[PDF] Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie

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• L'angle (⃗u,⃗v) formé par les deux vecteurs ⃗OA et ⃗OB est un angle orienté (On tourne de ⃗OA vers ⃗OB), alors que l'angle (⃗v,⃗u) est un angle orienté de sens contraire Donc : (⃗u,⃗v)=−(⃗v,⃗u) 1ère S – Ch6 Angles orientés – Trigonométrie Abdellatif ABOUHAZIM

ANGLES ORIENTÉS – TRIGONOMÉTRIE – 1 PARTIE – 1ÈRE

ANGLES ORIENTÉS – TRIGONOMÉTRIE – 2NDE PARTIE – 1ÈRE S 1 Mesure d'un angle orienté On rappelle qu'un angle orienté est un angle formé par deux vecteurs non nuls

ANGLES ORIENTÉS - TRIGONOMETRIE

Angle orienté et angle géométrique Propriété Soit O, M et N trois points du plan distincts deux à deux Si α est la mesure principale de l’angle orienté (−−→ OM, −−→ ON), alors la mesure en radians de l’angle géométrique MON÷ est α La mesure en radians d’un angle géométrique est comprise entre 0 et π III

Angles orientés, cours, première S

appartient ce qui signi e que l'angle orienté admet une et une seule mesure entre ˇet ˇ Exemple : [Déterminer la mesure principale d'un angle orienté] On considère un angle orienté de mesure 25ˇ 6 On a 25ˇ 6 +2ˇ= 25 ˇ 6 + 12ˇ 6 = 13 6 Mais 13ˇ 6 2=] ˇ;ˇ] 25ˇ 6 +2 2ˇ= +25ˇ 6 24ˇ 6 = ˇ 6 2[ ˇ; ] Donc ˇ 6 est la mesure

TRIGONOMÉTRIE - maths et tiques

Définition : Une mesure de l'angle orienté u;v () est y – x Propriété : On note α une mesure de l'angle orienté u;v () Toute mesure de l'angle orienté u;v () est de la forme α+2kπ où k est un entier relatif Démonstration : On fait correspondre le point M du cercle à deux points d'abscisses x et x' de la droite d

Première S Cours angles orientés - trigonométrie I Repérage

Première S Cours angles orientés - trigonométrie 2 II Mesure d'un angle orienté Définition : angle orienté Soit uet v deux vecteurs non nuls On définit les points M et N tels que OM et ON sont leurs représentants respectifs d'origine O Soit M' et N'les points d'intersection des demi-droites [OM) et [ON) avec le cercle trigonométrique

Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie

3 3 Mesure d’un angle orienté Pour mesurer un angle orienté, il faut une unité (degré ou radian) et un sens de parcours Un même angle peut avoir des mesures différentes, comme dans la figure ci-dessus Ces mesures sont alors équivalentes Elles sont égales à 2π près, on dit alors qu’elles sont égales modulo 2π

Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie

Dans chaque cas, trouver la mesure principale de l’angle orienté de mesure α donnée : a) α = 7π 2 b) α = − 4π 3 c) α = 35π 6 d) α = − 21π 4 e) α = 202π 3 f) α = 330˚ Propriétés des angles orienté Exercice24 On donne la mesure de l’angle orienté suivant : (~u , ~v) = − π 6 Donner la mesure de chacun des angles

Première S - Cercle trigonométrique et mesures d’angles

IV) Mesure d’un angle quelconque On considère le cercle trigonométrique (C) et la tangente (d) en I (voir dessin ci-dessous) On munit (d) d’un repère (I ; & ) 1) Propriété : Pour tous nombres réels et , l’angle y { z ã mesure F radian(s) Remarque : Ce n’est pas la seule mesure de cet angle

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DERNIÈRE IMPRESSION LE21 février 2017 à 10:56

Vecteurs et colinéarité.

Angles orientés et trigonométrie

Table des matières

1 Rappels sur les vecteurs2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Opérations sur les vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Colinéarité de deux vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Géométrie analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Équation cartésienne d"une droite5

2.1 Vecteur directeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Équation cartésienne d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Équation réduite d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Angles orientés7

3.1 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Mesure d"un angle orienté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Trigonométrie9

4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Relations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.5 Lignes trigonométrie dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PAUL MILAN1PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

1 Rappels sur les vecteurs

1.1 Définition

Définition 1 :Un vecteur?uou-→AB est défini par :

•une direction (la droite (AB)).

•un sens (de A vers B)

•Une longueur : la norme du vecteur

?u?ou AB Égalité de deux vecteurs-→AB=--→CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme. ?A? B C? D

1.2 Opérations sur les vecteurs

1.2.1 Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs est définie par la relation de chasles : --→AC=-→AB+-→BC

Cette relation permet de décomposer

un vecteur.

On a l"inégalité triangulaire :

?u+?v????u?+??v? ?u? v u+?v A? B C

Construction de la somme de deux vec-

teurs de même origine.

On effectue un parallélogramme, afin

de reporter le deuxième vecteur per- mettant d"appliquer la relation de

Chasles.

--→OA+-→OB ?O? A B? C

Propriété 1 :La somme de deux vecteurs :

•Est commutative :?u+?v=?v+?u

•Est associative :(?u+?v) +?w=?u+ (?v+?w) =?u+?v+?w •Possède un élélment neutre?0 :?u+?0=?u •tout vecteur possède un opposé-?u:--→AB=-→BA

PAUL MILAN2PREMIÈRE S

1. RAPPELS SUR LES VECTEURS

1.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire

Lorsqu"on multiplie un vecteur par un

réelk, appelé scalaire, le vecteur ainsi formék?uest tel que :

•Sa longueur est multiplié par|k|

•Sik>0 son sens est inchangé

•Sik<0 son sens est inversé.

•Sik=0 on a : 0?u=?0

3

2-→AB

-2-→ABB A Propriété 2 :Bilinéarité. La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l"addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels.

•k(?u+?v) =k?u+k?v•(k+k?)?u=k?u+k??v

1.3 Colinéarité de deux vecteurs

Définition 2 :On dit que deux vecteurs?uet?vsont colinéaires, si et seulement si, il existe un réelktel que :?v=k?u Remarque :Le vecteur nul?0 est colinéaire à tout vecteur car :?0=0?u Propriété 3 :La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l"alignement. -→AB et--→CD colinéaires?(AB)//(CD) -→AB et--→AC colinéaires?A, B, C alignés

Exemple :Voir figure ci-contre :

Soit ABC un triangle, E, I et F tels que :

AE=1

3-→BC ,-→CI=23-→CB et

AF=1

3--→AC .

Démontrer que I, E et F sont alignés

A B CE I F Exprimons-→EI et-→EF en fonction de-→AB .

•-→CI=2

3-→CB donc-→BI=13-→BC .

On en déduit que

-→AE=-→BI donc que AEIB est un parallélogramme. On a alors :-→EI=-→AB

PAUL MILAN3PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

•De plus :-→EF=-→EA+-→AF=13-→CB+13--→AC=13(--→AC+-→CB) =13-→AB

On en déduit alors :

-→EF=1

3-→EI . Les vecteurs-→EF et-→EF sont colinéaires et donc

les points E, F et I sont alignés.

1.4 Géométrie analytique

Propriété 4 :Mis à part les calculs de distance qui exige un repère orthonormé, les formules suivantes sont valable dans tout repère. •Soit deux points A(xA;yA)et B(xB;yB), les coordonnées du vecteur-→AB vérifient :-→AB=?xB-xA;yB-yA? •Soit deux points A(xA;yA)et B(xB;yB), les coordonnées du milieu I du seg- ment [AB] vérifient :

I=?xB+xA

2;yB+yA2?

•On appelle déterminant de deux vecteurs?u(x;y)et?v(x?;y?), le nombre : det(?u,?v) =????x x? y y =xy?-x?y •Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si, leur déterminant est égale à 0 uet?vcolinéaires?det(?u,?v) =0 •Dans un repère orthonormal, la norme d"un vecteur?uet la distance entre les points A(xA;yA)et B(xB;yB)vérifient : ?u||=? x2+y2et AB=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2 Exemples :Dans un repère orthonormé(O,?ı,??)

1) Soit A(1; 4) et B(-5; 2). Calculer les coordonnées de-→AB de I =m[AB] et la

longueur AB -→AB= (-5-1 ; 2-4) = (-6 ;-2)et I =?1-5

2;4+22?

= (-2 ; 3) AB = (-6)2+ (-2)2=⎷40=2⎷10

2) On donne

?u(2 ; 3)et?v(3 ; 4). Les vecteurs?uet?vsont-ils colinéaires? det(?u;?v) =????2 33 4???? =8-9=-1. Comme det(?u;?v)?=0 les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Dans un repère quelconque

ABCD est un parallélogramme. M, N, Q sont tels que : --→DM=4

5--→DA ,--→AN=34-→AB ,--→CQ=23--→CD

PAUL MILAN4PREMIÈRE S

2. ÉQUATION CARTÉSIENNE D"UNE DROITE

La parallèle à (MQ) menée par N coupe BC en P. Déterminer le coefficientkde colinéarité tel que-→BP=k--→AD .

Faisons une figure, en prenant comme

repère(A;-→AB ,--→AD): D"après l"énoncé les coordonnées de M,

N et Q sont :

M 0;1 5? , N?34;0? , Q?13;1?

P est sur (BC), son abscisse est 1.

A B CD ?M N? Q

P? ? ?

De plus commekest tel que :-→BP=k--→AD , son ordonnée vautk.

Les coordonnées de P sont : P(1;k)

Comme (NP)//(MQ), le déterminant de

--→MQ et--→NP est nul, on a :

3-0 1-34

1-1

5k-0???????

314
4 =0 k

3-15=0?k3=15?k=35

2 Équation cartésienne d"une droite

2.1 Vecteur directeur

Définition 3 :Soit une droiteddéfinie par deux points A et B. Un vecteur directeur ?ude la droitedest le vecteur-→AB . Remarque :Le vecteur?un"est pas unique, car 2 points quelconques de la droite définissent un vecteur directeur. Si ?uet?vsont deux vecteurs directeurs de la droited, alors les vecteurs?uet?vsont colinéaires. On a donc det(?u,?v) =0. Exemple :Soit la droite (AB) définie par : A(3 ;-5)et B(2 ; 3)

Le vecteur

-→u=-→AB est un vecteur directeur de la droite (AB), on alors : u=(2-3 ; 3-(-5))= (-1 ; 8) Théorème 1 :Une droite est entièrement définie si l"on connaît un point A et une vecteur directeur ?u. Démonstration :La démonstration est immédiate car à partir du point A et du vecteur directeur ?u, on peut déterminer un autre point B tel que :?u=-→AB

PAUL MILAN5PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

2.2 Équation cartésienne d"une droite

Théorème 2 :Toute droiteddu plan peut être déterminée par une équation de la formeax+by+c=0, avecaetbnon tous les deux nuls. Une telle équation est appeléeéquation cartésiennede la droited. Réciproquement une équation du typeax+by+c=0 définie une droite de vecteur directeur ?u(-b;a) Démonstration :Soit la droitedpassant par le point A(xA;yA)et de vecteur directeur ?u(-b;a). Soit un point quelconque M(x;y)de la droited. On a alors--→AM et?ucolinéaires. Leur déterminant est alors nul. On a :--→AM= (x-xA;y-yA), donc : det(--→AM ,?u) =0?????x-xA-b y-yAa???? =0? a(x-xA) +b(y-yA) =0?ax+by-(axA+byA) =0

On posec=-(axA+byA), on a donc :ax+by+c=0

Réciproquement :Soitl"équationax+by+c=0.Deuxcaspeuventseprésenter •a=0 oub=0, on obtient respectivementy=-cbetx=-caqui sont respectivement une droite horizontale et une droite verticale. •Sia?=0 etb?=0 on peut déterminer deux points de cette équation en pre- nant respectivementx=0 ety=0. On obtient alors les points A? 0 ;-c b? et B? -c a; 0? on obtient alors le vecteur directeur-→AB=? -ca;cb? . Vérifions que ce vecteur -→AB est colinéaire au vecteur?u(-b;a) det(-→AB ;?u) =???????- c a-b c ba??????? =-c+c=0 Exemple :Soit la droiteddéfinie par les point A(2 ; 3)et?u(-2 ; 1). Déterminer une équation cartésienne de la droited.

En posant M(x;y), on a :

det(--→AM ,?u) =0?????x-2-2 y-3 1???? =0?(x-2) +2(y-3) =0 x+2y-2-6=0?x+2y-8=0 ?L"équation cartésienne d"une droite n"est pas unique. On peut toujours multi- plier les coefficients par un facteurknon nul. Par exemple, on peut trouver pour la droite de l"exemple :-2x-4y+16=0 en multipliant par(-2).

PAUL MILAN6PREMIÈRE S

3. ANGLES ORIENTÉS

2.3 Équation réduite d"une droite

Théorème 3 :Toute droitednon parallèle à l"axe des ordonnées admet une équation de la formey=mx+pappelée équation réduite ded. Le vecteur u(1 ;m)est un vecteur directeur ded

3 Angles orientés

3.1 Le radian

Définition 4 :Le radian est une unité de mesure d"un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l"arc entre 2 points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur deπet donc correspond à un angle deπ radian. On a alors : 180°=πrd

La mesure en degré de 1 radian vaut

donc :

1 rd=180

π?57°

Remarque :Le radian est une grande

unité qui n"est pas intuitive contraire- ment au degré qui est notre unité pre- mière.1 rd O 11 -1 -1

Tableau des angles remarquables en radian :

Degré30°45°60°90°

Radianπ

6 4 3 2

3.2 Définition

Définition 5 :Un angle orienté est défini par deux vecteurs?uet?v, noté(?u,?v).

L"angle est alors orienté de

?uvers?v.

Sur la figure ci-contre, on a repré-

senté deux angles orientés, représen- tant le même angle(?u,?v). Le premier est orienté dans le sens direct et l"autre dans le sens indirect. ?u? v

PAUL MILAN7PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

3.3 Mesure d"un angle orienté

Pour mesurer un angle orienté, il faut une unité (degré ou radian) et un sens de parcours. Un même angle peut avoir des mesures différentes, comme dans la figure ci-dessus. Ces mesures sont alors équivalentes. Elles sontégales à 2πprès, on dit alors qu"elles sont égales modulo 2π. Définition 6 :On dit que les mesures (en radian)θ1etθ2d"un même angle orienté(?u,?v)sont égales modulo 2π, s"il existe un entier relatifktel que :

2=θ1+k×2πon écrit alorsθ1=θ2[2π]

Exemple :-5π3=π3[2π]en effet,-5π3+2π=-5π+6π3=π3 Définition 7 :On appelle mesure principale d"un angle orienté(?u,?v), la me- sureθavecθ?]-π,π]. On appelle mesure positive d"un angle orienté(?u,?v), la mesureθavecθ?[0,2π[ Exemple :Voici ci-dessous le cercle trigonométrique avec les angles remar- quables exprimés en mesure principale. O?0 ?π6 π4 π3 π2

2π3

3π4

?5π6 ?-π6 ?-π4 -π3 -π2 -2π3 -3π4 ?-5π6

3.4 Propriétés

1) Les vecteurs?uet?vsont colinéaires si et seulement si :

?u,?v) =0[2π]ou(?u,?v) =π[2π]

2)Relation de Chasles: Soit trois vecteurs?u,?vet?w, alors :

?u,?v) + (?v,?w) = (?u,?w)

3) Soit les vecteurs

?uet?v, alors on a : ?v,?u) =-(?u,?v) (-?u,?v) = (?u,?v) +π ?u,-?v) = (?u,?v) +π (-?u,-?v) = (?u,?v)

PAUL MILAN8PREMIÈRE S

4. TRIGONOMÉTRIE

Exemple :

D"après la figure suivante, déterminer

à l"aide des propriétés des angles orien- tés :(-→AB ,--→AC)A BC 6π 12 (-→AB ,--→AC) = (-→AB ,-→BC) + (-→BC ,--→AC)relation de Chasles (-→BA ,-→BC) +π? + (-→CB ,--→CA)inversion des vecteurs

6+π-π12=9π12=3π4

Remarque :On aurait pu retrouver cet angle de façon "classique" en faisant le complément àπ

4 Trigonométrie

4.1 Définition

Définition 8 :Dans un repère orthonormal direct,αest l"angle orienté dansquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50