Devoir Maison n 2 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

(On pourra utiliser la question 4 de l’exercice précédent) Soit H un sous-groupe de S n d’indice 2 Alors H est distingué dans S n d’après la question 4 de l’exercice 2 Donc S n/H est un groupe de cardinal 2 et donc isomorphe à {−1,1} La surjection canonique s: S n → S

Nom : Quel score pour un QCM Prénom

A la dernière minute, le jury déide de modifier le arème de la façon suivante : Réponse juste : 5 points ; Réponse fausse : – 4 points ; Asene de réponse : 0 point Compléter le sore et le la ssement ave le nouveau arème Par exemple pour Léa : L = 10×5−2×4−8×0 ????=50−8 ????=42 Exercice 2 : C'est un programme sur srath

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Chapitre 4 - DM 4

Devoir Maison 5ième - Mathématiques - 201 2 - 201 3 Page 2 sur 2 CHAPITRE 4 : TRIANGLES (2) DEVOIR MAISON n°4 CORRIGÉ Construire puis démontrer une propriété de 4 ième Soit (CCCC) un cercle de centre O et de diamètre [RT] et E un point quelconque de ( CCC) a) On sait que T, R, E sont des points du cercle de centre O Or

ème Devoir maison n°2 5 - WordPresscom

Exercice 3 : Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC =3 cmet BA =4 cm 1 Construire le triangle ABC 2 Construirelesymétriquede ABC parrapportà A (D estlesymétriquedeB etE celui deC) 3 Construire le milieu I de[BC] et J celui de[DE] 4 Démontrer que les trois points J, A et I sont alignés Que représente la droite (I J) pour

Correction de l’évaluation n°1 5

Il y a donc 21 élèves sur les 28 qui pratiquent un sport dans cette classe 2 5 7 = 5×4 7×4 = 20 28 Il y a donc 20 élèves sur les 28 qui sont inscrits à la bibliothèque Exercice 5 : 1 Voici l’expression permettant de calculer l’économie réalisée chaque mois : 642,52+65×5,44 12 642,52+65×5,44 12 = 642,52+353,6 12 = 996,12 12

CORRIGÉ DE L’ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

REPONSE : (2 points) Volume d’un ône de révolution = Et aire du disque de ase = π × r2 Le rayon du cône est de 2,5 m D’où aire du disque de ase = π × 2,52 soit aire du disque de ase = 6,25 π La hauteur du cône de révolution vaut 2,5 mètres Cela donne donc : Volume d’un ône de révolution = Soit V ≈ 16,36

Exercices de mathématiques sur la fiabilité de tests d’hypothèses

Exercices de mathématiques sur la fiabilité de tests d’hypothèses Ce document propose, dans des situations concrètes, des exemples d’applications de notions figurant aux programmes de mathématiques des classes de premières et terminales, générale ou technologiques Le fil conducteur est le test d’hypothèse

LA TRANSLATION : CORRIGE

On dit que la bateau B est l’ image de A par la translation de mouvement l’une des 2 flèches tracées Trouve un synonyme pour le mot translation : Glissement Trace par une flèche verte le mouvement rectiligne qui va de F vers G (qu’on notera →→ → FG ) Trace l’image de la figure qui ressemble à un S par la translation qui

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Exercice 1

SoitGun groupe etXun ensemble. On noteS(X)l"ensemble des permutations deX. Soitφ:G→S(X) un morphisme de groupes.

1. Montrer queg.x=φ(g)(x)définit une action du groupeGsurX.

- pour toutx?X,1·x=φ(1)(x) =Id(x) =x. - pour toutx?X, etg,h?Hon a g·(h·x) =g·φ(h)(x) = [φ(g)◦φ(h)](x) =φ(gh)(x) = (gh)·x Doncg·x=φ(g)(x)définit bien une action de groupe.

2. On considère l"action deGsur lui-même par translation à gauche.

- Expliciterφ:G→S(G)dans ce cas.

Pour toutx?X=G,φ(g)(x) =gx.

- Montrer que cette action est fidèle. Soitg?G. Si pour toutx?G,g·x=gx=x, alors évidemmentg= 1. L"action est donc fidèle.

3. On suppose que|G|=n.

- Montrer queS(G)est isomorphe àSn.

Soitf:G→ {1,...,n}une bijection. Alors

S(G)→Sn

σ?→f◦σ◦f-1.

est un morphisme de groupes (exo facile). En définissant : S n→S(G)

σ?→f-1◦σ◦

on vérifie facilement queΦ◦Ψ =IdS(G)etΨ◦Φ =IdSn, doncΨest bijective et donc un isomorphisme.

- Montrer queGest isomorphe à un sous-groupe deSn.

Le morphismeφ:G→S(G)défini à la question 2), est un morphisme injectif de groupes (car l"action

est fidèle). La composéeΨ◦φest donc un morphisme injectif deGdansSn. DoncGest isomorphe

au sous-groupe Im(Ψ◦φ)deSn.

Exercice 2

On note parA4l"ensemble des éléments du groupe de permutationsS4de signature1.

1. Faire la liste des éléments deA4et donner leurs ordres.

- Id est d"ordre1 - les produits de2transpositions de supports disjoints(12)(34),(13)(24)et(14)(23)sont d"ordre2. - les cycles(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234), et(243)sont d"ordre3. On a bien fait le tour : en effet, il y a là 12 éléments, or#(A4) = #(S4)/2 = 4!/2 = 12.

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2. SoitHl"ensemble formé de l"identité, et des permutations

?1 2 3 42 1 4 3? ,?1 2 3 43 4 1 2? ,?1 2 3 44 3 2 1? Montrer queHest un sous-groupe isomorphe àZ/2Z×Z/2Zet est distingué dansA4.

Pour simplifier, posonsσ1= (12)(34),σ2= (13)(24)etσ3= (14)(23). On vérifie facilement que

H={Id,σ1,σ2,σ3}est un groupe et que

?Z/2Z×Z/2Z→H (0,0)?→Id (1,0)?→σ1 (0,1)?→σ2 (1,1)?→σ3 est un isomorphisme de groupes. Montrons maintenant queHest distingué dansA4. Remarquons queH\{Id}est l"ensemble des permu- tations de la forme(ab)(cd)où{a,b,c,d}={1,2,3,4}. Soitσi= (ab)(cd)une telle permutation. Pour

toute permutationσ,σσiσ-1= (σ(a)σ(b))(σ(c))(σ(d))et commeσest une bijection de{1,2,3,4}, on

a bien encore un élément deH\ {Id}.

3. Montrer que les sous-groupes propres deHne sont pas distingués dansA4.

D"après le théorème de Lagrange, les sous-groupes deHsont de cardinal1,2ou4. Les sous-groupes

non-triviaux sont donc de cardinal2. Ces sous-groupes de cardinal2sont les?σi?, pouri= 1,2,3. Ils

sont donc de la forme{Id,σi= (ab)(cd)}, où{a,b,c,d}={1,2,3,4}. Or siσ= (bcd), d"après le cours

iσ-1= (aσ(b))(σ(c)σ(d))/? {Id,σi(ab)(cd)}. Donc?σi?n"est pas distingué dansA4

4. Montrer que tout sous-groupe d"indice 2 d"un groupeGest distingué.

SiHest d"indice2, alors le quotient à droiteG/Hainsi que le quotient à gaucheH\Gsont de cardinal

2. Donc, six?G\H, on aG/H={H,xH}etH\G={H,Hx}. Or ce sont deux partitions deG

doncxH=Hx. Six?G, l"égalitéxH=Hxest triviale. DoncHest distingué dansG.

5. Déduire des questions précédentes queA4n"a pas de sous-groupe d"ordre6(on pourra raisonner par

l"absurde et remarquer qu"une intersection de sous-groupes distingués est distinguée). Supposons par l"absurde queA4a un sous-groupeKd"ordre6. D"après le théorème de Lagrange, le cardinal deK∩Hdivise ceux deKetH, donc vaut1ou2. On exclutK∩H={1}car alors |KH|=|K|.|H|(Cf. DS) ce qui est absurde! DoncK∩Hest un sous-groupe d"ordre2dansH.

D"après les questions 2 et 4,HetKsont distingués dansA4, donc leur intersection l"est aussi, ce qui

contredit la question 3.

6. Déterminer tous les sous-groupes deA4. Lesquels sont distingués?

D"après le théorème de Lagrange et la question précédente, les ordres possibles des sous-groupes deA4

sont1,2,3,4,12. - Passons rapidement sur les groupes triviaux{1}etA4qui sont distingués.

- Les ordres2,3sont premiers, donc les groupes de ces ordres sont monogènes. Or on a fait en première

question la liste des éléments d"ordre2et3.

- Les groupes d"ordre2sont donc les?σi?, pouri= 1,2,3. On a vu qu"ils n"étaient pas distingués/.

- Les groupes d"ordres3sont?(123)?,?(124)?,?(134)?,?(234)?. Ces groupes ne sont pas distingués dansA4, même genre d"argument qu"en 3. De fait, on envoie facilement tout groupe sur un autre en conjuguant par une permutation bien choisie.

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- SoitKun groupe d"ordre4. Ce groupe ne peut être cyclique puisqu"il n"y a pas d"élément d"ordre 4

dansA4. Donc les ordres de ses éléments autres que Id sont2. Or il n"y a que 3 él"ements d"ordre2:

lesσi. On en déduit queK=Hest l"unique groupe d"ordre4.

On a déjà montré queHest distingué.

Exercice 3Soitn≥2un entier.

1. Montrer que les transpositions sont conjuguées dansSn: pour toute paire de transpositionsτ1,τ2?Sn,

il existe une permutationσ?Sntelle que

2=στ1σ-1

Soient deux transpositionsτ1= (ab)etτ2= (cd). Soitσune permutation qui envoieasurcetbsurd.

Alorsστ1σ-1= (σ(a)σ(b)) =τ2.

2. En déduire que le seul morphisme de groupes non-trivial deSndans(C?,×)est la signature.

Soitφ:Sn→C?un morphisme de groupes. Alors pour toutes transpositionsτ1,τ2il existe une permu-

tationσtelle queτ2=στ1σ-1, donc φ(τ2) =φ(σ)-1φ(τ1)φ(σ) =φ(τ1) par commutativité deC?. Donc toutes les transpositions ont la même image.

Or, siτest une transposition,[φ(τ)]2=φ(τ2) =φ(Id) = 1doncφ(τ) =±1. Donc il y a deux cas de

figures : - toutes les transpositions sont envoyées sur1, et comme les transpositions engendrentSn,φest identiquement égal à 1,

- toutes les transpositions sont envoyées sur-1, et comme les transpositions engendrentSn, Im(φ)?

?-1?={-1,1}. D"après le cours, ce morphisme est donc la signature.

3. Conclure que le seul sous-groupe deSnd"indice2est le groupeAndes permutations de signature1.

(On pourra utiliser la question 4 de l"exercice précédent) SoitHun sous-groupe deSnd"indice2. AlorsHest distingué dansSnd"après la question4de l"exercice

2. DoncSn/Hest un groupe de cardinal2et donc isomorphe à{-1,1}. La surjection canonique

s:Sn→Sn/Hnous donne donc un morphisme non trivial deSnvers{-1,1}. C"est la signature

d"après la question précédente. Son noyauHest doncAn. Le seul sous-groupe deSnd"indice2est donc

le groupeAn. Exercice 4SoitGun groupe fini etpun facteur premier de|G|.

1. Montrer que le sous-ensemble deGp

Σ ={(x1,...,xp)?Gp/x1...xp= 1G}.

est en bijection avecGp-1.

Remarquons que

Σ ={(x2x3...xp)-1,x2,...,xp)/x2,...,xp?G}.

Donc clairementΣest en bijection avecGp-1.

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2. On note "nmodp" le reste de la division euclidienne denparp. Montrer que l"application

Z/pZ×Σ→Σ?¯k,(x1,...,xp)??→¯k·(x1,...,xp) =?x1+kmodp,...,xp+kmodp? est bien définie est que c"est une action du groupeZ/pZsur l"ensembleΣ. Sik,k??Zsont tels que¯k=¯k?dansZ/pZ, alorskmodp=k?modp. Donc l"application ci-dessus est bien définie.

De plus,

0·(x1,...,xp) = (x1,...,xp)et pour tousk,k??Z,

k?·(¯k·(x1,...,xp)) =?x1+k+k?modp,...,xp+k+k?modp?

¯k+k?·(¯k·(x1,...,xp))

¯k+¯k?)·(¯k·(x1,...,xp))

On a donc bien une action de groupes.

3. Montrer que le stabilisateur de(x1,...,xp)estZ/pZsi et seulement six1=x2=...=xp.

Si le(x1,...,xp)estZ/pZ, alors en particulier¯1y est et doncx1=x2,x2=x3, ...xp-1=xp. Réciproquement, six1=x2=...=xp,¯k·(x1,...,xp) = (x1,...,xp)pour toutk. Donc le stabilisateur de(x1,...,xp)estZ/pZsi et seulement six1=x2=...=xp.

4. En appliquant l"équation aux classes, en déduire queGcontient au moins un élément d"ordrep.

On applique l"équation aux classes :

|G|p-1=|Σ|=?

O?{Orbites}|O|

Commepdivise|G|etp≥2,pdivise|G|p-1. Par ailleurs, le cardinal de l"orbite d"un pointx= (x1,...,xp)

divise|Z/pZ|, donc vautpou1. Donc, le nombre d"orbites de cardinal1divisep. Or, on sait qu"il y a une orbite de cardinal1dansΣ: celle de(1,...,1). Il y en a donc au moinsp. En particulier, il existex= (x1,...,xp)?Σ\ {(1,...,1)}dont l"orbite est de cardinal1. On a alors x

1=x2=...=xp, d"après la question 3.

On a donc trouvé un elémentx1?= 1tel quex1...xp=xp1= 1. Commeppremier, on a donc un élément

d"ordrep. CQFD

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Exercice 1

1. Montrer queg.x=φ(g)(x)définit une action du groupeGsurX.

2. On considère l"action deGsur lui-même par translation à gauche.

Pour toutx?X=G,φ(g)(x) =gx.

3. On suppose que|G|=n.

Soitf:G→ {1,...,n}une bijection. Alors

S(G)→Sn

σ?→f◦σ◦f-1.

σ?→f-1◦σ◦

Exercice 2

1. Faire la liste des éléments deA4et donner leurs ordres.

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2. SoitHl"ensemble formé de l"identité, et des permutations

H={Id,σ1,σ2,σ3}est un groupe et que

3. Montrer que les sous-groupes propres deHne sont pas distingués dansA4.

4. Montrer que tout sous-groupe d"indice 2 d"un groupeGest distingué.

2. Donc, six?G\H, on aG/H={H,xH}etH\G={H,Hx}. Or ce sont deux partitions deG

5. Déduire des questions précédentes queA4n"a pas de sous-groupe d"ordre6(on pourra raisonner par

6. Déterminer tous les sous-groupes deA4. Lesquels sont distingués?

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On a déjà montré queHest distingué.

Exercice 3Soitn≥2un entier.

1. Montrer que les transpositions sont conjuguées dansSn: pour toute paire de transpositionsτ1,τ2?Sn,

2=στ1σ-1

Alorsστ1σ-1= (σ(a)σ(b)) =τ2.

2. En déduire que le seul morphisme de groupes non-trivial deSndans(C?,×)est la signature.

3. Conclure que le seul sous-groupe deSnd"indice2est le groupeAndes permutations de signature1.

2. DoncSn/Hest un groupe de cardinal2et donc isomorphe à{-1,1}. La surjection canonique

1. Montrer que le sous-ensemble deGp

Σ ={(x1,...,xp)?Gp/x1...xp= 1G}.

Remarquons que

Σ ={(x2x3...xp)-1,x2,...,xp)/x2,...,xp?G}.

Donc clairementΣest en bijection avecGp-1.

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2. On note "nmodp" le reste de la division euclidienne denparp. Montrer que l"application

De plus,

0·(x1,...,xp) = (x1,...,xp)et pour tousk,k??Z,

¯k+k?·(¯k·(x1,...,xp))

¯k+¯k?)·(¯k·(x1,...,xp))

On a donc bien une action de groupes.

3. Montrer que le stabilisateur de(x1,...,xp)estZ/pZsi et seulement six1=x2=...=xp.

4. En appliquant l"équation aux classes, en déduire queGcontient au moins un élément d"ordrep.

On applique l"équation aux classes :

O?{Orbites}|O|

1=x2=...=xp, d"après la question 3.

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