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Utilisation du solveur de la TI 82 Advanced
Exercice résolu
La fonctionfest définie parf(x) =x3+xsur IR c"est à dire sur ]- ∞; +∞[. On veut déterminer une valeur approchée au millième près de l"équationf(x) = 500.1.Justifier que la fonctionfest strictement croissante sur [0 ; 10].
2.Démontrer que l"équationf(x) = 500 admet une unique solutionαappartenant à l"inter-
valle [0 ; 10].3.Avec la calculatrice, déterminer une valeur approchée deαau millième près.
Corrigé
1.Justifier que la fonctionfest strictement croissante sur [0 ; 10].
f ?(x) = 3x2+ 1, orx2?0 donc 3x2?0 donc 3x2+ 1>0 donc la fonctionfest strictement croissante sur IR, et aussi sur [0 ; 10].2.Démontrer que l"équationf(x) = 500 admet une unique solutionαappartenant à l"inter-
valle [0 ; 10]. f(0) = 03+ 0 = 0 etf(10) = 10003+ 10 = 1010, donc 500 est compris entref(0) etf(10). D"autre part, la fonctionfest continue sur [0 ; 10] parce que c"est une fonction polynôme.Nous savons donc que :
•la fonctionfest strictement croissante sur [0 ; 10]; •la fonctionfest continue sur [0 ; 10]; •500 est compris entref(0) etf(10);par conséquent, d"après le théorème de la valeur intermédiaire l"équationf(x) = 500 admet
une unique solutionαappartenant à l"intervalle [0 ; 10].