TOUS LES EXERCICES DALGEBRE ET DE GEOMETRIE PC-PSI
TOUS LES EXERCICES DÕALGéBRE ET DE G OM TRIE PC-PSI Pour assimiler le programme, sÕentra ner et r ussir son concours El-Haj Laamri Agr g en math matiques et ma tre de conf rences Nancy-Universit
TOUS LES EXERCICES DALGEBRE ET DE GEOMETRIE MP
TOUS LES EXERCICES DÕALGéBRE ET DE G OM TRIE MP Pour assimiler le programme, sÕentra ner et r ussir son concours El-Haj Laamri Agr g en math matiques et ma tre de conf rences Nancy-Universit
TOUS LES EXERCICES DALGEBRE ET DE GEOMETRIE PC-PSI
trie » regroupe des exercices de tous les concours abordant les questions de géomé-trie (affine, euclidienne, isométries affines et vectorielles, lieux géométriques, calcul d’extrema) Absentes des programmes de deuxième année, ces notions ne sont pas absentes des concours Enfin, nous avons apporté un soin tout particulier aux
Tris par comparaison - AlloSchool
Exercice 6 Montrons par récurrence forte sur n = j i > 2 que tri(t, i, j) trie correctement le tableau t[i: j] – Si n = 2 l’algorithme réalise au plus une permutation pour trier le tableau à deux cases et ne fait pas d’appel récursif –Si n>3 on suppose le résultat acquis jusqu’au rang n 1
Correction TD 8 : Algorithmes de tri
Exercice 2 : Nombre d’op´erations a- Pour effectuer k recherches dans un tableau non tri´e de taille n il faut compter en moyenne kn 2 op´erations b- Trier le tableau se fait en nlog2 n auquel il faut ajouter la recherche di-chotomique qui se fait en log2 n et qu’on doit faire k fois : (n+k)log2 n
Tous les exercices dAnalyse PC-PSI
Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques » vii ouvrages de première année présentent donc une sélection d’extraits de problèmes d’écrits L’élève de deuxième année, plus mûr, est capable de trouver lui-même des sujets d’écrit, les ouvrages de deuxième année n’en présentent donc pas Cette plus
TP no 10 : Tris - CPGE
Lycée Carnot — 2018-2019 Informatique MPSI TP no 10 : Tris Le tri est peut-être le problème le plus fondamental en matière d’algorithmique Donald KNUTH y consacre d’ailleurs le 3e volume de son immense œuvre The Art of Computer Programming
Pour les figures, tu peux les recopier approximativement ou
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Chapitre 3 informatique commune Algorithmes de tris
3 4 informatique commune Remarque Le tri par insertion (tel qu’il est rédigé ci-dessus) est stable 2 Algorithmes de tris efficaces Nous venons d’étudier deux algorithmes de tri, tous deux de coût quadratique, aussi bien dans le pire des cas
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Avant-propos
Ce livre couvre le programme d"algèbre et de géométrie de deuxième année PC et PSI, et poursuit la démarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de première année. Comme pour l"ensemble de la collection, le respect du programme officiel est un principe que nous avons suivi à la lettre. Ainsi, tout exercice et tout rappel de est signalé de façon explicite. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l"ap- profondissement en deuxième année de certains points abordés en première année : espaces vectoriels, applications linéaires, calcul matriciel, déterminants, étude affine et métrique des courbes, espaces euclidiens. Nous avons mis à profit cette possi-bilité pour que le présent ouvrage, tout en étant sans ambiguïté destiné aux élèves
de deuxième année, présente plusieurs chapitres utilisables en première lecture dès le deuxième semestre de première année et pour les " révisions estivales » entre la première et la deuxième année. Les premiers chapitres traitent des espaces vectoriels et des applications linéaires, puis du calcul matriciel. Les notions nouvelles de sommes directes, de trace et de matrices semblables sont illustrées par de nombreux exercices. De manière délibé-rée, les exercices proposés ont été sélectionnés pour clarifier et maîtriser l"articula-
tion entre le point de vue matriciel et le point de vue vectoriel, plus géométrique. Ces chapitres permettent de réviser et d"approfondir le programme de première annéetout en donnant une vue réaliste des exercices donnés à l"oral. Les systèmes linéaires
et les déterminants nous ont permis, par les exercices choisis, de montrer l"effica- cité d"une démarche méthodique sur des exemples simples qui s"appuient sur les acquis première année. Le passage à la dimensionnsupérieure à 3 justifie pleine- ment l"approche conceptuelle, complément impératif de l"approche technique anté- rieure. La réduction des endomorphismes est un point essentiel du programme de deuxième année en raison de son intérêt pour la formation de l"élève (toutes lesnotions d"algèbre linéaire sont sollicitées), de son intérêt pour la préparation aux
concours (toutes les épreuves de concours, ou presque, abordent ces questions) et deson intérêt pour l"évolution future de l"élève-ingénieur qui rencontrera ces notions© Dunod - La photocopie non autorisée est un délitdoc-pc" (Col. : 100 % Concours 17×24 NB) 2008/10/16 14:38 page xi #7
xiiAvant-propos utilisées dans de nombreux domaines scientifiques. Les espaces préhilbertiens et euclidiens réalisent une synthèse encore plus profonde entre les outils techniques et la démarche conceptuelle. Nous avons tenté de rendre compte par les rappels de cours et le choix des exercices de la richesse de ces concepts en privilégiant l"ap- proche méthodique et en montrant à l"élève les vertus unificatrices de notions qui dépassent largement la géométrie et s"appliquent aussi bien à l"analyse qu"à l"al- gèbre. Dans le chapitre "quadriques et coniques», la classification et la méthode deréduction sont présentées de façon détaillée et illustrées par de nombreux exemples.
métrées sont souvent négligées par les élèves. Par des exercices venant de tous les
rédigé ce chapitre de manière progressive en y intégrant les éléments de programme de première année pour construire un ensemble complet et autonome. Le chapitre suivant traite des surfaces définies par un paramétrage ou par une équation carté- sienne. C"est sous l"éclairage de ce double point de vue que sont abordées les notions fondamentales de vecteur normal et de plan tangent en un point régulier. Un choix judicieux et progressif d"exercices de concours permet aux étudiants de se familiari- ser avec les surfaces usuelles. Le dernier chapitre intitulé " compléments de géomé- trie» regroupe des exercices de tous les concours abordant les questions de géomé- trie (affine, euclidienne, isométries affines et vectorielles, lieux géométriques, calcul d"extrema). Absentes des programmes de deuxième année, ces notions ne sont pas absentes des concours. Enfin, nous avons apporté un soin tout particulier aux figures qui illustrent ces derniers chapitres. Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entre les principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première année choisi de présenter et d"illustrer de façon linéaire chaque nouvelle notion l"une après l"autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales et encore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choisi de présenter globalement l"essentiel des notions d"un chapitre puis de progresser par étapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaque chapitre est donc constitué de trois parties : - une présentation synthétique de l"essentiel du cours suivie d"exercices d"assimila- tion immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complication inutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d"identifier clairement une et une seule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de " règle des trois uni- tés» : un exercice, une difficulté, une solution; - des exercices d"entraînement dont la rédaction progressive et le découpage en questions ont pour objectif d"amener le lecteur à la compréhension en le confron- tant de façon progressive aux difficultés propres à la notion étudiée; - des exercices d"approfondissement destinés à mettre l"élève en situation de concours , avec la nécessité pour lui de faire preuve de compréhension, d"initia- tive, d"intuition et de maîtrise technique. doc-pc" (Col. : 100 % Concours 17×24 NB) 2008/10/16 14:38 page xii #8Avant-proposxiii
La lecture d"un tel chapitre n"est donc plus nécessairement linéaire. La structure est parfaitement adaptée à des lecteurs de niveaux variés qui pourront éventuellement passer directement à une forme d"auto-évaluation en se concentrant sur les exercices d"approfondissements ou, au contraire, progresser pas à pas avec les exercices d"as- similation. Si les élèves de deuxième année ont pu gagner en autonomie, il n"en reste pas moins que leurs niveaux de compétence et de compréhension restent très hétéro- gènes. Ainsi, entre des " 3/2 » qui découvrent le programme pour la première foiset n"ont encore été confrontés à aucun concours, des " 5/2 » qui ont déjà étudié le
programme mais ont échoué à leur première expérience et des " 5/2 » déjà admis à
des concours mais dont l"ambition les amène à viser encore plus haut, les différences sont très fortes. Ce sont ces différences, constatées en particulier lors des séances de " colles », qui nous ont amenés à cette rédaction permettant plusieurs niveaux de lecture et d"utilisation de l"ouvrage. Entre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième année n"impose pas d"ordre ni de découpage, contrairement au programme de première année. Cette liberté nous a permis de choisir une progression qui nous semblait la plus adaptée et la plus équilibrée. Chaque étape présente un nombre de notions nouvelles accep- table pour une perception d"ensemble compatible avec la structure des chapitres. Il n"y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d"un escalier : la hauteur acceptable des marches et leur régularité peut faciliter l"ascension... Nous avons donc retenu une progression qui nous semble adaptée, sans affirmer pour autant que d"autres progressions sont à rejeter. Notre diversité d"expérience, avantage de la rédaction collective, nous amène d"ailleurs à utiliser différentes progressions dans nos pratiques d"enseignement. Il reste ensuite le choix le plus difficile : face à l"infi- nité d"exercices possibles et au temps fini dont disposent les élèves pour préparer les concours, que proposer? Quelques principes ont guidé notre sélection : - respecter le parti-pris de progressivité en donnant des exercices qui permettent d"assimiler, puis de s"entraîner et enfin d"approfondir; - donner une vue précise et réaliste d"exercices qui " tombent à l"oral » en s"ap- puyant en particulier sur une veille attentive des sujets donnés à l"oral dans plu- sieurs concours depuis plusieurs années; - privilégier les exercices " génériques » dont la maîtrise donne les clefs de nom- breux exercices (comme il avait déjà été annoncé en avant-propos des ouvragesde première année : habituer les élèves à reconnaître les " visages connus » sous
leurs différentes apparences); - profiter du " nomadisme » des exercices constaté entre des concours différents et ne pas hésiter à proposer un sujet de MP si son intérêt pédagogique le justifie, sachant que ce même sujet peut apparaître plus tard en PC ou PSI... - convaincre les élèves que les oraux couvrent tout le programme des deux années. Pour éviter l"arbitraire des préférences personnelles lors d"une rédaction collective, une référence incontestable et " objective » est nécessaire : nous avons choisi pour © Dunod - La photocopie non autorisée est un délit doc-pc" (Col. : 100 % Concours 17×24 NB) 2008/10/16 14:38 page xiii #9 xivAvant-proposréférence la réalité des exercices donnés à l"oral, principalement depuis 2004, date
d"application du nouveau programme. Mais ces exercices ont pour objectif le "clas- sement » des élèves et non leur formation. Dans un ouvrage d"apprentissage quoti- dien, certaines retouches se sont avérées nécessaires : lorsqu"ils utilisent ce livre, les élèves sont en cours de formation et pas encore en concours! Notre expérience d"en- seignants d"abord, de "colleurs» ensuite, d"examinateurs enfin, nous a permis d"ob-server en situation réelle, dans différentes classes, les élèves face à ces exercices...
ce qui nous a convaincus de la nécessité d"en faire évoluer la rédaction pour qu"ils passent du statut d"exercice d"oral au statut d"exercice pédagogique. Notre expé- rience nous a permis cette adaptation sans, en aucune manière, dénaturer ces exer- cices.La rédactionretouchéedecertainsexercicesrépondàlafoisà unobjectifpéda- gogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l"élève par une rédactiondétaillée qui fasse apparaître de façon explicite les difficultés et les techniques à maî-
triser. Objectif psychologique de rassurer l"élève en l"amenant à résoudre seul une majorité de questions en favorisant ainsi le développement de son autonomie. Si un sujet a été donné à plusieurs concours, nous avons toujours choisi la version qui nous semblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avons également regroupé cer- tains énoncés d"oral qui nous semblaient complémentaires ou permettaient de donnerun aperçu des sujets régulièrement abordés à l"écrit. Quant aux éléments de cours,
chacun sait que ce qui est élégamment écrit dans un cours à la rédaction parfaite n"est pas toujours aussi clair dans l"esprit des élèves... et nous n"avons pas hésité,parfois, à sacrifier l"élégance de la rédaction à la redondance lorsque cette dernière
nous permettait de rendre explicites des notions souvent restées implicites. C"estenpremierlieuauxélèvesdesclassespréparatoiresMP,MP*,PC1,PC2et PC* du Lycée Henri Poincaré et PSI et PSI* du Lycée Henri Loritz de Nancy que nous adressons, collectivement, nos remerciements. Ils ont en effet largement contribué par leurs réactions, leurs questions, leurs erreurs et leur compréhension à guider nos efforts de présentation des exercices, de clarification des questions, de simplification des corrigés. Toujours aussi enthousiasmante cette aventure rédactionnelle est aussi une aventure humaine dans laquelle nous avons été aidés. Aidés matériellement par l"Institut Elie Cartan de Nancy qui nous a permis d"utiliser ses moyens informatiques et ses ressources documentaires. Aidés par l"IREM qui nous a donné un accès privilégié à ses ressources documen- taires, ainsi que par l"I.U.T Nancy-Charlemagne dont la bibliothèque nous a toujours reçus avec sourire et efficacité. Aidés également par le Lycée Henri Poincaré de Nancy qui nous a accueillis chaque samedi matin, de septembre à mars, dans une salle équipée de moyens informatiques. Aidés enfin par trois collègues du Lycée Henri Poincaré, Gilles Demeusois, Michel Eguether et Edouard Lebeau qui nous ont lus en détail et dont les remarques ont sen- siblement amélioré le présent ouvrage.