Exo7 - Cours de mathématiques
DÉTERMINANTS 1 DÉTERMINANT EN DIMENSION 2 ET 3 3 v2 v1 v3 À partir de ces trois vecteurs on définit, en juxtaposant les colonnes, une matrice et un déterminant : det(v1,v2,v3) = det
Exo7 - Exercices de mathématiques
Déterminants Z Z ZZ Z Z ZZ Exo7 Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur www maths-france * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
College Algebra - UW-Madison Department of Mathematics
College Algebra Version p 3 = 1:7320508075688772::: by Carl Stitz, Ph D Jeff Zeager, Ph D Lakeland Community College Lorain County Community College
Applications linéaires, matrices, déterminants
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2 2 Déterminer les coordonnées de ( 1), ( 2) et ( 3) dans la base canonique 3 Calculer une base de ker( )et une base de
Differential Equations
Chapter 0 A short mathematical review A basic understanding of calculus is required to undertake a study of differential equations This zero chapter presents a short review
Determinants Et Systemes Lineaires
Determinants Et Systemes Lineaires Determinants Et Systemes Lineaires Chapter 1 : Determinants Et Systemes Lineaires sociétés, immatriculations et radiations en france evolutions des sociétés ces dernières années ci-dessous, l'évolution par an (depuis 2012) des créations et
matrices exam questions part a - MadAsMaths
Created by T Madas Created by T Madas Question 4 (**) The 2 2× matrix A represents a rotation by 90 ° anticlockwise about the origin O The 2 2× matrix B represents a reflection in the straight line with equation y x= −
Daniel ALIBERT Espaces vectoriels Applications linéaires
Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volum e 6 1 Daniel ALIBERT Espaces vectoriels Applications linéaires Matrices Diagonalisation et trigonalisation
[PDF] Le Mille Marin /le N #339 ud Calcul simple de la vitesse - APBA
[PDF] Calcul de la distance entre deux points1 - ipnas
[PDF] La distance horizontale entre deux points - Géodésie, Topographie
[PDF] Vitesse et distance d 'arrêt
[PDF] Vitesse et distance d 'arrêt
[PDF] La génétique - Free
[PDF] Comment obtenir la distance entre deux points connus - Géodésie
[PDF] Calcul de la distance entre deux points
[PDF] ET3 - RESEAUX: Présentation et dimensionnement des installations
[PDF] DONNEES TECHNIQUES
[PDF] Le pH 6 Le dosage des solutions d 'acides et des bases faibles
[PDF] LE SALAIRE
[PDF] Caisse Nationale de l 'Assurance Maladie - Cnamts
[PDF] La mesure de la pauvreté - Insee
Déterminants
pède engendré par cesnvecteurs. On peut aussi définir le déterminant d"une matriceA. Le déterminant permet de
savoir si une matrice est inversible ou pas, et de façon plus générale, joue un rôle important dans le calcul matriciel et
la résolution de systèmes linéaires.Dans tout ce qui suit, nous considérons des matrices à coefficients dans un corps commutatifK, les principaux
exemples étantK=RouK=C. Nous commençons par donner l"expression du déterminant d"une matrice en petites
dimensions.1. Déterminant en dimension2et3
1.1. Matrice22
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : deta b c d =adbc.C"est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l"autre
diagonale (en orange).ab cd0 @1 A+1.2. Matrice33
SoitA2M3(K)une matrice 33 :
A=0 @a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
AVoici la formule pour le déterminant :
DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET32Il existe un moyen facile de retenir cette formule, c"est larègle de Sarrus: on recopie les deux premières colonnes à
droite de la matrice (colonnes grisées), puis on additionne les produits de trois termes en les regroupant selon la
direction de la diagonale descendante (à gauche), et on soustrait ensuite les produits de trois termes regroupés selon
la direction de la diagonale montante (à droite).a 11a 12a 13a 11a 12a 21a22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B
BBBBB@1
CCCCCCAa
11a 12a 13a 11a 12a 21a22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B
BBBBB@1
CCCCCCAExemple 1.
Calculons le déterminant de la matriceA=0
@2 1 0 11 33 2 11
APar la règle de Sarrus :
detA=2(1)1+133+0123(1)0232111=6.21021
11311321320
BBBBBB@1
CCCCCCA
Attention : cette méthode ne s"applique pas pour les matrices de taille supérieure à3. Nous verrons d"autres méthodes
qui s"appliquent aux matrices carrées de toute taille et donc aussi aux matrices 33.1.3. Interprétation géométrique du déterminant
On va voir qu"en dimension 2, les déterminants correspondent à des aires et en dimension 3 à des volumes.
Donnons nous deux vecteursv1=(ac)etv2=bddu planR2. Ces deux vecteursv1,v2déterminentun parallélogramme.v
1v 2xy O~ i~ jProposition 1. L"aire du parallélogramme est donnée par la valeur absolue du déterminant :A=det(v1,v2)=deta b
c d .De manière similaire, trois vecteurs de l"espaceR3: v 1=0 @a 11 a 21a 311
A v2=0 @a 12 a 22
a 321
A v3=0 @a 13 a 23
a 331
A définissent un parallélépipède. DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET33v 1v 2v
3À partir de ces trois vecteurs on définit, en juxtaposant les colonnes, une matrice et un déterminant :
det(v1,v2,v3) =det0 @a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
A .Proposition 2. Le volume du parallélépipède est donné par la valeur absolue du déterminant :V=det(v1,v2,v3).On prendra comme unité d"aire dansR2l"aire du carré unité dont les côtés sont les vecteurs de la base canonique10,01, et comme unité de volume dansR3, le volume du cube unité.
Démonstration.
Traitons le cas de la dimension2. Le résultat est vrai siv1=(a0)etv2=0d. En effet, dans ce cas ona affaire à un rectangle de côtésjajetjdj, donc d"airejadj, alors que le déterminant de la matricea0
0d vautad.v 1v 2ad O~ i~ jSi les vecteursv1etv2sont colinéaires alors le parallélogramme est aplati, donc d"aire nulle; on calcule facilement
que lorsque deux vecteurs sont colinéaires, leur déterminant est nul.Dans la suite on suppose que les vecteurs ne sont pas colinéaires. Notonsv1=(ac)etv2=bd. Sia6=0, alors
v02=v2ba
v1est un vecteur vertical :v02=0
dba cL"opération de remplacerv2parv0
2ne change pas l"aire du parallélogramme (c"est comme si on avait coupé le triangle
vert et on l"avait collé à la place le triangle bleu).v 1v 2v 0 2O~ i~ jCette opération ne change pas non plus le déterminant car on a toujours : det(v1,v02) =deta0
b dba c =adbc=det(v1,v2).On pose alorsv0
1=(a0): c"est un vecteur horizontal. Encore une fois l"opération de remplacerv1parv0
1ne change ni
l"aire des parallélogrammes ni le déterminant car det(v0 1,v02) =deta0
0dba c =adbc=det(v1,v2). DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT4v 1v 0 2v 0 1O~ i~jOn s"est donc ramené au premier cas d"un rectangle aux côtés parallèles aux axes, pour lequel le résultat est déjà
acquis. Le cas tridimensionnel se traite de façon analogue.Mini-exercices. 1.P ourA=1 2
5 3 etB=7 8 9 5 calculer les déterminants deA,B,AB,A+B,A1,A,AT. 2.Mêmes questions pour A=a b
c d etB=a00 c 0d0 3.Mêmes questions pour A=0
@2 0 1 21 23 1 01
A etB=0 @1 2 3 0 2 20 0 31
A 4. Calculer l"aire du parallélogramme défini par les vecteurs73et14.
5. Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs 211 ,114 ,131 .2. Définition du déterminantCette partie est consacrée à la définition du déterminant. La définition du déterminant est assez abstraite et il faudra
attendre encore un peu pour pouvoir vraiment calculer des déterminants.2.1. Définition et premières propriétés
Nous allons caractériser le déterminant comme une application, qui à une matrice carrée associe un scalaire :
det :Mn(K)!KThéorème 1(Existence et d"unicité du déterminant).Il existe une unique application de M
n(K)dansK, appeléedéterminant, telle que (i)le déterminant est linéaire par rapport à chaque vecteur colonne, les autres étant fixés ;
(ii) si une matrice A a deux colonnes identiques, alors son déterminant est nul ; (iii) le déterminant de la matrice identité I nvaut1.Une preuve de l"existence du déterminant sera donnée plus bas en section2.4 . On note le déterminant d"une matriceA= (aij)par : detAou a11a12a1n
a21a22a2n.........
a n1an2annSi on noteCilai-ème colonne deA, alors
detA=C1C2Cn=det(C1,C2,...,Cn).DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT5Avec cette notation, la propriété (i) de linéarité par rapport à la colonnejs"écrit : pour tout,2K,det(C1,...,Cj+
C0 j,...,Cn) =det(C1,...,Cj,...,Cn)+det(C1,...,C0 j,...,Cn), soit a11a1j+a0
1ja1n a i1aij+a0 ijain a n1anj+a0 njann a11a1ja1n.........
a i1aijain......... a n1anjann a 11a0 1ja1n a i1a0 ijain a n1a0 njannExemple 2.
6 5 4 710312 251
=5 6 1 4 72312 51
Car la seconde colonne est un multiple de 5.
3 2 43
75 329 2 104
3 2 4 75 39 2 10
3 2 3 75 29 2 4
Par linéarité sur la troisième colonne.
Remarque.
Une application deMn(K)dansKqui satisfait la propriété (i) est appeléeforme multilinéaire.
Si elle satisfait (ii), on dit qu"elle estalternée.Le déterminant est donc la seule forme multilinéaire alternée qui prend comme valeur1sur la matriceIn. Les autres
formes multilinéaires alternées sont les multiples scalaires du déterminant. On verra plus loin comment on peut
calculer en pratique les déterminants.2.2. Premières propriétés
Nous connaissons déjà le déterminant de deux matrices : le déterminant de la matrice nulle 0nvaut 0 (par la propriété (ii)), le déterminant de la matrice identitéInvaut 1 (par la propriété (iii)).Donnons maintenant quelques propriétés importantes du déterminant : comment se comporte le déterminant face
aux opérations élémentaires sur les colonnes?Proposition 3.SoitA2Mn(K)une matrice ayant les colonnesC1,C2,...,Cn. On noteA0la matrice obtenue par une des opérations
élémentaires sur les colonnes, qui sont :
1. C i Ci avec6=0:A0est obtenue en multipliant une colonne deApar un scalaire non nul. AlorsdetA0=detA. 2. C i Ci+Cjavec2K(etj6=i) :A0est obtenue en ajoutant à une colonne deAun multiple d"une autre colonne de A. AlorsdetA0=detA. 3. C i$Cj: A0est obtenue en échangeant deux colonnes distinctes de A. AlorsdetA0=detA. Plus généralement pour (2) : l"opérationCi Ci+Pn j=1 j6=i jCjd"ajouter une combinaison linéaire des autres colonnes conserve le déterminant. Attention! Échanger deux colonnes change le signe du déterminant. DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT6Démonstration.
1. La première propriété découle de la partie (i) de la définition du déterminant.2.SoitA=C1CiCjCnune matrice représentée par ses vecteurs colonnesCk. L"opération
Ci Ci+Cjtransforme la matriceAen la matriceA0=C1Ci+CjCjCn. Par linéarité par rapport à la colonnei, on sait que detA0=detA+detC1CjCjCn. Or les colonnesietjde la matriceC1CjCjCnsont identiques, donc son déterminant est nul. 3.Si on échange les colonnesietjdeA=C1CiCjCnon obtient la matriceA0=C1CiCjCn, où le vecteurCjse retrouve en colonneiet le vecteurCien colonnej.
Introduisons alors une troisième matriceB=C1Ci+CjCj+CiCn. Cette matrice a deux colonnes distinctes égales, donc d"après (ii), detB=0.D"un autre côté, nous pouvons développer ce déterminant en utilisant la propriété (i) de multilinéarité, c"est-à-dire
linéarité par rapport à chaque colonne. Ceci donne0=detB=detC1Ci+CjCj+CiCn
=detC1CiCj+CiCn +detC1CjCj+CiCn =detC1CiCjCn +detC1CiCiCn +detC1CjCjCn +detC1CjCiCn =detA+0+0+detA0, encore grâce à (i) pour les deux déterminants nuls du milieu.Corollaire 1.Si une colonne C
ide la matrice A est combinaison linéaire des autres colonnes, alorsdetA=0.2.3. Déterminants de matrices particulières
Calculer des déterminants n"est pas toujours facile. Cependant il est facile de calculer le déterminant de matrices
triangulaires.Proposition 4.Le déterminant d"une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) est égal au produit des termes diagonaux.Autrement dit, pour une matrice triangulaireA= (aij)on a
detA= a11a12... ... ...a1n
0a22... ... ...a2n............
0 ... ... ... 0ann
=a11a22ann. Comme cas particulièrement important on obtient :Corollaire 2. Le déterminant d"une matrice diagonale est égal au produit des termes diagonaux. DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT7Démonstration.On traite le cas des matrices triangulaires supérieures (le cas des matrices triangulaires inférieures
est identique). Soit donc A=0 BBBBB@a
11a12a13a1n
0a22a23a2n
0 0a33a3n...............
0 0 0ann1
CCCCCA.
La façon de procéder utilise l"algorithme du pivot de Gauss (sur les colonnes, alors qu"il est en général défini sur les
lignes). Par linéarité par rapport à la première colonne, on a detA=a111a12a13a1n
0a22a23a2n
0 0a33a3n...............
0 0 0ann
On soustrait maintenant de chaque colonneCj, pourj>2, la colonneC1multipliée para1j. C"est l"opération
élémentaireCj Cja1jC1. Ceci ne modifie pas le déterminant d"après la section précédente. Il vient donc
detA=a111 0 00
0a22a23a2n
0 0a33a3n...............
0 0 0ann
Par linéarité par rapport à la deuxième colonne, on en déduit detA=a11a221 0 00
0 1a23a2n
0 0a33a3n...............
0 0 0ann
et l"on continue ainsi jusqu"à avoir parcouru toutes les colonnes de la matrice. Au bout denétapes, on a obtenu
detA=a11a22a33ann1 0 00
0 1 00
0 0 10
0 0 01
=a11a22a33anndetIn,d"où le résultat, car detIn=1, par (iii).2.4. Démonstration de l"existence du déterminant
La démonstration du théorème d"existence du déterminant, exposée ci-dessous, est ardue et pourra être gardée pour
une seconde lecture. Par ailleurs, l"unicité du déterminant, plus difficile, est admise.Pour démontrer l"existence d"une application satisfaisant aux conditions (i), (ii), (iii) du théorème-définition
1 , ondonne une formule qui, de plus, nous offre une autre méthode de calcul pratique du déterminant d"une matrice, et
on vérifie que les propriétés caractéristiques des déterminants sont satisfaites. On retrouvera cette formule, dite de
développement par rapport à une ligne, en section 4.2Notation.
SoitA2Mn(K)une matrice carrée de taillenn. Il est évident que si l"on supprime une ligne et une colonne
dansA, la matrice obtenue an1lignes etn1colonnes. On noteAi,jouAijla matrice obtenue en supprimant la
i-ème ligne et laj-ème colonne deA. Le théorème d"existence peut s"énoncer de la façon suivante :Théorème 2(Existence du déterminant).
Les formules suivantes définissent par récurrence, pourn>1, une application deMn(K)dansKqui satisfait aux
propriétés (i), (ii), (iii) caractérisant le déterminant : Déterminant d"une matrice11.Si a2Ket A= (a),detA=a. DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT8•Formule de récurrence.Si A= (ai,j)est une matrice carrée de taille nn, alors pour tout i fixé
detA= (1)i+1ai,1detAi,1+(1)i+2ai,2detAi,2++(1)i+nai,ndetAi,n.Démonstration.La preuve se fait par récurrence sur l"ordre des matrices.
Initialisation.Dans le casn=1, il est évident que toutes les propriétés souhaitées sont satisfaites.
Hérédité.Supposons maintenant que l"applicationdet:Mn1(K)!Ksoit définie et satisfasse les propriétés (i), (ii)
et (iii). Pour faciliter l"exposition, la preuve va être faite pouri=n. SoitA= (ai,j)notée aussiA= (C1Cn)où
Cj=a1,j
...an,j est laj-ème colonne deA. On notera aussi¯Cj=a1,j
...an1,j la colonne à(n1)éléments, égale àCjprivée de son dernier coefficient.Propriété (i).
Il s"agit de vérifier que l"application
A7!detA= (1)n+1an,1detAn,1+(1)n+2an,2detAn,2++(1)n+nan,ndetAn,nest linéaire par rapport à chaque colonne. Nous allons le prouver pour la dernière colonne, c"est-à-dire que :
det(C1,...,Cn1,C0 n+C00 n) =det(C1,...,Cn1,C0 n)+det(C1,...,Cn1,C00 n).NotonsA,A0,A00les matrices(C1Cn1C0
n+C00 n),(C1Cn1C0 n)et(C1Cn1C00 n), etAn,j,A0 n,j,A00 n,jles sous-matrices extraites en enlevantn-ème ligne et laj-ème colonne. En comparant les différentes matrices,
on constate quea0 n,j=a00 n,j=an,jsij