Suites et séries numériques - PSI Fabert
Les suites (u 4n+1) et (u 4n+3) sont les suites extraites de rangs pairs et impairs respectivement de la suite (u 2n+1) Elles convergent et ont même limite car L 2 = L 3 = L 4 donc la suite (u 2n+1) converge et a pour limite L 2 = L 3 = L 4 La suite (u 10n) est extraite de (u 2n) et de (u 5n) donc L 1 = L 4 Finalement, limu 2n = L 1 = L 4
Lycee´ Thiers - MPSI-3
FX 9 - BORNE SUP & INF, SUITES EXTRAITES 2 Ex † Soit A une partie de R;contenant au moins deux éléments On suppose que A est majorée et l’on
Suites réelles et complexes
3 On suppose que les suites extraites (u2n)nPN, (u2n+1)nPN et (u3n)nPN convergent La suite u converge-t-elle? Exercice 225 On introduit les suites u et v de termes généraux respectifs un = ÿn k=1 1 k2 et vn = un + 1 n 1 Montrer que les suites u et v sont adjacentes Qu’en déduit-on? 2
SUITES NUMERIQUES EXOS CORRIGES - AlloSchool
SUITES NUMERIQUES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1 Les suites (un) sont définies par un = f (n) Donner la fonction numérique f correspondante, indiquer le terme initial de la suite, puis calculer les termes u3 et u8 1) 1 2 2 − + = n n un 2) un n 3n = 2 − 3) cos n 2 n u π = Exercice n°2
SCILAB : Algorithmes d’Analyse à Connaître par Coeur 1
Question posée : que pouvez-vous conjecturer sur les suites extraites (Z 2n) n2N et (Z 2n+1) n2N? On peut conjecturer que les suites extraites (z 2n) et (z 2n+1) sont adjacentes et que la suite (z n) converge Exercice : Ecrire un programme permettant de conjecturer graphiquement la limite éventuelle de la suite (u n) n2N définie par u 0 = 2
COLLE 13 Mathématiques
Définition de suites extraites d’une suite Si une suite possède une limite (finie ou infinie) alors toutes suites extraites possèdent la même limite Brève extension aux suites complexes Convergence d’une suite complexe Traduction à l’aide des parties réelles et imaginaire Suites complexes bornées ; toute suite complexe
Screenshot 2020-12-18 at 1819 - Misterprepa
Montrer que les suites (S2n)71EN et (S2n+1)nEN sont adjacentes et en déduire la convergence de ces suites Exercice 2 (lemme) Soit (vn)n€N une suite réelle quelconque Montrer que si les deux suites extraites (v2n)n€N et convergent vers une même limite notée l, alors la suite (vn)nEN converge vers l En déduire que la série
Programme - 17 - Weebly
— Suites extraites; lien avec la convergence de (u n) — Limites et opérations : tout comme en Terminale Le calcul des limites des expressions explicites de nn’est pas un objectif de ce chapitre; on se contente de ce qu’on a appris au lycée — Caractérisation séquentielle des bornes — Limites et inégalités : gendarmes and Co
Programme du 11 janvier au 15 janvier
Que peut-on affirmer si les suites extraites(u2n)nPN et (u2n+1)nPN convergent vers une même limite? Démontrer ce résultat Programme du 18 janvier au 22 janvier Suites réelles et complexes Vocabulaire général sur les suites (suite monotone, suite bornée, etc ) Convergence et divergence des suites réelles, opérations sur les limites
Programme de colle 5 Semaine du 02 au 06 Octobre 2020
Th eor eme des deux suites extraites 2 Exercices sur la r esolution de syst emes lin eaires Vocabulaire du syst eme lin eaire Application (rigoureuse) de l’algorithme du pivot de Gauss sur des syst emes avec ou sans param etre(s) Nombre de solutions Syst eme de Cramer 3 Exercices sur les sommes doubles Sommes sur un rectangle
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SCILAB : Algorithmes d"Analyse à Connaître par Coeur
1) Conjecture graphique de la limite d"une suite
Pour une suite(un)n2Ndéfinie en fonction denou par récurrence, le principe de cet algorithme est ultra simple :
représenter en abscisses les nombres entiers 0,...,n et en ordonnées la valeuruncorrespondante et "voir" si les termes
semblent tendre vers une valeur donnée lorsquendevient grand Premier exemple : suite de terme généralun=2+1n+1Cette suite converge bien entendu vers 2Deuxième exemple :u0=2,8n2N,un+1=12
(un+1u n)On peut conjecturer que cette suite divergeSCILAB - Chapitre 3 - ANALYSE Page 1/ 9
Troisième exemple :u0=2,u1=1,8n2N,un+2=2un+13unOn peut conjecturer que cette suite diverge Quatrième exemple (ORAL HEC : QSP)Soit(zn)n2Ndéfinie par8n2N,zn=nå k=1(1)kk Question posée: que pouvez-vous conjecturer sur les suites extraites(Z2n)n2Net(Z2n+1)n2N?On peut conjecturer que les suites extraites(z2n)et(z2n+1)sont adjacentes et que la suite(zn)converge
Exercice: Ecrire un programme permettant de conjecturer graphiquement la limite éventuelle de la suite(un)n2N
définie paru0=2 et8n2N,un+1=un+1nRemarque : cette suite diverge trivialement car sa nature est la même que celle de la série de terme général
u n+1un(voir cours d"analyse) or un+1un=1nqui est le terme général de la série harmonique divergenteSCILAB - Chapitre 3 - ANALYSE Page 2/ 9
2) Calcul du n-ième terme d"une suite (déjà vu en exercice chapitre 2)
ATTENTION: bien distinguer le cas où on vous demande de calculer TOUS les termes jusqu"à l"ordrende celui où
on vous demande de calculer juste le terme d"ordren. Dans le premier cas, il faudra crée un vecteurUàn+1 cases
(si la suite démarre à l"ordre 0) qui stockera les valeurs de chaque terme. Dans le second cas, on utilisera une seule
variableudans tout le calcul (cas des suites récurrentes)Premier exemple : suite "un=f(n)"Trivial ... Considérons la suite(un)n2Ndéfinie par8n2N,un=(1)nn+1Deuxième exemple : suites récurrentesun+1=f(un)Considérons la suite(un)n2Ndéfinie paru0=2 et8n2N,un+1=(1)nu
nTroisième exemple : suites récurrentes linéaires d"ordre 2On va faire la version où on ne veut que le terme d"ordren.u0=2,u1=1,8n2N,un+2=2un+13unSCILAB - Chapitre 3 - ANALYSE Page 3/ 9
Quatrième exemple : suites croisées (sans recours au calcul matriciel) On considère les suites(un)n2Net(vn)n2Ndéfinies par les relations suivantes : u0=1,v0=2
8n2N,un+1=un2vnetvn+1=un+vn
On souhaite calculervnpour unndonnéExercices
1. Ecrire un programme permettant de calculer le terme d"ordren(pourn3) de la suite(un)n2Ndéfinie par
u0=1,u1=2,u2=1 et8n2N,un+3=2un+23un+1+un
2. Ecrire un programme permettant de calculer le terme d"ordren(pourn2) de la suite(un)n2Ndéfinie par
u0=1,u1=2 et8n2N,un+2=2un+13un+(1)nn+1
3) Calcul de la valeur approchée de la limite d"une suite ou de la somme d"une sérieDe nombreux exercices de concours demandent de compléter des programmes permettant de calculer une valeur
approchée àeprès donné de la limite d"une suite convergente ou de la somme d"une série convergente ou alors de
trouver le plus petit indicenpour lequel l"écart à la limite vaut unedonné. Dans ce genre d"exercice, on va bien
entendu devoir utiliserune boucle whilePremier exemple:
Soit(un)n2Nla suite définie paru0=1 et8n2N,un+1=12 (un+2un). Cette suite est décroissante et converge versp2. Ecrire un programme qui calcule et affiche le plus petit indicenà partir duqueljunp2j<105Deuxième exemple: (EDHEC 2016)
L"exercice fait étudier une suite implicite(un)n2Net fait démontrer que8n2N, on a 0unnen. On demande
d"écrire un programme permettant de trouverntel queunn104Comme la suite n"a pas d"expression explicite, on va juste chercher unn(le premier) tel queen104SCILAB - Chapitre 3 - ANALYSE Page 4/ 9
4) Calcul approché d"une intégrale
4.1) Par la méthode des rectangles(sommes de Riemann)
On rappelle que sifest une fonction continue sur un intervalle[a;b]alors : lim n!+¥1n n1å k=0f(a+k(ba)n ) =bR af(t)dt(rectangles à gauche) lim n!+¥1n nå k=1f(a+k(ba)n ) =bR af(t)dt(rectangles à droite) Premier Exemple: écrire un programme qui permet de calculer une valeur approchée de 1R0dt1+t2Deuxième exemple: écrire un programme qui donne le nombre minimal de rectangles à mettre en oeuvre pour
obtenir une valeur à 104près de1R
0dt1+t. Cette intégrale vaut bien entenduln2 ...Exercice: écrire un programme permettant de calculer une valeur approchée de
3R1dtp1+t2
4.2) Méthode de Monte CarloVOIR CHAPITRES RELATIFS AUX PROBAS
SCILAB - Chapitre 3 - ANALYSE Page 5/ 9
5) Résolution d"une équation par dichotomie
On considère une fonctionfstrictement croissante sur un intervalle[a;b]telle quef(a)<0 etf(b)>0. Le
théorème de la bijectionnous permet d"écrire :9!c2[a;b],f(c) =0. On se propose de trouver cet uniquecpar la
méthode dite de dichotomie On coupe l"intervalle[a;b]en 2 parties égales en posantc=a+b2 . Sif(c) =0, cool, on a déjà trouvé la solution.Sinon, sif(c)<0 alors par croissance de la fonction et théorème de la bijection, la solution de l"équationf(x) =0
est dans[c;b]sinon elle est dans[a;c]On va donc chercher cette solution dans ce nouvel intervalle, le couper en 2 et réitérer le processus ...
Comme il faut bien s"arrêter un jour, on va utiliser la longueur de l"intervalle comme critère d"arrêt. On constate qu"à
chaque itération, l"intervalle de recherche voit sa longueur divisée par 2. Donc au bout denitérations, l"intervalle de
recherche a une longueur égale à ba2 n. On va utiliser cette longueur comme critère de précision de la solution trouvée.Exemple: l"équationx23=0 admet comme solution surR+le réelp3. Ecrire un programme qui permette de
trouver une approximation à 106près de cette solution. On utilisera le fait que 1p32Exercice: écrire un programme donnant une valeur approchée à 10
6près de l"unique solution sur[0;1]de
l"équation :x3x23x+2=0. Vous admettrez que la fonction est strictement décroissante sur[0;1]SCILAB - Chapitre 3 - ANALYSE Page 6/ 9
ANNALES DE CONCOURS
1.Extrait d"une QSP HEC 2017 :
Ecrire un programme Scilab permettant de représenter la fonction partie entière sur l"intervalle[2:5;2:5]
2.Extrait d"un exercice principal d"oral HEC 2017 :
En admettant acquis les résultats des questions b) ainsi que 5 a) répondre à la question Scilab3.QSP HEC 2018 en entier :SCILAB - Chapitre 3 - ANALYSE Page 7/ 9
4.EDHEC 2019 :
En admettant la formule donnée à la question 5b), répondre à la question Scilab5.EM Lyon 2019:SCILAB - Chapitre 3 - ANALYSE Page 8/ 9