Exo7 - Exercices de mathématiques

ordre Exercices corrig”s ' dpic — inpl — mai 1999 MATH13E01 y"+y'+y =x 2 +x +1(E) Equation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants soit y"+y'+y =0(E 0) l' équation sans second membre ou équation homogène associée et r 2 +r +1=0 l' équation caractéristique qui admet pour racines les nombres

Equations · differentielles· d’ordre 2

Pour r´esoudre une equation´ differentielle´ de ce type, et de fac¸on tout a` fait analogue aux equations´ lineaires´ d’ordre 1, on proc´edera donc en trois etapes´ : r´esolution de l’´equation sans second membre associ´ee (E 0 );

Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations diﬀ´erentielles

5 L’´equation est y′(x)− x x2 +1 y(x) = 0 qui est une ´equation homog`ene Ici a(x) = − x x2 +1 donc une primitive est A(x) = − 1 2 ln(x2 +1) La solution g´en´erale de l’´equation (homog`ene) est y(x) = C e−A(x) = C e12 ln(x 2+1) = C (x2 +1)12 = C √ x2 +1 Exercice 2 R´esoudre les probl`emes de Cauchy suivants : MAP101 2

Exercices corriges sur les équations différentielles (GuesmiB)

Equation différentielle du second ordre Equation differentielle du deuxieme ordre sans second membre Est de la forme ay ‘’+by’+cy=0 (E 0) son équation caracteristique ar2+br+c=0 (1) ∆=b2-4ac *si ∆=0 donc (1) admet une seule solution r

TD 2 - Equations du premier et second ordre - Corrige´ Exercice 1

Dans chacun des cas, il s’agit d’equations di´ erentielles lin´ ´eaires du second ordre, `a coe cients constants, et avec un second membre de la forme polynome/exponentielle On appliquera alors systematiquement´ la m´ethode vue en cours : ´equation homog `ene, equation caract´ eristique, calcul de ses racines, solu-´

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (COURS)

Découvrir les équations différentielles du second ordre Résoudre à la main et à l’aide de la calculatrice les équations différentielles linéaires du second ordre 2 Introduction Exercice 1 : On considère l’égalité suivante (E1) : y”(x) y(x) = 0, qui est une équation différentielle du second ordre

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 6 Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions déﬁnies sur R tout entier : 1 x2y0 y=0 (E 1) 2 xy0+y 1 =0 (E 2) Indication H Correction H Vidéo [006996] 2 Second ordre Exercice 7 Résoudre 1 y00 3y0+2y=0 2 y00+2y0+2y=0 3 y00 2y0+y=0 4 y00+y=2cos2 x Correction H Vidéo [006997] Exercice 8 On considère

Equations différentielles linéaires

lution de (E) se ramène à la résolution d’une équation linéaire du second ordre à coefﬁcients constants 3 Résoudre sur ]0;+¥[, l’équation différentielle x2y00 xy0+y=0 Correction H [005480] Exercice 6 ** Soit a un réel non nul Soit f continue sur R et pèriodique de pèriode T 6=0 Montrer que l’équation différen-

Équations différentielles

Fiche de Léa Blanc-Centi.

1 Ordre 1

Exercice 1Résoudre surRles équations différentielles suivantes:

1.y0+2y=x2(E1)

2.y0+y=2sinx(E2)

3.y0y= (x+1)ex(E3)

4.y0+y=xex+cosx(E4)

Déterminer toutes les fonctionsf:[0;1]!R, dérivables, telles que

8x2[0;1];f0(x)+f(x) =f(0)+f(1)

Résoudre l"équationdifférentielle(x2+1)y0+2xy=3x2+1surR. Tracerdescourbesintégrales. Trouver

la solution vérifianty(0) =3. 2.

Résoudre l"équation dif férentielley0sinxycosx+1=0 sur]0;p[. Tracer des courbes intégrales.

Trouver la solution vérifianty(p4

) =1. de la constante :

1.y0(2x1x

)y=1 sur]0;+¥[

2.y0y=xkexp(x)surR, aveck2N

3.x(1+ln2(x))y0+2ln(x)y=1 sur]0;+¥[

On considère l"équation différentielle

0exey=a

Déterminer ses solutions, en précisant soigneusement leurs intervalles de définition, pour 1 1.a=0

2.a=1 (faire le changement de fonction inconnuez(x) =x+y(x))

Dans chacun des cas, construire la courbe intégrale qui passe par l"origine.

Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies surRtout entier :

1.x2y0y=0(E1)

2.xy0+y1=0(E2)

Exercice 7Résoudre

1.y003y0+2y=0

2.y00+2y0+2y=0

3.y002y0+y=0

4.y00+y=2cos2x

On considèrey004y0+4y=d(x). Résoudre l"équation homogène, puis trouver une solution particulière

lorsqued(x) =e2x, puisd(x) =e2x. Donner la forme générale des solutions quandd(x) =12 ch(2x). Résoudre sur]0;p[l"équation différentielley00+y=cotanx, où cotanx=cosxsinx.

Résoudre les équations différentielles suivantes à l"aide du changement de variable suggéré.

1.x2y00+xy0+y=0, sur]0;+¥[, en posantx=et;

2.(1+x2)2y00+2x(1+x2)y0+my=0, surR, en posantx=tant(en fonction dem2R).

3 Pour aller plus loin

Exercice 11Équations de Bernoulli et Riccatti1.Équation de Bernoulli (a)

Montrer que l"équation de Bernoulli

0+a(x)y+b(x)yn=0n2Zn6=0;n6=1

se ramène à une équation linéaire par le changement de fonctionz(x) =1=y(x)n1. (b) T rouverles solutions de l"équation xy0+yxy3=0.

2.Équation de Riccati

(a) Montrer que si y0est une solution particulière de l"équation de Riccati y

0+a(x)y+b(x)y2=c(x)

alors la fonction définie paru(x) =y(x)y0(x)vérifie une équation de Bernoulli (avecn=2). (b) Résoudre x2(y0+y2) =xy1 en vérifiant d"abord quey0(x) =1x est une solution. 1. Montrer que toute solution sur Rdey0+ex2y=0 tend vers 0 en+¥. 2.

Montrer que toute solution sur Rdey00+ex2y=0 est bornée. (Indication :étudier la fonction auxiliaire

u(x) =y(x)2+ex2y0(x)2.) 1.

Résoudre sur ]0;+¥[l"équation différentiellex2y00+y=0 (utiliser le changement de variablex=et).

2. T rouvertoutes les fonctions de classe C1surRvérifiant

8x6=0;f0(x) =f1x

Indication pourl"exer cice2 NUne telle fonctionfest solution d"une équation différentielley0+y=c.Indication pourl"exer cice3 N1.xest solution particulière

2. cos est solution particulière Indication pourl"exer cice4 NSolution particulière : 1.12x 2. xk+1k+1exp(x) 3. lnx1+ln2(x)Indication pourl"exer cice5 N1. C"est une équation à variables séparées.

Indication pour

l"exer cice

6 N1.une infinité de solutions

2. une solution Indication pourl"exer cice8 NPour la fin: principe de superposition.

Indication pour

l"exer cice

9 NUtiliser la méthode de variation de la constante.

Indication pour

l"exer cice

11 N1.(a) Se ramener à

11nz0+a(x)z+b(x) =0.

(b)y=1plx2+2xouy=0. 2. (a)

Remplacer yparu+y0.

(b)y=1x +1xlnjxj+lxouy=1x .4

Correction del"exer cice1 N1.Il s"agit d"une équation dif férentiellelinéaire d"ordre 1, à coef ficientsconstants, a vecsecond membre.

Oncommenceparrésoudrel"équationhomogèneassociéey0+2y=0: lessolutionssontlesy(x)=le2x, l2R.

Il suffit ensuite de trouver une solution particulière de(E1). Le second membre étant polynomial de degré

2, on cherche une solution particulière de la même forme:

0(x) =ax2+bx+cest solution de(E1)

() 8x2R;y00(x)+2y0(x) =x2 () 8x2R;2ax2+(2a+2b)x+b+2c=x2 Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit quey0(x) =12 x212 x+14 convient.

Les solutions de(E1)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de

l"équation homogène: y(x) =12 x212 x+14 +le2x(x2R) oùlest un paramètre réel. 2.

Il s"agit d"une équation dif férentiellelinéaire d"ordre 1, à coef ficientsconstants, a vecsecond membre.

Les solutions de l"équation homogène associéey0+y=0 sont lesy(x) =lex,l2R.

Il suffit ensuite de trouver une solution particulière de(E2). Le second membre est cette fois une fonction

trigonométrique, on cherche une solution particulière sous la forme d"une combinaison linéaire de cos et

sin: y

0(x) =acosx+bsinxest solution de(E2)

() 8x2R;y00(x)+y0(x) =2sinx () 8x2R;(a+b)cosx+(a+b)sinx=2sinx Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit quey0(x) =cosx+sinxconvient.

Les solutions de(E2)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de

l"équation homogène: y(x) =cosx+sinx+lex(x2R) oùlest un paramètre réel. 3.

Les solutions de l"équation homogène associée y0y=0 sont lesy(x)=lex,l2R. On remarque que le

second membre est le produit d"une fonction exponentielle par une fonction polynomiale de degréd=1:

or la fonction exponentielle du second membre est la même (ex) que celle qui apparaît dans les solutions

de l"équation homogène. On cherche donc une solution particulière sous la forme d"un produit deexpar

une fonction polynomiale de degréd+1=2: y

0(x) = (ax2+bx+c)exest solution de(E3)

() 8x2R;y00(x)y0(x) = (x+1)ex () 8x2R;(2ax+b)ex= (x+1)ex Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit quey0(x) = (12 x2+x)exconvient.

Les solutions de(E3)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de

l"équation homogène: y(x) = (12 x2+x+l)ex(x2R) oùlest un paramètre réel. 5

4.Les solutions de l"équation homogène associée y0+y=0 sont lesy(x) =lex,l2R. On remarque que

le second membre est la somme d"une fonction polynomiale de degré 1, d"une fonction exponentielle

(différente deex) et d"une fonction trigonométrique. D"après le principe de superposition, on cherche

donc une solution particulière sous la forme d"une telle somme: y

0(x) =ax+b+mex+acosx+bsinxest solution de(E4)

() 8x2R;y00(x)+y0(x) =xex+cosx () 8x2R;ax+a+b+2mex+(a+b)cosx+(a+b)sinx=xex+cosx Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit que y

0(x) =x112

ex+12 cosx+12 sinx convient.

Les solutions de(E4)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de

l"équation homogène: y(x) =x112 ex+12 cosx+12 sinx+lex(x2R)

oùlest un paramètre réel.Correction del"exer cice2 NUne fonctionf:[0;1]!Rconvient si et seulement si

•fest dérivable •fest solution dey0+y=c •fvérifief(0)+f(1) =c(oùcest un réel quelconque)

Or les solutions de l"équation différentielley0+y=csont exactement lesf:x7!lex+c, oùl2R(en effet,

on voit facilement que la fonction constante égale àcest une solution particulière dey0+y=c). Évidemment

ces fonctions sont dérivables, etf(0)+f(1) =l(1+e1)+2c, donc la troisième condition est satisfaite si et

seulement sil(1+e1) =c. Ainsi les solutions du problème sont exactement les f(x) =l(ex1e1)

pourl2R.Correction del"exer cice3 N1.Comme le coef ficientde y0ne s"annule pas, on peut réécrire l"équation sous la forme

y 0+2xx

2+1y=3x2+1x

2+1 (a)

Les solutions de l"équation homogène associée sont les y(x) =leA(x), oùAest une primitive de

a(x) =2xx

2+1etl2R. Puisquea(x)est de la formeu0u

avecu>0, on peut choisirA(x) = ln(u(x))oùu(x) =x2+1. Les solutions sont donc lesy(x) =leln(x2+1)=lx 2+1. (b)

Il suf fitensuite de trouv erune solution particulière de l"équation a vecsecond membre: on remarque

quey0(x) =xconvient. (c)

Les solutions sont obtenues en f aisantla somme:

y(x) =x+lx

2+1(x2R)

oùlest un paramètre réel. 6 (d)y(0) =3 si et seulement sil=3. La solution cherchée est doncy(x) =x+3x 2+1. Voici les courbes intégrales pourl=1;0;:::;5.011 2.

On commence par remarquer que y0(x) =cosxest une solution particulière. Pour l"équation homogène:

sur l"intervalle considéré, le coefficient dey0ne s"annule pas, et l"équation se réécrit

0cosxsinxy=0

Les solutions sont lesy(x) =leA(x), oùl2RetAest une primitive dea(x) =cosxsinx. Puisquea(x)est de la forme u0u avecu>0, on peut choisirA(x)=ln(u(x))avecu(x)=sinx. Les solutions de l"équation sontquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Équations différentielles

Fiche de Léa Blanc-Centi.

1 Ordre 1

1.y0+2y=x2(E1)

2.y0+y=2sinx(E2)

3.y0y= (x+1)ex(E3)

4.y0+y=xex+cosx(E4)

8x2[0;1];f0(x)+f(x) =f(0)+f(1)

Trouver la solution vérifianty(p4

1.y0(2x1x

2.y0y=xkexp(x)surR, aveck2N

3.x(1+ln2(x))y0+2ln(x)y=1 sur]0;+¥[

On considère l"équation différentielle

0exey=a

2.a=1 (faire le changement de fonction inconnuez(x) =x+y(x))

1.x2y0y=0(E1)

2.xy0+y1=0(E2)

Exercice 7Résoudre

1.y003y0+2y=0

2.y00+2y0+2y=0

3.y002y0+y=0

4.y00+y=2cos2x

1.x2y00+xy0+y=0, sur]0;+¥[, en posantx=et;

2.(1+x2)2y00+2x(1+x2)y0+my=0, surR, en posantx=tant(en fonction dem2R).

3 Pour aller plus loin

Montrer que l"équation de Bernoulli

0+a(x)y+b(x)yn=0n2Zn6=0;n6=1

2.Équation de Riccati

0+a(x)y+b(x)y2=c(x)

8x6=0;f0(x) =f1x

Indication pour

6 N1.une infinité de solutions

Indication pour

9 NUtiliser la méthode de variation de la constante.

Indication pour

11 N1.(a) Se ramener à

11nz0+a(x)z+b(x) =0.

Remplacer yparu+y0.

2, on cherche une solution particulière de la même forme:

0(x) =ax2+bx+cest solution de(E1)

0(x) =acosx+bsinxest solution de(E2)

0(x) = (ax2+bx+c)exest solution de(E3)

4.Les solutions de l"équation homogène associée y0+y=0 sont lesy(x) =lex,l2R. On remarque que

0(x) =ax+b+mex+acosx+bsinxest solution de(E4)

0(x) =x112

2+1y=3x2+1x

2+1etl2R. Puisquea(x)est de la formeu0u

Les solutions sont obtenues en f aisantla somme:

2+1(x2R)

0cosxsinxy=0