Exercices – M´ecanique PTSI Changement de r´ef´erentiels

Anneau sur cercle en rotation Un petit anneau de masse m est astreint à se déplacer sans frottement sur la circonférence de rayon a qui tourne autour de l’axe vertical à la vitesse angulaire constante ω 1 Etude cinématique: • Exprimer en fonction de θ la vitesse et l’accélération relatives au référentiel tournant pour l’anneau

M8 Ex-M8

Ex-M9 1 Anneau coulissant sur un cercle en rotation (*, Ü `a voir) Une circonf´erence de centre ????et de rayon situ´ee dans un plan vertical tourne autour d’un de ses diam`etres d’un mouvement uniforme d´eﬁni par sa vitesse angulaire ???? Un anneau ????de masse assimilable `a un point mat´eriel

exmecanique 2008-2009 5 - ac-bordeauxfr

Ex-M9 1 Anneau coulissant sur un cercle en rotation (*, `a voir) Une circonf´erence de centre O et de rayon R situ´ee dans un plan vertical tourne autour d’un de ses diam`etres d’un mouvement uniforme d´eﬁni par sa vitesse angulaire ω Un anneau M de masse m assimilable a un point mat´eriel

Exercices – M´ecanique PTSI Changement de r´ef´erentiels

Travaux dirigés de Mécanique n°7 - Prépa TSI Louis

Référentiels en rotation Exercice 5 : Anneau coulissant sur un cercle en rotation Un guide circulaire de centre O et de rayon r est en rotation uniforme, caractérisée par Ω =ωe x , autour de son diamètre vertical (Ox), par rapport au référentiel terrestre galiléen R Le référentiel d’étude est le

Concours Blanc 1 Devoir surveillé N°6

Exercice 4 Anneau coulissant sur un cercle en rotation Un guide circulaire de centre O et de rayon r est en rotation uniforme à la vitesse angulaire u z autour de son diamètre vertical ( 0) Un anneau M de masse m et assimilé à un point matériel coulisse sans frottement sur la circonférence Son mouvement est repéré par un seul degré

1 Anneau sur une tige en rotation - Free

4 Mouvement d'un anneau sur un cerceau en rotation : Un cerceau de centre O et de rayon a situé dans un plan vertical autour d'un de ses tangentes verticales, avec un mouvement uniforme défini par sa vitesse angulaire Un anneau M de masse m, assimilable à un point matériel est mobile sans fortement sur le cerceau On note

TD 1 : Coordonnees g´ en´ eralis´ ees, classiﬁcation des

Exercice 2 : L’anneau coulissant sur une tige tournante T r: Un anneau de masse mcoulisse sans frottement sur une tige tournant dans le plan horizontal autour d’un axe vertical La tige tourne a vitesse angulaire constante impos` ´e par l’ext erieur :´ = t a) Combien l’anneau a-t-il de degr´e de libert e ?

2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI

?Changement de r´ef´erentiels : aspect cin´ematiqueM8 ???Ex-M8.1Aller-retour sur un fleuve Deux bou´eesB1etB2, distantes del, sont situ´ees sur un canal, dont le courant a pour vitesse uniforme-→upar rap- port aux berges et s"´ecoule deB1versB2. Ces bou´ees sont fixes par rapport aux berges. Un rameur, assimil´e `a un point mat´erielM, effectue un aller-retour entre les deux bou´ees, sa vitesse par rapport au courant (`a l"eau) gardant toujours la mˆeme norme ´egale `avtelle quev > u.

1)Exprimer les vitesses-→v+et-→v-du rameur par rapport

aux berges, respectivement au cours des trajetsB1versB2 etB2versB1.

2)En d´eduire la dur´eeτde l"aller-retour du rameur entre les bou´ees.

3)Quelle est la dur´eeτ?mise par un personne marchant sur les berges avec la mˆeme vitesse

vque celle du rameur par rapport au courant, et qui effectue le mˆeme aller-retour entre les bou´ees? Comparer les dur´eesτetτ?(on pourra faire le rapport).

R´ep : 1)

v+= (u+v)-→ex;-→v-= (u-v)-→ex2)τ=2lv v2-u2;3)τ?=2lv< τ ???Ex-M8.2Travers´ee d"une rivi`ere Un nageur dont la vitesse par rapport `a l"eau estv1traverse une rivi`ere de largeurlen suivant une trajectoire perpendiculaire aux berges. Sachant que lecourant a une vitessev0uniforme, calculer le temps de la travers´ee.

R´ep :Avant tout calcul, un sch´ema et la bonne compr´ehension desr´ef´erentiels mis en jeu sont

ici obligatoires.τ=l ?v21-v20 ???Ex-M8.3Mouvement radial sur un plateau tournant Soit le plateau horizontal d"un four micro-onde avec une vitesse angulaireωautour d"un axe vertical fixe.R1est le r´ef´erentiel terrestre etR2est li´e au plateau. Supposons qu"une fourmi M, ´egar´ee (...), survive suffisam- ment pour d´ecrire `a vitesse constante vM/R2l"axe (Ox2) li´e `aR2. →Exprimer----→vM/R1et----→aM/R1dans la base (-→ex2,-→ey2). xy xy O M w R 11 22
1R 2

R´ep :----→vM/R1=v-→ex2+x2ω-→ey2;----→aM/R1=-x2ω2-→ex2+ (2ωv+x2ω)-→ey2

???Ex-M8.4Man`ege d"enfants Un man`ege d"enfants tourne `a une vitesse angulaire constanteω >0. Le propri´etaire parcourt

la plate-forme (r´ef´erentielR?de rep`ere cart´esien (-→ex?,-→ey?,-→ez?)) pour ramasser les tickets.

Partant du centre au tempst= 0 sans vitesse, il suit un rayon de la plate-forme (qui portele vecteur-→ex?) avec un mouvement uniform´ement acc´el´er´e.

1)´Etablir les ´equations param´etriques de la trajectoire del"homme :

1.a)Dans le r´ef´erentielR?li´e au man`ege (--→OM=-→f(t)).

1.b)Dans le r´ef´erentielRli´e au sol en utilisant les coordonn´ees polaire (r=...etθ=...), en

supposantθ(t= 0) = 0.

2)D´eterminer la vitesse absolue du mouvement de l"homme dansune base judicieusement

choisie deR:

2.a)en utilisant les lois de composition des mouvements.

2.b)`a partir de l"´equation param´etrique de la trajectoire.

PTSI|Exercices - M´ecanique2011-2012

3)Reprendre la question2)pour l"acc´el´eration absolue.

R´ep : 1.a)

OM=1

2aω2t2?-→ex?+ 2aωt-→ey?

???Ex-M8.5Vitesse en coordonn´ees cylindriques

1)Quelle est la vitesse d"un point exprim´ee dans la base locale des coordonn´ees sph´eriques?

2)Quel est le vecteur rotation du rep`ere (O,-→er,-→eθ,-→e?) par rapport au rep`ere (O,-→ex,-→ey,-→ez)?

En d´eduire une autre m´ethode de calcul de la vitesse pr´ec´edente en utilisant les changements de

r´ef´erentiels.

R´ep :ÜCf CoursM8.II.2.c), p. 4.

?Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een M9 ???Ex-M9.1Anneau coulissant sur un cercle en rotation (*,Ü`a voir!) Une circonf´erence de centreOet de rayonRsitu´ee dans un plan vertical tourne autour d"un de ses diam`etres d"un mouvement uniforme d´efini par sa vitesse angulaireω. Un anneauMde massemassimilable `a un point mat´eriel est mobile sans frottement sur cette circonf´erence. On d´esigne parθl"angle que fait OM avec la verticale as- cendante. I -

Trouver l"´equation du mouvement deMdansR

r´ef´erentiel tournant li´e `a la circonf´erence :

1)`a partir de la relation fondamentale de la dynamique;

2)`a partir du th´eor`eme du moment cin´etique;

3)`a partir de la puissance cin´etique;

4)`a partir de la conservation de l"´energie m´ecanique (qui

sera justifi´ee).O M qz w e 12 e

V´erifier qu"on obtient la mˆeme ´equation du mouvement avecles diff´erentes m´ethodes.

II -

On veut ´etudier l"´equilibre relatif deM.

1) ´Ecrire la relationf(θ) = 0 donnant les positions d"´equilibre dansR.

2)D´eterminer les positions d"´equilibre.

3) ´Etudier la stabilit´e des diff´erentes positions. III - On veut que l"´equilibre stable corresponde `a 30◦. Quelle devra ˆetre la vitesse angulaire siR= 0,2metg= 10m.s-2? Calculer la p´eriode des petits mouvements autour de cette position. IV -

Tracer l"allure du profil d"´energie potentielle (dans Rr´ef´erentiel li´e `a la circonf´erence).

En d´eduire la nature du mouvement possible (oscillations ou r´evolutions) suivant la valeur de l"´energie m´ecanique du point mat´eriel.

R´ep : I)¨θ-ω2sinθcosθ+g

Rsinθ= 0

II.1)Il s"agit, bien entendu, de la condition d"´equilibre pour ce syst`eme conservatif :?dEp dθ? (θeq) =

0?sinθ(g-ω2Rcosθ) = 0 puisqueEp=Ep,g+Ep,ie=-mgRcosθ-1

2mω2R2sin2θ;II.2)

eq1= 0,θeq2=πet deux autres possibilit´es, dans le seul cas o`uω >?g

R:θeq3= arccosgRω2

etθeq4=-θeq3;II.3)D´eterminer le signe de?d2Ep dθ2? (θeq). En d´eduire le caract`ere instable ou stable de chaque position d"´equilibre.

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III)ω=?2g

R⎷3?7,6rad.s-1. Puisqu"on se place dans la situation o`uθeq=θeq3est un

´equilibre stable, un petit ´ecart?depuis cette position d"´equilibre va ˆetre r´egi par une ´equation

de la forme ¨?+ω20?= 0 avecω0=ω

2=2πT0, d"o`uT0= 2π?

2R⎷3

g?1,65s. ???Ex-M9.2Une tige horizontaleABde longueurlest solidaire d"un axe vertical (Δ) qui tourne avec la vitesse angulaireωconstante. Un petit anneauMde massemconsid´er´e comme ponctuel

peut glisser sans frottements sur la tigeAB. Il est lib´er´e sans vitesse initiale par rapport `a la

tige (`a une date prise comme origine des temps) en I milieu deAB. 1) ´Etudier le mouvement de M dans le r´ef´erentiel du syst`eme tournant. 2) `A quelle date et avec quelle vitesse arrive-t-il `a l"extr´emit´e de la tige?

3)Donner l"expression de la r´eaction de la tige sur l"anneau au point B juste avant la chute.

R´ep : 1)en appelant (Ox?) la direction de la tige :OM=x?=l

2chωt;2)t1=1ωarcch2;

B=lω

2⎷3;3)R(M=B)=m?g2+ 3l2ω4.

???Ex-M9.3Mouvement d"un point mat´eriel dans un v´ehicule acc´el´er´e (*) Un v´ehicule a un mouvement de translation uni- forme de vitesse-→vsur une route curviligne d"´equation cart´esienney=f(x). On lui associe un r´ef´erentielR1(O1xyz,t) en trans- lation par rapport au r´ef´erentiel terrestre R(Oxyz,t). Un point mat´erielA, de massem, li´e `a l"origine O1 par un ressort de raideurk, de longueur naturellel0,

´evolue le long de l"axe (O1y).

y x h M M12y x S Ok O 1 2lA R 1R

1)Montrer que la composante cart´esienne, suivant la verticale ascendante (Oy), de l"acc´el´eration

de O

1dansRs"´ecritv2f??

(f?2+ 1)2,f?etf??d´esignant les d´eriv´ees premi`ere et seconde defpar rapport `ax. 2) ´Ecrire l"´equation diff´erentielle `a laquelle satisfait le mouvement deAdansR1.

3)Calculer la tension-→Tdu ressort dans le cas o`u, grˆace `a une force suppl´ementaire de frottement

visqueux, A acquiert rapidement une position d"´equilibredansR1. Comparer alors-→Tau poids, dans les cas o`u la route forme une bosse ou un creux. Conclure, en utilisant la notion de poids apparent.

4)Le profil de la route forme une bosse assimilable `a un arc de parabole,M1SM2, dont

les caract´eristique sont donn´ees sur la figure ci-jointe.Pour quelle valeur de la vitesse y-a-t-il

impesanteur pourAenS?

R´ep : 1)vO1/RT=?

x2+ y2avec y=dydt=dfdxdxdt=f?x→...→¨y=v2f??(1 +f?2)2;2) m (1+f?2)2;4)v=l? g 2h. ???Ex-M9.4Pendule 'simple"

Un pendule simple est constitu´e d"un point mat´erielMde massem, plac´e `a l"extr´emit´e d"un fil

inextensible, de longueurl(et de masse n´egligeable). L"autre ext´ermit´e du fil est fix´ee enO?.

?oscille sinuso¨ıdalement suivant la verticale, avec une amplitudeDmet une pulsationω:--→OO?=Dmcosωt-→ex

On d´esigne parθl"angle que fait le pendule avec la verticale descendante (Ox), de vecteur unitaire-→ex. On suppose qu"il n"y a pas de frottements. On noteR(O,-→ex,-→ey,-→ez) le rep`ere associ´e au

r´ef´erentiel terrestre suppos´e galil´een etR?(O?,-→ex,-→ey,-→ez), le rep`ere li´e au support du pendule.

1)R?est-il galil´een?

2) ´Ecrire l"expression du th´eor`eme du moment cin´etique enO?.

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3)En d´eduire que l"´equation diff´erentielle du mouvement deMdansR?s"´ecrit sous la forme :¨θ+ω20(1 +h(t))sinθ= 0 o`uh(t) est une fonction du temps `a pr´eciser.

R´ep : 3)

¨θ+g

1 +Dmω2gcosωt?

sinθ= 0?¨θ+ω20(1 +h(t))sinθ. ???Ex-M9.5Anneau sur une tige en rotation autour d"un axe fixe Une tigeOPde longueurlest fix´ee au point O `a un axe vertical (Δ) avec lequel elle fait un angleαconstant. Un petit anneau de massemconsid´er´e comme ponctuel peut se d´eplacer sans frottement sur la tigeOP. Soit M sa position d´efinie parOM=x. L"ensemble est en rotation uniforme autour de l"axe (Δ) `a la vitesse angulaireω.

1)Montrer qu"il ne peut exister une position d"´equilibre

x ede l"anneau sur la tigeOPque si la vitesse angulaire de rotation est sup´erieure `a une valeur limiteω0que l"on d´eterminera.

2)Pr´eciser la position de l"anneau pour une vitesseω1≥ω0.

OM ax z P w(D) e 12 3 ee

3)Si l"on ´ecarte l´eg`erement l"anneau de cette position lorsqu"elle existe, que se passe-t-il?´Etudier la stabilit´e de l"´equilibre.R´ep : 1)ω0=?

gcosα lsin2α;2)x1=gcosαω21sin2α;3) P.F.D.dans le r´ef´erentielR?li´e `a la tige en projection selonOx: ¨x-ω21sinαx=-gcosα, de solutionx(t) =xP+xG=x1+Aexp(-λt)+

Bexp(λt) avecλ=⎷

ω2sinα. Commex(t)→ ∞lorsquet?, l"´equilibre est instable. ???Ex-M9.6Une remorque sur une route bossel´ee

On suppose le r´ef´erentiel li´e au sol terrestre galil´een. On ´etudie un objetMde massempos´e

sur le plateau d"une remorque. La remorque se d´eplace `a unevitesse horizontalev=cstesur une route de profil sinuso¨ıdal.

On suppose les amortisseurs et les

pneus de la remorques infiniment ri- gides. →D´eterminer la vitessev`a partir de laquelle l"objet ne reste plus tout le temps en contact avec le plateau de la remorque.

M´ethode et indications pour

r´esoudre ce probl`eme : O

L=1,2 mxze=50 mm

vM (m) I ex ez - faire l"inventaire des forces qui s"exercent surS={M,m}dans le r´ef´erentielR1li´e `a la remorque

- en particulier, montrer que-→Fie(M) =-m¨zI-→ez, aveczI, l"altitude deI, point g´eom´etrique li´e

`aR1qui co¨ıncide avec le point de la remorque en contact avec le sol - exprimerzI(t) en fonction dee,xetL; en d´eduire que ¨zI=-?2πv L? 2 z I(t) - exprimer leP.F.D.pourMdansR1et en d´eduire l"expression de la r´eaction de la remorque surMen fonction dem,get ¨zI - quelle est la condition surRqui traduit le contact deMavec la remorque? - en d´eduire qu"il y a d´ecollement d`es que ¨zI,min<-g; en d´eduirev.

R´ep :v=?

2e.Lπ

2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI

???Ex-M9.7Bille et ast´ero¨ıde

`A l"aide du th´eor`eme de Gauss, on montre que le champde gravitation en un point int´erieurMd"un ast´ero¨ıde

sph´erique homog`ene, de masse volumiqueρa pour ex- pression :-→G(M) =-4

3π.ρ.--→OM

Un tel ast´ero¨ıde est assujetti `a tourner autour d"un de ses diam`etres avec la vitesse angulaireωconstante. Une cavit´e cylindrique de petite dimension et qui ne perturbe pas la gravitation est creus´ee dans le plan ´equatorial (par rapport `a l"axe de rotation) `a a distance

OH=adu centreO.

On abandonne `a l"une de ses extr´emit´es un objetM quasiment ponctuel de massemqui peut glisser sans frottement dans cette cavit´e. O x 0(R0) y0 M xy (R) H Donn´ees :G= 6,67.10-11u.S.I.;ρ= 2,7.103kg.m-3.

1)Donner la nature du mouvement de l"objet sachant que la p´eriode de r´evolution de l"ast´ero¨ıde

sur lui-mˆeme estT= 10h.

2)Calculer la p´eriodeT0du mouvement de la masse dans la cavit´e.

3)Quelle devrait ˆetre la masse volumiqueρde l"ast´ero¨ıde pour que l"objet plac´e `a l"entr´ee de

la cavit´e y reste en ´equilibre, la p´eriode de rotationTn"ayant pas chang´e. ???Ex-M9.8Pendule conique Dans le r´ef´erentiel terrestreR(O,x,y,z,t) suppos´e galil´een, un pendule conique est constitu´e d"une masse ponctuelle mfix´ee `a un fil de masse n´egligeable et de longueurldont l"extr´emit´e sup´erieureAest fixe et situ´ee sur l"axe vertical (Oz). Le pendule est astreint `a tourner autour de l"axe (Oz) `a la vitesse angulaire constanteω: le fil est alors inclin´e d"un angleαconstant par rapport `a (Oz).

On noteMla position dem`a la datet.

SoitR1le r´ef´erentiel (O1,xl,y1,z,t) li´e au pendule tel que Msoit toujours sur l"axe (O1x1). L"´etude sera men´ee dans ce r´ef´erentiel.

1)Exprimer les forces d"inertie-→Fieet--→FiCdans la base

(-→ex1,-→ey1,-→ez). A M Ol O 1x1y 1z m g

2)Montrer que l"inclinaison du pendule n"est observ´ee que siωest sup´erieure `a une certaine

valeurωminque l"on d´eterminera en fonction degetl. Dans le cas o`uω > wmin, d´eterminer l"expression deαen fonction deg,letω.

3)Quelle serait la nouvelle expressionα?de l"angle si ce pendule ´etait situ´e dans un ascenseur en

mouvement rectiligne uniform´ement acc´el´er´e d"acc´el´eration-→a=a.-→ez, par rapport `aR(a >0)?

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Compl´ement Ex-M9.1

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] Exercices – M´ecanique PTSI Changement de r´ef´erentiels

2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI

1)Exprimer les vitesses-→v+et-→v-du rameur par rapport

2)En d´eduire la dur´eeτde l"aller-retour du rameur entre les bou´ees.

3)Quelle est la dur´eeτ?mise par un personne marchant sur les berges avec la mˆeme vitesse

R´ep : 1)

1)´Etablir les ´equations param´etriques de la trajectoire del"homme :

1.a)Dans le r´ef´erentielR?li´e au man`ege (--→OM=-→f(t)).

1.b)Dans le r´ef´erentielRli´e au sol en utilisant les coordonn´ees polaire (r=...etθ=...), en

2)D´eterminer la vitesse absolue du mouvement de l"homme dansune base judicieusement

2.a)en utilisant les lois de composition des mouvements.

2.b)`a partir de l"´equation param´etrique de la trajectoire.

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3)Reprendre la question2)pour l"acc´el´eration absolue.

R´ep : 1.a)

2aω2t2?-→ex?+ 2aωt-→ey?

1)Quelle est la vitesse d"un point exprim´ee dans la base locale des coordonn´ees sph´eriques?

2)Quel est le vecteur rotation du rep`ere (O,-→er,-→eθ,-→e?) par rapport au rep`ere (O,-→ex,-→ey,-→ez)?

R´ep :ÜCf CoursM8.II.2.c), p. 4.

Trouver l"´equation du mouvement deMdansR

1)`a partir de la relation fondamentale de la dynamique;

2)`a partir du th´eor`eme du moment cin´etique;

3)`a partir de la puissance cin´etique;

4)`a partir de la conservation de l"´energie m´ecanique (qui

On veut ´etudier l"´equilibre relatif deM.

2)D´eterminer les positions d"´equilibre.

R´ep : I)¨θ-ω2sinθcosθ+g

Rsinθ= 0

0?sinθ(g-ω2Rcosθ) = 0 puisqueEp=Ep,g+Ep,ie=-mgRcosθ-1

2mω2R2sin2θ;II.2)

R:θeq3= arccosgRω2

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III)ω=?2g

2=2πT0, d"o`uT0= 2π?

2R⎷3

3)Donner l"expression de la r´eaction de la tige sur l"anneau au point B juste avant la chute.

2chωt;2)t1=1ωarcch2;

B=lω

2⎷3;3)R(M=B)=m?g2+ 3l2ω4.

´evolue le long de l"axe (O1y).

1)Montrer que la composante cart´esienne, suivant la verticale ascendante (Oy), de l"acc´el´eration

1dansRs"´ecritv2f??

3)Calculer la tension-→Tdu ressort dans le cas o`u, grˆace `a une force suppl´ementaire de frottement

4)Le profil de la route forme une bosse assimilable `a un arc de parabole,M1SM2, dont

R´ep : 1)vO1/RT=?

1)R?est-il galil´een?

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3)En d´eduire que l"´equation diff´erentielle du mouvement deMdansR?s"´ecrit sous la forme :¨θ+ω20(1 +h(t))sinθ= 0 o`uh(t) est une fonction du temps `a pr´eciser.

R´ep : 3)

¨θ+g

1 +Dmω2gcosωt?

1)Montrer qu"il ne peut exister une position d"´equilibre

2)Pr´eciser la position de l"anneau pour une vitesseω1≥ω0.

3)Si l"on ´ecarte l´eg`erement l"anneau de cette position lorsqu"elle existe, que se passe-t-il?´Etudier la stabilit´e de l"´equilibre.R´ep : 1)ω0=?

Bexp(λt) avecλ=⎷

On suppose les amortisseurs et les

M´ethode et indications pour

L=1,2 mxze=50 mm

R´ep :v=?

2e.Lπ

2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI

3π.ρ.--→OM

OH=adu centreO.

1)Donner la nature du mouvement de l"objet sachant que la p´eriode de r´evolution de l"ast´ero¨ıde

2)Calculer la p´eriodeT0du mouvement de la masse dans la cavit´e.

3)Quelle devrait ˆetre la masse volumiqueρde l"ast´ero¨ıde pour que l"objet plac´e `a l"entr´ee de

On noteMla position dem`a la datet.

1)Exprimer les forces d"inertie-→Fieet--→FiCdans la base

2)Montrer que l"inclinaison du pendule n"est observ´ee que siωest sup´erieure `a une certaine

3)Quelle serait la nouvelle expressionα?de l"angle si ce pendule ´etait situ´e dans un ascenseur en

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Compl´ement Ex-M9.1