ESD2018 3c03 Conjecture et démonstration - CAPES de Maths
Epreuve sur dossier CAPES Mathématiques ESD2018_3c03 Conjecture et démonstration 1 Le sujet A Exercice Soit LEO un triangle rectangle en L tel que OE 4 cm et OL 2cm OLGA est un losange tel que E, O, et A sont alignés dans cet ordre 1 Réaliser une figure 2 Conjecturer et démontrer une propriété sur les longueurs LE et LA
SPÉCIAL CONCOURS INTERNES DU CAPES, DU CAPEPS ET CAER
exercices et à des problèmes C'est pourquoi il est demandé au candidat de présenter des exer-cices illustrant la situation abordée dans cette épreuve Le terme "exercice" est à prendre au sens large : il peut s'agir d'exemples ou de contre-exemples venant éclairer une étude, d'applica-tions directes du cours, de situations plus
ATTENTION - Université Paris-Saclay
Les séances comportent du cours et des exercices ainsi que des corrections de problèmes (Facultatif) Certains Samedis après midi : concours blancs (voir ci dessous) b) Epreuves écrites en Janvier 2015 c) De Janvier à fin Mars : préparation à l'oral Une demi-journée par semaine, Lundi après midi de 14h à 17h
Bulletin officiel spécial 6 du 25 juin 2009 - Education
mathématiques, annales du brevet des collèges ou du baccalaur éat, etc , dans leur intégralité ou sous forme d'extraits À partir de ce dossier, le candidat doit préparer une activité pédagogique qui lui est précisée et qui comporte des exercices Il a le choix entre deux sujets
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Epreuve sur dossierCAPES Mathématiques
ESD2018_3c03. Conjecture et démonstration
1. Le sujet
A. Exercice
Soit LEO un triangle rectangle en L tel que cmOE4 et cmOL2. OLGA est un losange tel que E, O, et
A sont alignés dans cet ordre.
1. Réaliser une figure.
2. Conjecturer et démontrer une propriété sur les longueurs LE et LA.
D'après les fiches de tonton Lulu, vol. 1, diffusion Tangente B. Les réponses de deux élèves de Cycle 4 à la question 2.Elève 1.
Je conjecture que
LALE .
J'appelle I le milieu du segment [EO].
Je vois que le triangle OIL est équilatéral et que les triangles EIL et OLA sont égaux. Par conséquent,
LALEElève 2.
Sur mon dessin je pense que LA est plus grand que LE.Dans le triangle LEO rectangle en L je peux calculer la longueur EL avec le théorème de Pythagore :
222EOLOEL donc 12ELEnsuite, j'ai appelé C le centre du losange et je voulais montrer que la longueur CL est
212 mais je n'y
suis pas arrivé car il manque une longueur dans le triangle rectangle OCL.C. Le travail à exposer devant le jury
1. Analysez ces productions d'élèves en mettant en évidence leurs réussites et leurs éventuelles erreurs. Vous
préciserez l'aide que vous pouvez leur apporter.2. Présentez une correction de l'exercice telle que vous l'exposeriez devant une classe de collège de cycle 4.
3. Proposez deux exercices sur le thème conjecture et démonstration, l'un au niveau collège, l'autre au
niveau lycée L'un au moins des exercices devra permettre de développer la compétence " raisonner ».
G. Julia. 2018/20191
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2. Eléments de correction
Le thème " conjecture et démonstration » concerne souvent des exercices dans lesquels les élèves sont eux-
mêmes invités à formuler une question puis à y répondre. Cet exercice illustre assez bien cette particularité,
l'énoncé orientant tout de même très fortement la question à se poser.Cet exercice est destiné à faire progresser des élèves dont l'élève 1 est représentatif : faire la différence entre
" ce que l'on sait » (les hypothèses), " ce que l'on voit » (les conjectures), " ce que l'on démontre » (les
propriétés qui font l'objet d'un raisonnement). Il peut être posé en liaison avec différents thèmes du
programme : les caractérisations du triangle rectangle, la trigonométrie, les cas d'égalité des triangles.
On peut regretter la mode ridicule et démagogique qui consiste à donner des prénoms aux objets
mathématiques. Cela n'amuse personne. En ne respectant pas une certaine harmonisation des notations et en
détruisant tout effet de permutation circulaire, cette mode insupportable peut induire stupidement les élèves
en erreur et entraver une vision pertinente d'une figure géométrique. Nommer le triangle ABC et le losange
ABDE par exemple aurait été moins puéril.1. Analyse de travaux d'élèves.
Elève 1.
Cet élève a visiblement réussi la construction de la figure. Ses conjectures sont correctes, en particulier il
émet une conjecture intéressante sur les triangles EIL et OLA qui n'est pas explicitement demandée (il sait
repérer des propriétés d'une configuration) ; cette conjecture peut être exploitée pour amorcer une correction
de l'exercice.En revanche, il ne fait pas la différence entre ce que l'on conjecture et ce qui doit faire l'objet d'une preuve,
sa réponse est gjinvalide.L'aide que l'on peut lui apporter mettra l'accent sur cette distinction : " Est-ce que le triangle IOL est à peu
près équilatéral ou bien exactement équilatéral ? Peux-tu donner une raison qui confirmerait (ou non) ce que
tu vois ? Idem pour ce que tu vois à propos des triangles EIL et OLA ».Elève 2.
Il est regrettable que l'on ne dispose pas de son " dessin ». Cet élève émet une conjecture incorrecte mais,
contrairement à l'élève 1, il s'engage dans une tentative de démonstration (qui, si elle aboutit, devrait
infirmer sa conjecture). Cet élève semble distinguer un dessin à main levée (?) d'une figure abstraite
puisqu'il ne fait pas vraiment confiance à " ce qu'il pense », mais il devrait acquérir un peu de distanciation
par rapport à la lecture d'une telle figure ; il semble avoir des difficultés à en extrairegjune figure-clef.
On note dans cette production trois réussites importantes : iCet élève justifie ses dires en s'appuyant sur les théorèmes du cours.iIl est capable d'anticiper une démarche : il élabore en effet un protocole de démonstration (ce qu'il
devrait faire pour aboutir). iIl a une attitude critique sur sa démarche (il est conscient de la raison de son échec).Un échec : son incapacité à changer de stratégie. Sa démonstration n'aboutit pas car il voudrait appliquer une
nouvelle fois le théorème de Pythagore, mais dans un triangle où l'on ne connaît a priori que la longueur de
l'hypoténuse, c'est une impasse. Sa vision de la figureest trop partielle (il n'y voit que des triangles
rectangles) gj.Il faudrait orienter cet élève vers une lecture plus globale de la figure et vers l'utilisation d'un autre outil (la
trigonométrie) que celui des configurations : " tu ne connais qu'une seule longueur dans le triangle OCL,
mais est-ce que tu pourrais préciser une mesure gjde certains de ses angles ? ».G. Julia. 2018/20192
Epreuve sur dossierCAPES Mathématiques
2. Correction de l'exercice
La correction de cet exercice peut s'appuyer avec profit sur la production de l'élève 1 :Il semblerait selon lui que les triangles EIL et OLA soient " égaux ». Qu'est-ce que cela signifie (on rappelle
la notion de " triangles égaux ») ? En quoi cela réglerait notre question ?Est-ce que cela suffit de dire " qu'on le voit » ? On insiste sur la nécessité de justifier par un raisonnement la
propriété " que l'on voit ».On attirera d'abord l'attention sur la particularité du triangle LOE : " que peut-on dire d'un triangle
rectangle dont la longueur d'un côté est la moitié de celle de l'hypoténuse ? ».iLe centre du cercle circonscrit au triangle rectangle LOE en L est le milieu I de l'hypoténuse [OE] :OEIEILIO2
1.
iLa longueur du côté [OL] est égale à la moitié de celle de l'hypoténuse [OE] : OEOL21.
iIl en résulte queOEOLILIO2
1, le triangle IOL est équilatéral (comme l'a conjecturé l'élève
1, c'est le point clef de l'exercice)
iEn conséquence, tous les angles de ce triangle ont pour mesure 60°.On s'intéresse ensuite aux triangles EIL et OLA en faisant apparaître qu'il s'agit de deux triangles isocèles
dont les côtés sont égaux et dont l'angle au sommet mesure 120°. Ces triangles sont égaux (i.e.
superposables) car ils ont des côtés deux à deux égaux qui encadrent des angles de même mesure. Les
longueurs de leurs bases respectives, LE et LA, sont donc égales.Il est possible aussi de corriger l'exercice en s'appuyant sur la production de l'élève 2. On fait remarquer que
la longueur de LE peut être calculée de deux façons, à l'aide du théorème de Pythagore certes, mais aussi à
l'aide d'une relation trigonométrique : G EOLOELEiagilbertjulsin2018. Une autre relation trigonométrique permettra de calculer CL et de faire aboutir la démarche de l'élève 2.NB. La construction de la figure impacte la vision que l'on peut en avoir. Il convient pour corriger la
question 1 de l'exercice de choisir l'une des diverses façons de construire une figure correcte. L'éxécrable notation LEO incite à tracer un cercle degjcentre O ...Ci-contre, on a commencé par tracer un cercle
de centre O et de rayon 2 et de par placer un point L sur ce cercle. Le point E est l'un des deux points d'intersection du cercle de centreO et de rayon 4 avec la perpendiculaire en L à
(LA).G. Julia. 2018/20193
Epreuve sur dossierCAPES Mathématiques
Ci-contre, on a placé deux points O et E
diamétralement opposés sur un cercle de rayon2. Le tracé du cercle de centre O et de rayon 2
permet d'obtenir à la fois L, un des points d'intersection avec le cercle de diamètre [OE], et A. Le point G s'obtient (par exemple) comme intersection autre que I du cercle de centre L passant par O avec le cercle de centreO et passant par I.
Cette construction est incontestablement plus
performante que la précédente, elle met mieux en évidence la présence de plusieurs triangleséquilatéraux dans la configuration.
Au candidat de résumer sa propre correction, suivant l'orientation qu'il souhaite lui donner, et d'en rédiger
une trace écrite, certes destinée à être notée par des élèves, mais qui pourra surtout être exposée devant un
jury.