Anneaux et idéaux

Anneaux et idéaux Exercice 1 1 Trouver A pour les anneaux 1 et 2 de l’exercice6 1 Exo7 - Exercices de mathématiques Author:

Exercices sur les anneaux et corps - My Ismail

Exercices sur les anneaux et corps 1 Inversible dans un anneau 2 Idempotents et produit d’anneaux 3 Endomorphisme du corps R 4 Corps gauche des quaternions 5 El´ement nilpotent´ 6 Anneau ﬁni 7 Anneau ordonn´e 8 Le th´eor`eme chinois dans un anneau commutatif 9 Les entiers de Gauss 10 Un sous-anneau de R 11 Anneau des s´eries

Examen partiel - Corrigé

L3MathESR–Algèbre5 2novembre2016 Examen partiel - Corrigé I - Exemples (5 points) 1 Donner un exemple de polynôme P ∈R[X] de degré 2 tel que l’anneau quotient R[X]/(P) nesoitpasisomorpheàC (justiﬁerrapidement,deuxphrasesdevraientsuf-

Correction - u-bordeauxfr

outT anneau considéré ci-dessous est commutatif et unitaire Si aet bsont des éléments d'un anneau A, on note ha;bil'idéal engendré par aet b 1 Question de cours : anneaux euclidiens, principaux, factoriels (a) Rappeler les dé nitions d'un anneau euclidien, d'un idéal principal et d'un anneau principal

TD2 : Anneaux, idéaux, anneaux principaux et afctoriels

aussi l'exercice 13 Les exercices 5 et 6 sont fondamentaux : il faut les etrenir Exercice 1 (à préparer) : Idéaux principaux, idéaux de type ni 1 Soit kun corps Rappeler pourquoi tout idéal de k[X] est principal 2 Exhiber des idéaux non principaux dans k[X;Y], k[T2;T3] et Z[X] 3 Montrer que Z[i p 5] possède des idéaux non

Exercices - anneaux

Exercices sur les anneaux A CHAMBERT-LOIR † EXERCICE1 Soit A un anneau et soit S une partie de A 1 Démontrer que le centralisateur ZS(A) de S dans A (pour la structure de monoïde multipli-catif) est un sous-anneau de A 2 En déduire que le centre de A est un sous-anneau de A EXERCICE2 Soit A le sous-anneau de C engendré par p 2

ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012–2013

Ses idéaux sont f0g et les I m= (Xm) pour chaque m2N Exercice 1 11 — L’anneau des nombres décimaux (c’est-à-dire les nombres rationnels dont le développement décimal est ﬁni) est principal Exercice 1 12 — Montrer que les idéaux maximaux de l’anneau C des fonctions continues de [0;1] dans R

CENT CINQUANTE-SEPT EXERCICES D’ALGÈBRE POUR LE SIXIÈME

CENT CINQUANTE-SEPT EXERCICES D’ALGÈBRE POUR LE SIXIÈME SEMESTRE DE LA LICENCE DE MATHÉMATIQUES 2012–2013 Michèle Audin 1 Anneaux,morphismesetidéaux Anneaux(1) Exercice 1 1 Déterminer toutes les structures d’anneaux possibles sur les ensembles à deux et trois éléments Exercice 1 2

Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1

Groupes, anneaux, corps Pascal Lainé 1 Groupes, anneaux, corps Exercice 1 1 On munit de la loi de composition interne définie par : ( )( ) Montrer que est commutative, non associative, et que est élément neutre 2 On munit de la loi de composition interne définie par : √

Anneaux et idéaux - Cours et exercices de mathématiques

Énoncés : V. Gritsenko

Corrections : J.-F. BarraudExo7

Exercice 1

Donner la définition d"un corps. Les opérations binaires+et, sont-elles équivalentes dans la définition ?

H???Exercice 2

Trouver toutes les solutions des équations :

1.ax+b=c(a;b;c2K,Kest un corps);

2 x3 mod 10 et 2x6 mod 10 dans l"anneauZ10=Z=10Z.

H???Exercice 3

SoitAun anneau. Démontrer que :

1.8a2A0Aa=0A;

2.(1A)a=a;

3.jAj>2()1A6=0AdansA.

H???Exercice 4 1. Si xyest inversible dans un anneauA, alorsxetysont inversibles. 2.

Dans un anneau, un élément in versiblen"est pas di viseurde zéro et un di viseurde zéro n"est pas

inversible. H???Exercice 5 Démontrer que tout anneau intègre fini est un corps. HH???Exercice 6 Lesquels de ces sous-ensembles donnés deCsont des anneaux ? Lesquels sont des corps ? 1. S n2N10nZ; 2.fmn jm2Z;n2N;(m;n) =1;p-ng(pest un nombre premier fixé) ;

3.Z[p1] =Z+Zp1,Z[p2] =Z+Zp2;

4.Q[p1] =Q+Qp1,Q[p2] =Q+Qp2.

1 H???Exercice 7 Les éléments inversibles d"un anneauAforment le groupe multiplicatif(A;). 1. T rouverApour les anneaux 1. et 2. de l"exercice6 . 2. T rouverle groupe Z[p1]en utilisant la norme complexe. 3.

Montrer que le groupe Z[p2]est infini.

???Exercice 8

Un élémentad"un anneauAs"appelle nilpotent, s"il existen2Ntel quean=0. Trouver tous les éléments

inversibles, les diviseurs de zéro, les nilpotents des anneaux suivants :

1.Z=360Z;

2.Z=nZ;

3. Démontrer que, pour tout nilpotent xdeA, l"élément 1+xest inversible. ???Exercice 9

SoitIun idéal d"un anneauA. On note par(a) =aAl"idéal principal engendré para. Montrer que :

1.I=Asi et seulement siIcontient une unité;

2.(a) =Assiaest inversible;

3. Un anneau Aest un corps ssi(0)est le seul idéal propre deA. ???Exercice 10

Montrer que les éléments nilpotents d"un anneau forment un idéal.???Exercice 11Sommes et produits d"idéaux1.Soient I,Jdeux idéaux d"un anneauA. Montrer que

I\J;I+J=fx+yjx2I;y2Jg

sont des idéaux deA. 2. Montrer que I+Jest le plus petit idéal deAcontenantIetJ. 3. Soit n;m2Z,I= (n) =nZ,J= (m) =mZ. TrouverI\JetI+J. 4.

Montrer que

IJ=fx1y1+x2y2+:::xnynjn2N;xk2I;yk2Jpour 16k6ng

est un idéal. Il s"appelleproduit des idéaux IetJ. 5. On considère les idéaux I= (x1;:::xn) =Ax1++AxnetJ= (y1;:::ym) =Ay1++Aym. Décrire les idéauxI+J,IJ,I2en fonction dexk,yl. 2 Exercice 12Idéaux étrangers1.Montrer que IJI\Jet(I+J)(I\J)IJ 2. On dit que deux idéaux IetJdeAsontétrangerssiI+J=A. Montrer queI\J=IJsiI,Jsont étrangers. ???3 Indication pourl"exer cice5 NVoir la solution de l"exercice??, deuxième question.4

Correction del"exer cice1 NCours... Non, les rôles des deux opérations ne sont pas interchangeables, puisque l"une est distributive sur

l"autre.Correction del"exer cice2 N1.une seule solution x=a1(cb) 2.

pas de solution, et deux solutions. Attention, dans Z=10Z, on ne peut pas inverser 2. Ecrire 2x=3+10k

pour obtenir que 2j3, et 2x=6+10kpour simplifier par 2... dansR.Correction del"exer cice3 N1.Ecrire (0+a)a=a:ad"une part (0 est neutre pour+) et(0+a):a=0:a+a:a(distributivité).

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Énoncés : V. Gritsenko

Corrections : J.-F. BarraudExo7