TRIGONOMÉTRIE (Partie 1)

aurait mesuré l’angle entre les rayons solaires et la verticale : un angle évalué à environ 1/50e d’angle plein (un angle plein est un angle de 360 degrés), soit par une mesure directe avec un goniomètre, soit par une comparaison entre l’ombre d’un gnomon planté verticalement au sol et le gnomon lui-même

Exo7 - Cours de mathématiques

les deux tables de vérités et comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes P \ Q V F V F V F V V FIGURE 1 6 – Tables de vérité de « non(P et Q) » et de « (non P) ou (non Q) » 6 On fait la même chose mais il y a trois variables : P, Q, R On compare donc les tables de vérité

Trigonométrie - maths-francefr

Théorème 1 Tout angle orienté admet une et une seule mesure dans l’intervalle [0,2π[, appelée mesure principale de l’angle orienté Parmi toutes les mesures d’un angle orienté, il en est une et une seule qui appartient à [0,2π[ Cette mesure est la mesure principale de cet angle orienté

TRIGONOMÉTRIE (Partie 1)

On appelle radian, noté rad, la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 du cercle 4) Correspondance degrés et radians Ainsi, à 2p radians (tour complet), on fait correspondre un angle de 360° Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes : Angle en degré 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360°

Exercices supplémentaires : Trigonométrie

Exercices supplémentaires : Trigonométrie Partie A : Cercle trigonométrique, cosinus et sinus Exercice 1 Angle en ° 60 150 10 12 198 15

Première S - Cosinus et sinus d’un nombre réel

Les cosinus de noté cos est l’abscisse du point M Le sinus de noté sin est l’ordonnée du point M Exemples : Le nombre 6 a pour image le point J de coordonnées (0 ; 1) donc cos 6 = 1 et sin 6 = 0 Le nombre è a pour image le point K de coordonnées (-1 ; 0) donc cos = -1 et sin è = 0

Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une

représente le quart de la longueur du demi-cercle de rayon 1; D'où la position de P au quart de du demi-cercle en partant de B Pour construire P , il faut tracer un angle BOP de 45° On peut par exemple : - soit tracer une perpendiculaire [Oz) en O à (BC) et tracer au compas la bissectrice de l’angle BÖ Oz qui coupe le cercle en P ;

CHAPITRE I : FORCES ET MOUVEMENTS

de B vaut 150[km], quelle a été en [m/s] sa vitesse moyenne ? 2) Quelle distance a parcouru un piéton qui marche à la vitesse moyenne de 4,2[km/h] pendant 10 minutes ? 3) La période de rotation diurne de la Terre est de 24 heures Quelle est donc, en [km/h], la vitesse d’un point situé à l’équateur ?

La fonction dérivée

f0qui a tout x associe son nombre dérivé est appelée fonction dérivée de f Remarque : Le but dans le paragraphe suivant sera de déterminer les fonc-tions dérivées des fonctions élémentaires puis d’établir des règles aﬁn de pouvoir déterminer la dérivée d’une fonction quelconque 4 2 Fonction dérivée des fonctions

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES - Chapitre 1/2

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/wJjb3CSS3cg

Il faut remonter jusqu'aux babyloniens, 2000 ans avant notre ère, pour trouver les premières traces

de tables de données astronomiques. Car à la base, la trigonométrie est une géométrie appliquée à

l'étude du monde, de l'univers et est indissociable de l'astronomie. Mais on attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120) les premières tables trigonométriques. Elles font correspondre l'angle au centre et la longueur de la corde interceptée dans le cercle. Le grec Claude Ptolémée (90? ; 160?) poursuit dans l'Almageste les travaux d'Hipparque avec une meilleure précision et introduit les premières formules de trigonométrie. Plus tard, l'astronome et mathématicien Regiomontanus (1436 ; 1476), de son vrai nom Johann Müller (ci-contre) développe la trigonométrie comme une branche indépendante des mathématiques. Il serait à l'origine de l'usage systématique du terme sinus. Au XVIe siècle, le français François Viète (1540 ; 1607), conseiller d'Henri IV, fera évoluer la trigonométrie pour lui donner le caractère qu'on lui connaît aujourd'hui.

De nos jours, la trigonométrie trouve des applications très diverses, particulièrement dans les

sciences physiques. La propagation des ondes, par exemple, est transcrite par des fonctions trigonométriques.

Partie 1 : Cercle trigonométrique et radian

1) Le cercle trigonométrique

Définition : Sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Définition :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé

et orienté dans le sens direct, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. 2

2) Enroulement d'une droite autour du cercle trigonométrique

Dans le repère orthonormé

, on considère le cercle trigonométrique et une droite (��) tangente au cercle en �� et orientée telle que soit un repère de la droite. Si l'on " enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point �� d'abscisse �� de la droite orientée un unique point �� du cercle.

La longueur de l'arc ��

est ainsi égale à la longueur On a ainsi défini un repérage sur le cercle.

3) Le radian

Propriété :

La longueur du cercle trigonométrique est égale à 2p. En effet, son rayon est 1 donc P = 2pR = 2p×1 = 2p. Ainsi, à un tour complet sur le cercle, on peut faire correspondre le nombre réel 2p. On définit alors une nouvelle unité d'angle : le radian, tel qu'un tour complet mesure 360° ou 2p radians.

4) Correspondance degrés et radians

Ainsi, à 2p radians (tour complet), on fait correspondre un angle de 360°. Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes : Méthode : Passer des degrés aux radians et réciproquement

Vidéo https://youtu.be/-fu9bSBKM00

1) Donner la mesure en radians de l'angle de mesure 33°.

2) Donner la mesure en degrés de l'angle de mesure

radians.

Angle en degré

0°

30°

45°

60°

90° 180° 360°

Angle en radian 0

6 4 3 2 p 2p 3

Correction

1) ?=33×

2) ?= = 67,5°

Partie 2 : Mesure d'un angle orienté

1) Lire sur le cercle trigonométrique

Exemple :

On a représenté ci-dessous des mesures remarquables sur le cercle trigonométrique.

Par exemple,

correspond à l'angle droit, soit 90°. Mais il est possible de faire la lecture dans l'autre sens (le sens négatif ou indirect), ce qui donne -

3��

Les mesures

et -

3��

2 sont donc associées à un même point sur le cercle.

Radians

2��

3��

Degrés 360° 33° ?

Comme la lecture s'effectue sur un cercle, il est

également possible de faire plusieurs fois le tour.

Cela qui donne par exemple

en effectuant un tour supplémentaire.

Les mesures

et sont donc associées à un même point sur le cercle. Méthode : Lire une valeur sur le cercle trigonométrique

Vidéo https://youtu.be/NGZKQf9eLyg

Lire sur le cercle trigonométrique le nombre associé au point A : a) Sur l'intervalle [0;2��]. b) Sur l'intervalle [-��;��].

Correction

a) Sur l'intervalle [0;2��], le nombre associé au point A est

En effet,

appartient bien à l'intervalle [0;2��].

On compte " 5×

dans le sens direct. 5 b) Sur l'intervalle [-��;��], le nombre associé au point A est -

3��

En effet, -

3��

4 appartient bien à l'intervalle [-��;��]. Méthode : Placer un point sur le cercle trigonométrique

Vidéo https://youtu.be/7VAFJXLB9u0

Placer sur le cercle trigonométrique :

a) Le point A associé au nombre b) Le point B associé au nombre c) Le point C associé au nombre d) Le point D associé au nombre -

9��

Correction

On compte " 3× -

4 dans le sens indirect. 6 b)

9��

8��

4 4 =2��+ 4 correspond à un tour complet dans le sens direct + Le point B a la même position sur le cercle que le point associé à c)

8��

6��

2��

3 =2��+

2��

3 correspond à un tour complet dans le sens direct + Le point C a la même position sur le cercle que le point associé à d)-

9��

8��

2 2 =-4��- 2

9��

2 correspond à deux tours complets dans le sens indirect - 2 Le point D a la même position sur le cercle que le point associé à - 2

2) Mesure principale d'un angle orienté (non exigible)

On a vu qu'un point sur le cercle trigonométrique peut être associé à plusieurs valeurs. Définition : La mesure principale d'un angle orienté est la mesure, qui parmi toutes les autres, se situe dans l'intervalle

Exemple :

Une mesure d'un angle est

D'autres mesures sont :

0" - 2p ; 0" - 4p ; 0" - 6p ; ... soit : - 4

9��

17��

4 4 est la mesure principale de cet angle car c'est la seule comprise dans l'intervalle 7 Méthode : Donner la mesure principale d'un angle (non exigible)

Vidéo https://youtu.be/BODMdi2S3rY

Donner la mesure principale de l'angle

$0"

Correction

- On choisit un multiple de 4 proche de 27, soit 28 :

27��

28��

4 4 =7��- 4 - Dans , on fait apparaître un multiple de 2��, soit 6�� :

27��

4 =6��+��- 4 =6��+

4��

4 4 =6��+

3��

6�� correspond à 3 tours entiers.

est bien compris dans l'intervalle

La mesure principale de

$0" est 7πquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] TRIGONOMÉTRIE (Partie 1)

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES - Chapitre 1/2

Partie 1 : Cercle trigonométrique et radian

1) Le cercle trigonométrique

Définition :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé

2) Enroulement d'une droite autour du cercle trigonométrique

Dans le repère orthonormé

La longueur de l'arc ������

3) Le radian

Propriété :

4) Correspondance degrés et radians

Vidéo https://youtu.be/-fu9bSBKM00

1) Donner la mesure en radians de l'angle de mesure 33°.

2) Donner la mesure en degrés de l'angle de mesure

Angle en degré

30°

45°

60°

90° 180° 360°

Angle en radian 0

Correction

1) ?=33×

Partie 2 : Mesure d'un angle orienté

1) Lire sur le cercle trigonométrique

Exemple :

Par exemple,

3���

Les mesures

3���

Radians

2���

3���

Degrés 360° 33° ?

Comme la lecture s'effectue sur un cercle, il est

Cela qui donne par exemple

Les mesures

Vidéo https://youtu.be/NGZKQf9eLyg

Correction

En effet,

On compte " 5×

3���

En effet, -

3���

Vidéo https://youtu.be/7VAFJXLB9u0

Placer sur le cercle trigonométrique :

9���

Correction

On compte " 3× -

9���

8���

8���

6���

2���

2���

9���

8���

9���

2) Mesure principale d'un angle orienté (non exigible)

Exemple :

Une mesure d'un angle est

D'autres mesures sont :

9���

17���

Vidéo https://youtu.be/BODMdi2S3rY

Donner la mesure principale de l'angle

Correction

27���

28���

27���

4���

3���

6��� correspond à 3 tours entiers.

La mesure principale de

La longueur de l'arc ��

3��

3��

2��

3��

3��

3��

9��

9��

8��

8��

6��

2��

2��

9��

8��

9��

9��

17��

27��

28��

27��

4��

3��

6�� correspond à 3 tours entiers.