

Solution particulière :

Solution de l"équation homogène :

Dans le cas oùm=, on ay(t) =t(logt+C).

Équation(t21)y0t1y=m

Solution particulière :

1t1+12

On en déduit que

Solution de l"équation générale :

Équationy00+ 3y0+ 2y=tet

Solution particulière :

Solution de l"équation homogène :

Solution particulière :

Solution de l"équation homogène :

Équationy006y0+ 9y=2e3t

Solution particulière :

Solution de l"équation homogène :

Solution particulière :

Solution de l"équation homogène :

Équation8y004y0+ 3y=3et

Solution particulière :

Solution de l"équation homogène :

33-1) L"équation homogène associée(H)est :

Le discriminant est :

1-a) La forme dew(t)dépend du signe du discriminant.

1-b) La condition nécessaire et suffisante pour que toutes les fonctionsw(t)

2-a) La valeur d"équilibre est une solution particulière de(E). On cherche a

4C e2t+ 4(2C e2t) +mC e2t=e2t

On en tireC=1m4lorsquem6= 4.

2-b) La nature de l"équilibre a été discutée à la question précédente : l"équilibre

34-1) On cherche une solution particulière de(E)de la formev(t) =K. On a

34-2) La valeur d"équilibre de(E)est la solution particulière trouvée à la question

34-3) Condition nécessaire et suffisante pour que cet équilibre soit stable.

00+ 3m1m

Ici on obtient les conditions

4-a) Pour que toutes les solutions de(E)présentent des oscillations, il faut et il

P(r) =mr2+ 3(m1)r+ 3 = 0

On calcule

Le discriminant est négatif lorsque1=3< m <3.

4-b) Pour que les oscillations soient amorties, il faut que l"équilibre soit stable.

Corrigé ex. 35: Solution particulière

004y0+ 4y=temt

On calcule :

0(t) =m(at+b)emt+aemt

00(t) =m2(at+b)emt+ 2amemt

En reportant dans l"équation, on obtient :

Par identification, on trouve :

D"où finalement, lorsquem6= 2

Finalement on reconstituey(t) =w(t) +v(t).

36-1) Pour chacune des fonctionsyci-dessous, on cherche une équation différen-

Fonctiony=et+e5t

P(r) = (r1)(r5) =r26r+ 5

006y0+ 5y= 0Fonctiony=e5t+te5t

P(r) = (r5)2=r210r+ 25

0010y0+ 25y= 0Fonctiony=e2t(cos3t+sin3t)