La fonction puissance et la racine n-ième - Lycée dAdultes
3 LA RACINE N-IEME 3 La racine n-ieme 3 1 Définition Définition 2 : On appelle racine n-ieme d’un nombre réel positif x, le nombre noté n √ x tel que : n >2 et n √ x =x 1 n Remarque : Pour x =0, on peut définir : n √ 0 =0 Exemple : √ 3 =312 et 5 √ 7 =715 Conséquence Pour x et y positifs, si xn =y alors x = n √ y 3 2
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Racine nième d’un complexe Chapitre VI : Polynômes et Fractions rationnelles Généralités sur les polynômes (définition, degré d'un polynôme, opérations sur les polynômes), Division euclidienne – Racines simples et racines multiples d'un polynôme factorisation d'un polynôme dans K[X] (K=R
L’ensemble des nombres complexes
D Racines nièmes d’un nombre complexe Soit n * et soit Z un complexe On appelle racine nième d u complexe Z tout nombre complexe solution de l’équation z Zn Si Z 0, alors z zn 0 0 Si Z 0, alors tout nombre complexe solution de l’équation z Zn est nécessairement non nul
Cours de Mathématiques TS - LeWebPédagogique
On obtient les n racines nième d’un nombre complexe non nul en multipliant l’une d’entre elle par les racines n ième de l’unité 3 ∀k ∈ [[0;n−1]],ω k =ω k
CH 2 –Géométrie : Equations complexes 4 Sciences Novembre
IV Racines nièmes d’un nombre complexe Définition Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soit Z ˛ £, on appelle racine nième du nombre complexe Z, tout nombre complexe z vérifiant : zn = Z Remarques • Si Z = 0 alors (zn = 0 Û z = 0) Þ 0 est l’unique racine nième de 0 • Si Z ˛£* alors Z = [r, q]
Bloc 3 Sens des nombres et des opérations (+- 9 cours)
- expressions exponentielles équivalentes (simplification d’expressions de même base) - simplification d’un radical entier en radicale mixte √- racine nième d’un nombre ( ) Rappelons que aa b b , x aay y x Exemples : 1) 10 10 5 2 2 2) 88 42 2 2 3) 4 34 4 34 34 2 2 17 2 2 222
Directory of Adult Family Homes in Racine County of Wisconsin
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Nombres complexes bt1 - École Polytechnique
EXERCICE 2 Soit ϕ réel ; z = cos 2 ϕ + i sin ϕ cos ϕ 1° Déterminer ϕ tel que z = 0 2° Si z ≠ 0, calculer z−1, z2, z−2, z3, z−3 SOLUTION 1°/ Détermination de ϕϕϕ
Guide dutilisation de STATA - ResearchGate
sqrt() racine carrée Ainsi dans la base de données fournie, si vous voulez passer toute la colonne des taux de change en log et ainsi d'une ariable v Après ,by il faut utiliser les deux
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DERNIÈRE IMPRESSION LE11 novembre 2017 à 18:29
La fonction puissance et
la racine n-ièmeTable des matières
1 Fonction puissance2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Étude de la fonction puissance3
2.1 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Limite en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Étude d"une fonction classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 La racinen-ieme7
3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Simplification et résolutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Croissance comparée7
4.1 Théorèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Cosinus et sinus hyperboliques : ch et sh10
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. FONCTION PUISSANCE
1 Fonction puissance
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction puissance d"un réelapositif, la fonctionfa définie surRpar :a>0fa(x) =ax=exlnaExemple :3⎷2=e⎷2ln3et 5-12=e-12ln5
Remarque :Il s"agit de la généralisation de la fonction puissance que l"on avait définie avec les entiers relatifs aux nombres réels . Cette généralisation se fait au détriment de l"ensemble de définitionR?+poura. En effet, on peut définir lapuissance entièred"un réel négatif ou nul mais lapuissance réellen"est pas définie pour toute valeur deaen raison de lnaqui est défini surR?+. (-3)5existe mais(-3)⎷2n"existe pas!
ConséquenceLa fonction puissance est strictement positive en raison de sa no- tation exponentielle. ?a?R?+,?x?R,ax>01.2 Propriétés
On retrouve les mêmes propriétés de la fonction exponentielle : Propriété 1 :Pour tous réels positifsaetb, on a les égalités suivantes pourxet yréels :lnax=xlna
(ab)x=ax×b
x1.3 Applications
Résoudre dansR: 2x=32x+1
Par croissance de la fonction exp surR:
e xln2=e(2x+1)ln3?xln2= (2x+1)ln3?x(ln2-2ln3) =ln3 x=ln3 ln2-2ln3?S=?ln3ln2-2ln3?Résoudre dansR:?13?
x =32Par croissance de la fonction exp surR:
PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE
exln13=eln32? -xln3=ln3-ln2?x=ln2-ln3ln3?S=?ln2-ln3ln3?Résoudre dansR:?1⎷3?
x ?3Par croissance de la fonction exp surR:
e xln1 ⎷3?eln3? -12xln3?ln3? -12x?1 car ln3>0?x?-2?S= [-2 ;+∞[
Résoudre dansR?+:x⎷2?1
2 Par croissance de la fonction exp surRet de la fonction ln surR?+: e ⎷2?S=]0 ;e-ln2
⎷2]2 Étude de la fonction puissance
2.1 Variation
Soit la fonctionfadéfinie surRpar :fa(x) =ax=exlna. Commeax=exlna,faest continue et dérivable surRpar composition de fonc- tions continues et dérivables surR. On a alors : f ?a(x) =lna×exlna=lna×ax Le signef?adépend donc du signe de lna. On a alors : Sia>1,?x?R,f?a(x)>0. La fonction puissance est croissante. Si 0a>1???lim
x→+∞xlna= +∞ lim x→+∞ex= +∞Par composition, on a
lim x→+∞ax= +∞De même, on montre que :
lim x→-∞ax=00De même, on montre que :
lim x→-∞ax= +∞PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE
2.3 Tableau de variation et courbe
a>1 x f ?a(x) f a(x) 00 0 1 1 a O 11 a 0Limite en+∞
limx→+∞2x= +∞ lim x→+∞x= +∞???Par produit
lim x→+∞x×2x= +∞ Limite en-∞. forme indéterminée : "∞×0 » On change la forme :f(x) =xexln2et l"on poseX=xln2, on a alors :Six→ -∞on a :X→ -∞
La fonction devient alors :
XeX ln2 or on sait que : limX→-∞XeX=0, donc on en déduit que : lim x→-∞x×2x=0 On en déduit une asymptote horizontale : l"axe des abscisses en-∞. Variation :f?(x) =exln2+xln2exln2= (1+xln2)2x.1)f?(x) =0?x=-1
ln2(≈ -1,44)PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE
2)?x?R, 2x>0 donc, signef?(x) =signe(1+xln2)
Tableau de variation.
x f ?(x) f(x) -∞-1ln2+∞ 0+ 00 -1eln2-1eln2 f? -1ln2? =-1ln2e-1 ln2ln2=-1eln2(? -0,53)La courbe
-11 231 2-1-2-3-4-5
O- 1 ln2 1 eln22.5 Étude d"une fonction classique
Soit la fonction définie surR+par :?f(x) =xxpourx>0 f(0) =1 Étude de la continuité en 0 :Pourx>0, on af(x) =exlnx, on a alors les limites suivantes : lim x→0+xlnx=0 lim x→0+ex=1???Par composition
lim x→0+xx=1Comme lim
x→0+xx=f(0), la fonction est continue en 0. Remarque :On dit que l"on a prolongé la fonctionfpar continuité en 0. Étude de la dérivabilité en 0 : il faut étudier le taux d"accroissementdef en 0.Pourh>0, on a :f(h)-f(0)
h=ehlnh-1hC"est une limite indéterminée du type "
00».
PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE
On pose :H=hlnh, sih→0 alorsH→0.
f(h)-f(0) h=eH-1H lnh=lnh×eH-1 H limH→0+e
H-1 H=1 et limh→0+lnh=-∞, d"où : limh→0+f(h)-f(0)h=-∞. fn"est pas dérivable en 0 maisCfpossède une tangente verticale en 0.Limite en l"infiniOn montre facilement par produit et composition que : limx→+∞xx= +∞