LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 3 Exercice 11 Soit un endomorphisme de ℝ3 dont l'image de la base canonique =( 1, 2, 3) est :

Planche no 34 Déterminants : corrigé

Exercice no 2 : Soit P = X a b c a X c b b c X a c b a X P est un polynôme unitaire de degré 4 En remplaçant C1 par C1 +C2 +C3 +C4 et par linéarité par rapport à la première colonne, on voit que P est divisible par (X+a+b+c) Mais aussi, en remplaçant C1 par C1 −C2 −C3 +C4 ou C1 −C2 +C3 −C4 ou C1 +C2 −C3 −C4,

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Created Date: 8/15/2016 11:02:55 AM

LES DÉTERMINANTS DE MATRICES - HEC Montréal

matrice de dimension 34 possède 3 rangées et 4 colonnes Celle‐ci serait distincte d'une matrice 43 qui a 4 rangées et 3 colonnes, quoiqu'elle compte également 12 entrées Une matrice est dite carrée lorsqu'elle a le même nombre de rangées et de colonnes

MATRICES EXERCICES CORRIGES

2) Ecrire la matrice transposée At de A et donner son format Exercice n° 3 1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée 2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 3≤ ≤i et 1 3≤ ≤j , le terme aij soit donné par la formule a i jij = −2 Exercice n° 4 On donne 2 5 3 1 A =

Exercice 1 - unicefr

Exercice 12 { Soit Aet Bdeux matrices carr ees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d’inverse la matrice C Montrer alors que Best inversible et pr eciser A 1 Exercice 13 { (extrait partiel novembre 2011) Soit Xet Y deux matrices carr ees non nulles de m^eme taille a coe cients r eels, montrer que

87 EXERCICES

Exercice 29 Soit une matrice à coefficients réels M = m ij ( ) 1i, jn orthogonale Montrer que m ij 1in 1jn "n Exercice 30 Montrer que dxdy 0,1 1xy [ ] "" 2 = 1 n2 n=1 +# $ Exercice 31 Convergence et calcul de sin3 t t2 dt 0 "+ Exercice 32 Diagonaliser la matrice M = 0 0 L 0 1 0 0 L 0 1 M M M M 0 0 L 0 1 1 1 1 1 1

Francinou-Gianella-Nicolas,

2èmeméthode Il s'agit de mettre en action les idées du calcul du déterminant de Vandermonde Tout d'abord le déterminantestnuldèsquedeuxﬁi sontégaux(resp

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LESDÉTERMINANTSDEMATRICES

Sommaire

4ͲExercice

Utilité

Ledéterminantseraunoutil

oulespointsdeselled'unefonctiondeplusieursvariables.1Ǧ RappelǦDéfinitionetcomposantesd'unematrice

Unematrice

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derangéesetde colonnes. ,quisontidentifiésparleurposition.

L'élémentܽ

seraitl'entréesituéàla3 e rangéeet2 e colonnedelamatriceܣ entreeux.L'élémentܽ ,distinctdeܽ ,estsituéàla2 e rangéeet3 e colonnedela matriceܣ

2Ǧ Ledéterminantd'unematrice

dénotepar

3Ǧ Calculdudéterminantpourunematrice૛ൈ૛

Considéronslamatriceܣ

Ledéterminantdelamatriceܣ

faudraretenir

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Exemple

Soitlamatrice

LedéterminantdeAestainsi

4Ǧ Exercice

Solutions:a)Ͳ17b)0c)5d)11

quis'y rattachent...

5Ǧ Définitiond'unmineur

Lemineurܯ

la2 e colonnedeܣ

Lemineurܯ

e rangéeetla 2 e colonnedeܣ

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6Ǧ Définitiond'uncofacteur

Lecofacteur,ܥ

,d'unematriceܣ

àl'exceptionparfoisdeleursigne.

Considéronsànouveaulamatrice

,est

Ils'avèrequelemineur,ܯ

,etlecofacteur,ܥ ,sontdesignesdifférents.

Lemineurܯ

,est

Cettefois,lemineur,

,etlecofacteur, ,sontidentiques.

7Ǧ ExpansionparcofacteursǦméthodedecalculdes

déterminants

Soitܣunematricecarréeetܥ

uneexpansionparcofacteurscommesuit:

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

rangéeoulacolonnedeܣ

Multiplierchacundeséléments

delarangée(oucolonne)choisieparson cofacteur,ܥ ,correspondant...

Fairelasommedecesrésultats.

Page5sur9

8Ǧ Calculdudéterminantpourunematrice૜ൈ૜

Pourunematrice͵ ൈ ͵,celavoudraitdirequ'enchoisissantdefaireuneexpansionle faudraitcalculer

Exemple

Quelestledéterminantdelamatriceܣ

Solution

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

rangée.

correspondants...Lesélémentsdelapremièrerangéesontͳͳ ൌ ʹǡͳʹ ൌ

ͳǡͳ͵ ൌ ͵quel'onmultipleaveclescofacteurscorrespondants,c'estͲàͲdire quisont

Finalement,ils'agitdefairelecalcul

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etܥ .Poursapart,le cofacteurcorrespondantàܽ est

Ledéterminantdeܣ

premièrerangée.

9Ǧ Méthodealternativepourcalculerlesdéterminants

associeunsignepositifàlapositionܽ horizontalementouverticalement.

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

rangéeoulacolonnedeܣ

Multiplierchacundesélémentsܽ

colonnedanslesquellessetrouveܽ lorsdelapremièreétape.

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Exemple

Soitdonclamatriceܣ

Choisissonsla3

e e rangée e colonnenousindiquentles déterminant:

10Ǧ Exercice

Solutions:a)24b)Ͳ12c)Ͳ66d)0

Page8sur9

11Ǧ Déterminantsdematricescarréesdedimensions4x4etplus

cofacteurs:

Soitܣunematricecarréeetܥ

uneexpansionparcofacteurscommesuit:

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

Multiplierchacundes

élémentsܽ

delarangée(oucolonne)choisieparson cofacteur,ܥ ,correspondant...

Fairelasommedecesrésultats.

d'unematrice rangée(lai e )etunecolonne(laj e )deܣ

Exemple

Calculerledéterminantdelamatrice

e colonne.Nous e colonnecequiveut direque

Commeܽ

etܽ etܥ .Pourleur part,lescofacteursܥ etܥ serontnécessaires...

Page9sur9

Nousvouslaissonsvérifierqueܥ

ൌͳͺetܥ deܣ

Exercice

expansionparcofacteurslelongde a) la1èrerangée b) la3 e colonnequotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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Sommaire

4ͲExercice

Utilité

Ledéterminantseraunoutil

Unematrice

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L'élémentܽ

2Ǧ Ledéterminantd'unematrice

3Ǧ Calculdudéterminantpourunematrice૛ൈ૛

Considéronslamatriceܣ

Ledéterminantdelamatriceܣ

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Exemple

Soitlamatrice

LedéterminantdeAestainsi

4Ǧ Exercice

Solutions:a)Ͳ17b)0c)5d)11

5Ǧ Définitiond'unmineur

Lemineurܯ

Lemineurܯ

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6Ǧ Définitiond'uncofacteur

Lecofacteur,ܥ

àl'exceptionparfoisdeleursigne.

Considéronsànouveaulamatrice

Ils'avèrequelemineur,ܯ

Lemineurܯ

Cettefois,lemineur,

7Ǧ ExpansionparcofacteursǦméthodedecalculdes

Soitܣunematricecarréeetܥ

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

Multiplierchacundeséléments

Fairelasommedecesrésultats.

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8Ǧ Calculdudéterminantpourunematrice૜ൈ૜

Exemple

Quelestledéterminantdelamatriceܣ

Solution

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

Finalement,ils'agitdefairelecalcul

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Ledéterminantdeܣ

9Ǧ Méthodealternativepourcalculerlesdéterminants

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

Multiplierchacundesélémentsܽ

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Exemple

Soitdonclamatriceܣ

Choisissonsla3

10Ǧ Exercice

Solutions:a)24b)Ͳ12c)Ͳ66d)0

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11Ǧ Déterminantsdematricescarréesdedimensions4x4etplus

Soitܣunematricecarréeetܥ

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

Multiplierchacundes

élémentsܽ

Fairelasommedecesrésultats.

Exemple

Calculerledéterminantdelamatrice

Commeܽ

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Nousvouslaissonsvérifierqueܥ

Exercice