Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie

1ère S Chapitre 2 : Angles orientés Exercices - p 1/6 Angles orientés de vecteurs Définition : dans un repère orthonormé (O;I;J), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 Sur ce cercle, on convient d'appeler sens direct le sens inverse

Angles orientés, cours, première S

Angles orientés, cours, première S F Gaudon 14 février 2016 Table des matières 1 Cercle trigonométrique et radian2 2 Angles orientés 3 3 Propriétés des mesures d'angles orientés5

Première S - Angles orientés de deux vecteurs

Angles orientés de deux vecteurs I) Définition : Propriétés des angles orientés 1) Propriétés , & et , & sont deux vecteurs non nuls

ANGLES ORIENTÉS – TRIGONOMÉTRIE – 1 PARTIE – 1ÈRE

2 Angles orientés et mesures en radians Définition : Dans le même plan, on considère deux vecteurs non nuls u et v et deux points M et M' du plan tels que u est colinéaire et de même sens que OI", OM" =v " et M' est l'intersection du cercle avec OM [) Voir Figure 2 On appelle angle orienté u,v l'angle de rotation de centre

Angles orientés et trigonométrie - Logamathsfr

P2: Les vecteurs ⃗u et ⃗v sont deux vecteurs colinéaires et de sens contraires, si et seulement si : (⃗u;⃗v)=π Cette première propriété permet de démontrer le parallélisme de deux droites ou l'alignement de trois points 1ère S – Ch6 Angles orientés – Trigonométrie Abdellatif ABOUHAZIM

ANGLES ORIENTÉS - TRIGONOMETRIE

Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie Première S de même pour les deux derniers cas (à traiter en exercice) Remarque Pour tous vecteurs ~u et ~v non nuls et pour tous réels a et b strictement positifs, on a : (a~u,b~v) = (~u,~v) +k ×2π, k ∈ Z Exemple Somme des angles orientés d’un triangle Soit un triangle ABC, alors

1ère S Ex angles orientés

1ère S Exercices sur les angles orientés 1 Sur un cercle C de centre O et de rayon 10 cm, un arc AB a pour longueur 5 cm Déterminer la mesure en degrés de l’angle géométrique AOB

Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Table des matières 1 Rappels sur les vecteurs 2 droite d, alors les vecteurs~u et~v sont colinéaires On a donc det(~u,~v)=0

Trigonométrie en 1S : Une activité pour bien démarrer

C cosinus et sinus d'un nombre réel II Angles orientés A Mesures d'un angle orienté Définition: u= OM et v= ON sont deux vecteurs non nuls Les demi-droites [OM) et [ON) coupent le cercle trigonométrique en A et B Au couple OA; OB , on associe une famille de nombres de la

DERNIÈRE IMPRESSION LE21 février 2017 à 10:56

Vecteurs et colinéarité.

Angles orientés et trigonométrie

Table des matières

1 Rappels sur les vecteurs2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Opérations sur les vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Colinéarité de deux vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Géométrie analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Équation cartésienne d"une droite5

2.1 Vecteur directeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Équation cartésienne d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Équation réduite d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Angles orientés7

3.1 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Mesure d"un angle orienté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Trigonométrie9

4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Relations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.5 Lignes trigonométrie dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PAUL MILAN1PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

1 Rappels sur les vecteurs

1.1 Définition

Définition 1 :Un vecteur?uou-→AB est défini par :

une direction (la droite (AB)).

un sens (de A vers B)

Une longueur : la norme du vecteur

?u?ou AB Égalité de deux vecteurs-→AB=--→CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme. ?A? B C? D

1.2 Opérations sur les vecteurs

1.2.1 Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs est définie par la relation de chasles : --→AC=-→AB+-→BC

Cette relation permet de décomposer

un vecteur.

On a l"inégalité triangulaire :

?u+?v????u?+??v? ?u? v u+?v A? B C

Construction de la somme de deux vec-

teurs de même origine.

On effectue un parallélogramme, afin

de reporter le deuxième vecteur per- mettant d"appliquer la relation de

Chasles.

--→OA+-→OB ?O? A B? C

Propriété 1 :La somme de deux vecteurs :

Est commutative :?u+?v=?v+?u

Est associative :(?u+?v) +?w=?u+ (?v+?w) =?u+?v+?w Possède un élélment neutre?0 :?u+?0=?u tout vecteur possède un opposé-?u:--→AB=-→BA

PAUL MILAN2PREMIÈRE S

1. RAPPELS SUR LES VECTEURS

1.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire

Lorsqu"on multiplie un vecteur par un

réelk, appelé scalaire, le vecteur ainsi formék?uest tel que :

Sa longueur est multiplié par|k|

Sik>0 son sens est inchangé

Sik<0 son sens est inversé.

Sik=0 on a : 0?u=?0

2-→AB

-2-→ABB A Propriété 2 :Bilinéarité. La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l"addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels.

k(?u+?v) =k?u+k?v(k+k?)?u=k?u+k??v

1.3 Colinéarité de deux vecteurs

Définition 2 :On dit que deux vecteurs?uet?vsont colinéaires, si et seulement si, il existe un réelktel que :?v=k?u Remarque :Le vecteur nul?0 est colinéaire à tout vecteur car :?0=0?u Propriété 3 :La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l"alignement. -→AB et--→CD colinéaires?(AB)//(CD) -→AB et--→AC colinéaires?A, B, C alignés

[PDF] Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie

Vecteurs et colinéarité.

Angles orientés et trigonométrie

Table des matières

1 Rappels sur les vecteurs2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Opérations sur les vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Colinéarité de deux vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Géométrie analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Équation cartésienne d"une droite5

2.1 Vecteur directeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Équation cartésienne d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Équation réduite d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Angles orientés7

3.1 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Mesure d"un angle orienté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Trigonométrie9

4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Relations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.5 Lignes trigonométrie dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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TABLE DES MATIÈRES

1 Rappels sur les vecteurs

1.1 Définition

une direction (la droite (AB)).

un sens (de A vers B)

Une longueur : la norme du vecteur

1.2 Opérations sur les vecteurs

1.2.1 Somme de deux vecteurs

Cette relation permet de décomposer

On a l"inégalité triangulaire :

Construction de la somme de deux vec-

On effectue un parallélogramme, afin

Chasles.

Propriété 1 :La somme de deux vecteurs :

Est commutative :?u+?v=?v+?u

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1. RAPPELS SUR LES VECTEURS

1.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire

Lorsqu"on multiplie un vecteur par un

Sa longueur est multiplié par|k|

Sik>0 son sens est inchangé

Sik<0 son sens est inversé.

Sik=0 on a : 0?u=?0

2-→AB

k(?u+?v) =k?u+k?v(k+k?)?u=k?u+k??v

1.3 Colinéarité de deux vecteurs

Exemple :Voir figure ci-contre :

Soit ABC un triangle, E, I et F tels que :

3-→BC ,-→CI=23-→CB et

3--→AC .

Démontrer que I, E et F sont alignés

-→CI=2

3-→CB donc-→BI=13-→BC .

On en déduit que

PAUL MILAN3PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

On en déduit alors :

une direction (la droite (AB)).

un sens (de A vers B)

Une longueur : la norme du vecteur

Est commutative :?u+?v=?v+?u

Sa longueur est multiplié par|k|

Sik>0 son sens est inchangé

Sik<0 son sens est inversé.

Sik=0 on a : 0?u=?0

k(?u+?v) =k?u+k?v(k+k?)?u=k?u+k??v

-→CI=2