CHAPITRE Les puissances à exposants négatifs
Nous allons essayer de donner un sens à 2−3: c'est une puissance avec l'exposant négatif –3 Pour Pour cela, nous faisons l'hypothèse que la formule (4 3) reste valable pour tout entier relatif n
Puissance dun nombre avec un exposant positif ou négatif
Puissance d'un nombre avec un exposant positif ou négatif - 1 - I Puissances d’exposant entier positif 1 Définitions a un nombre relatif et n un entier positif non nul Le produit de n facteur égaux à a est noté an n facteurs a n a a a an est appelé une puissance du nombre a et le nombre n est appelé exposant an
Puissances de 10 d’exposant négatif Cours 4ème
2- Calculer avec des puissances de 10 Multiplier un nombre positif par 10 revient à rendre ce nombre plus petit en décalant la position de tous ses chiffres de n rangs vers la droite Exemples 62,8 10 0,006 28 5 147 205 10 51,472 05 Diviser un nombre par 10 revient à rendre ce nombre plus grand en
111 Puissances dexposant positif, nul ou négatif
Écris sous forme d’une puissance entière positive : 1 a−2 Correction 1 a−2 =a2 Méthode pour déterminer le signe d’une puissance Pour déterminer le signe d’une puissance : si a est positif alors an est positif Si a est négatif alors an est positif lorsque l'exposant n est pair, et négatif lorsque l'exposant n est impair
Notesdecours étape1 section1
7 Puissance d’une puissance Le résultat est la base affectée du produit des exposants (a m )n = a mn 1 (32)3 = 2 (8 5)2 = 3 (x4)2 Puissance avec exposant négatif
Interrogation de cours sur les puissances
Puissance d’exposant positif : Quel que soit le nombre a et quel que soit l’entier n supé-rieur à 1 : an = an se lit ou De plus a0 = et a1 = Puissance d’exposant négatif : Quel que soit le nombre a non nul et quel que soit l’entier n : a−n = Produit de deux puissances d’un même nombre : Le produit de deux puissances d’un
LES EXPOSANTS ET LES PARENTHÈSES - Corrigé RAS 9N1 Indicateur
Ceci est le même exemple que celui de la question 1 avec des parenthèses supplémentaires qui entourent toute la puissance Cela revient à dire qu’il faut d’abord calculer la puissance : 2 et le signe – sont répétés 4 fois ou encore (-2) doit être répété 4 fois ; La base est -2 ; La valeur de la puissance est 16
Et non, cest faux Les puissances (NC1)
127 est la puissance d'exposant 7 du nombre 12 Question 0: A quoi est égal 12 ? On a envie de dire que 120 = 0 Et non, c'est faux Voici l'explication : Ainsi pour tout nombre non nul a, a0 = 1 Exemples 104=10×10×10×10 se lit 10 exposant 4 52=5×5 se lit 5 exposant 2 ou 5 au carré 53=5×5×5 se lit 5 exposant 3 ou 5 au cube
LES EXPOSANTS ET LES PARENTHÈSES RAS 9N1 Indicateur
Ceci est le même exemple que celui de la question 1 avec des parenthèses supplémentaires qui entourent toute la puissance Cela revient à dire qu’il faut d’abord calculer la puissance : 2 et le signe – sont répétés 4 fois ou encore (-2) doit être répété 4 fois ; La base est -2 ; La valeur de la puissance est 16
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CHAPITRE 2
Les puissances à exposants négatifs
1. Introduction : les puissances de 2
Nous connaissons bien la notation
2n où n est un entier positif :
0 2 1= 1 2 2= 22 2 2 4= × =
32 2 2 2 8= × × =
42 2 2 2 2 16= × × × =
En général :
facteurs2 2 2 ... 2Nn
nn" Î = × × ×????? Remarquons qu"il y a une relation évidente entre deux puissances successives de 2. Par exemple :4 32 2 2= × ou encore :
4 3222=5 42 2 2= × ou encore :
3 2222=6 52 2 2= × ou encore :
6 5222=etc.
En général :
()* 12 2 2Nn nn-" Î = ×Ou encore : 1222
n n-=Nous allons essayer de donner un sens à
32- : c"est une puissance avec l"exposant négatif -3. Pour
cela, nous faisons l"hypothèse que la formule (4.3) reste valable pour tout entier relatif n. Nous
obtenons de cette façon le tableau suivant : n -3 -2 -1 0 1 2 3 2n 1 8 1 4 12 1 2 4 8
:2 :2 :2 :2 :2 :2Il est donc naturel de poser :
331 128 2
En d"autres termes :
32- est l"inverse de 32.
2Et en général :
( )122Nnnn-" Î = est l"inverse de 2n2. Définition et exemples
Définition. Soit
*RaÎ et NnÎ. na- est l"inverse de na. Donc : 1n naa Remarque. Dans la définition on doit choisir 0a¹ puisqu"en général 1 10 0n= n"existe pas !
Corollaire de la définition. Comme
na- est l"inverse de na, on peut dire également que na est l"inverse de na-. En d"autres termes : 1n naa-=Démonstration. 1 11n n n n
nna a a aa aExemples.
▪ Puissances de 3 111 133 3
221 133 9
331 133 27
▪ Puissances de -3 111 1 133 33-- = = = ---
221 1393
331 13273-- = = --
Remarquons que les puissances paires de -3 sont positives tandis que les puissances impaires de -3 sont négatives. Ceci est général :Signe d"une puissance. Soit
*RaÎ et ZnÎ. a) Si 0a> alors 0na>. b) (i) Si 0a< et n est pair alors 0na>. (ii) Si 0a< et n est impair alors 0na<. n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3n 1 81 127 1
9 1
3 1 3 9 27 81
n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ( )3 n- 1 81 127- 1
9 1
3- 1 -3 9 -27 81
33. Propriétés Pour commencer, rappelons les propriétés des puissances à exposants positifs:
()()*, ,R Na b n m" Î " ÎPuissance d"un produit : ( )
nn nab a b=Puissance d"un quotient :
nn na a b b Produit de puissances de même base : n m n ma a a+=Quotient de puissances de même base :
si1 si n m
n m m na n ma a n ma-Puissance d"une puissance : ()
mn nma a= Nous allons prouver que ces formules restent valables pour des exposants négatifs.· Puissance d"un produit
()( ) ( )*,R Z nn na b n ab a b" Î " Î =Démonstration. La formule est déja valable si NnÎ (voir cours de 6e). Il reste donc à démontrer la
formule si Zn-Î, c.-à-d. si n m= - avec NmÎ. Dans ce cas :1 par définition
1 formule pour exposants positifs 1 1 produit de deux fractions (voir cha p. 3) par définitionn m m m m m m m m n nab ab ab a b a b a b a b-Exemple.
33 3 312 2
8a a a
· Puissance d"un quotient
( )( )*,R Zn n na aa b nb bDémonstration. La formule est déja valable siNnÎ. Il reste donc à démontrer la formule siZn-Î,
c.-à-d. si n m= - avec NmÎ. Dans ce cas : 4 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 n m m m n m m m m m m n m a a b a aaab b a b b ba b b- avec : ()par définition* = ()** =formule pour exposants positifs ()*** = formule sur les fractionsExemple.
33 33 3 33 27
3 3x xx x
L"exemple suggère d"introduire une autre formule intéressante : ( )( )*,R Z n na ba b nb aDémonstration.
1 1 1 nnn n n n n n n na a b bbb b a b a a aExemple.
4 43 3xx· Produit de puissances de même base
()()*,R Zn m n ma n m a a a+" Î " Î =Démonstration. La formule est déja valable si NnÎ et NmÎ. Il reste donc à démontrer la formule
si Zn-Î ou si Zm-Î. Nous allons nous restreindre au cas ou NnÎ et Zm-Î, c.-à-d. "m m= - avec "NmÎ. Alors : ""d"après (4.11) " si "1 si "
n m n m n n m n m m m nn m n m m na a n maa a a aa a a a n ma- +Exemple.
( )5 85 8 331 12 2 2 22 8
· Quotient de puissances de même base
( )( )*,R Znn m maa n m aaDémonstration. ( )
par définition d"après (4.16)1 nn n m n m n m m maa a a a aa aExemple.
44 54 5
522 2 22
5· Puissance d"une puissance
*,R Z mn nma n m a a" Î " Î =Démonstration. La formule est déja valable si NnÎ et NmÎ. Il reste donc à démontrer la formule
si Zn-Î ou si Zm-Î. Nous allons nous restreindre au cas ou NnÎ et Zm-Î, c.-à-d. "m m= - avec "NmÎ. Alors : "1 1 m mn nnm nm mnmna a a aaa- Le lecteur est invité à démontrer la formule dans les autres cas.Exemple.
32 661 12 22 64
4. Notation scientifique
Dans les sciences, on rencontre souvent de très grands nombres ou encore des nombres très
proches de 0. Par exemple, la masse d"un électron est à peu près égale à m 0,000000000000000 000000000000000911 kge¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢=Quel travail que d"écrire ce nombre ! De plus, son développement décimal n"est pas très lisible : il
est en effet difficile de compter le nombre de zéros avant de rencontrer le premier chiffre significatif
c.-à-d. 9. Afin de bien comprendre la notation scientifique de ce nombre, nous allons d"abord étudier
les puissances de 10. n 0 1 2 3 4 5 610n 1 10 100 1000 10´000 100´000 1´000´000
On remarque que si
0n³, alors le développement décimal du nombre 10n est égal à 1 suivi de n
zéros. n -1 -2 -3 -4 -5 -610n 0,1 0,01 0,001 0,000´1 0,000´01 0,000´001
On remarque que si
0n<, alors le développement décimal du nombre 10n est égal à 0 suivi de la
virgule, puis de1n- zéros en enfin du 1. Retenons donc qu"il y a au total n zéros dans le
développement décimal de 10n. Après avoir compté 31 zéros dans le développement décimal de la masse me, on comprend aisément que : 31m 9,11 10 kge-= ×
C"est la notation scientifique de ce nombre. L"avantage de cette écriture est double : d"une part elle
est très condensée et d"autre part elle permet au lecteur de comparer très rapidement l"ordre de
grandeur de plusieurs nombres écrits en notation scientifique. Par exemple la masse du proton est 27m =1,672596 10 kgp-× La notation scientifique des deux nombres rend clair que m mp e> et même que m 1000 mp e> ×.
Exposants
positifsExposants
négatifs6Définition. Tout nombre réel non nul x peut s"écrire sous la forme
10nx a= ± × tel que :
et 1 10R Z a a n+ Cette écriture est appelée notation scientifique de x.Le fait important dans cette définition est que 1 10a£ <, c.-à-d. dans le développement décimal de
a, il y a exactement un chiffre devant la virgule.Autres exemples.
▪ La vitesse de la lumière dans le vide est à peu près égale à 8300000 km/s
300000000 m/s
3 10 m/s
c¢=300´000 km/s
▪ Le nombre d"atomes contenues dans une mole d"un élément est égal à 221 mole 6,022045 10 particules= × (nombre d"Avogadro)
▪ La constante de gravitation universelle1 vaut environ ()11 3 26,67 10 m / kg sg-= × ×Nous allons finalement nous intéresser au problème de la transformation d"un nombre en notation
scientifique.