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Chapitre 7 Calcul vectoriel dans l’espace, g eom etrie dans

Calcul vectoriel dans l’espace, g eom etrie dans le plan et dans l’espace 7 1 Calcul vectoriel dans l’espace On se place dans un rep ere orthonormal (O;~i;~j;~k) de l’espace E(a 3 dimensions) Eest identi e a R3 Un point de Ea 3 coordonn ees (x;y;z) Un vecteur ~ude Eest egalement donn e par trois coordonn ees : ~u= x~i+ y~j+ z~k; on

CHAPITRE III CALCUL VECTORIEL DANS L’ESPACE

II e B – math I – chapitre III – Calcul vectoriel dans l’espace - 4 --deux lettres majuscules, désignant l’origine et l’extrémité d’un représentant particulier du vecteur, surmontées d’une flèche, p ex :AB o la norme d’un vecteur u est notée u o l’ensemble de tous les vecteurs de l’espace est noté V Remarques

1 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace

1 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 1 1 Vecteurs du plan Définitions : Dans ce chapitre : • un scalaire est un nombre réel 2 R; • un vecteur du plan est un couple u de scalaires x,y, noté de la façon suivante : u = x y ; • les composantes (ou coordonnées) du vecteur u sont les scalaires x,y;

CALCUL VECTORIEL et GEOMETRIE DANS L’ESPACE

CALCUL VECTORIEL et GEOMETRIE DANS L’ESPACE I) Rappels : - Droites orthogonales : Droites sécantes et orthogonales = perpendiculaires Deux droites sont parallèles, si une droite ⊥ à l’une est ⊥ à l’autre Attention : Dans l’espace : deux droites ⊥ à une même troisième ne sont pas forcement parallèles

Dans le plan P Dans lespace E - WordPresscom

TS2 Chapitre 4 – Calcul vectoriel Dans le plan P Dans l'espace E Bases et repères Soit O un point du plan, i et j deux vecteurs non colinéaires On dit que : • i , j est une base du plan vectoriel P • O , i , j est un repère de P Soit O un point de l'espace, i, j et k trois vecteurs non coplanaires

Chapitre 12 : Calcul vectoriel dans l’espace

Chapitre 12 : Calcul vectoriel dans l’espace Remarque 29 — Dans la pratique, pour montrer que deux plans P 1 et P 2 sont parallèles, il suffit

Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel

Mécanique du point matériel Chapitre 1 : Rappel sur le calcul vectoriel Fatima BOUYAHIA 3 Nous considérons comme acquises les notions de repère affine de E associé à l’espace vectoriel E Un tel repère sera noté où O est un point de l’espace affine E pris comme origine et est une base de l’espace des vecteurs libres

11 REPRÉSENTATION D’UN POINT DANS L’ESPACE

Calcul vectoriel 1 1 REPRÉSENTATION D’UN POINT DANS L’ESPACE On se placera toujours dans un repère orthonormé Oxyz, de vecteurs unitai- res ex, ey, ez 1 1 1 Coordonnées cartésiennes

Produit vectoriel et déterminant dans l’espace

Produit vectoriel et déterminant dans l’espace Nous allons présenter deux outils permettant de aluler l’aire d’une surfae plane de l’espa e, ainsi que le volume d’un parallélépipède L’idée est d’étendre la notion de déterminant développée dans le fichier

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TS2Chapitre 4 - Calcul vectoriel

Dans le plan PDans l'espace E

Bases et repères

Soit O un point du plan, i et j deux vecteurs non colinéaires.

On dit que :

• i,j est une base du plan vectoriel P• O,i,jest un repère de PSoit O un point de l'espace, i, j et k trois vecteurs non coplanaires.

On dit que :

• i,j,k est une base de l'espace vectoriel E O,i,j,kest un repère de E Coordonnées d'un vecteur dans une base, d'un point dans un repère • Soit i,june base de P. Pour tout vecteur v, il existe deux nombres réels uniques x et y tels que v=xiyj. Ce sont les coordonnées de vdans la base i,j.

On note v

x y. • Soit O,i,j un repère de P, soit M le point défini par OM=v. Les coordonnées (x, y) du point M dans le repère O,i,j sont les coordonnées du vecteur OM dans la base i,j.• Soit i,j,kune base de E. Pour tout vecteur v, il existe trois nombres réels uniques x, y et z tels que Ce sont les coordonnées de vdans la base i,j,k.

On note v

x y z. • Soit O,i,j,k un repère de E, soit M le point défini par OM=v. Les coordonnées (x, y, z) du point M dans le repère sont O,i,j,kles coordonnées du vecteur OM dans la base i,j,k.I - Les vecteurs du plan, de l'espace

TS2Chapitre 4 - Calcul vectoriel

Exercices

1.Déterminer les coordonnées des vecteurs ci dessus dans la base i,j.

2.Déterminer les coordonnées de vecteurs

FG, DE et HI dans la base NO;JK.

3.On choisit G l'origine du repère, déterminer les coordonnées des points ci-dessus dans le repère G;i,j.

1.Dans le repère O;

OI,OJ,OK ci contre, donner les coordonnées des points A, B, C, D et E.

2.Dans la base 

OI,OJ,OK, déterminer les coordonnées des vecteurs OD, OE, OB, AC, DB et AE.

3.Calculer les coordonnées du point F milieu de [BD].

TS2Chapitre 4 - Calcul vectoriel

Condition pour que deux vecteurs soient colinéaires

Soient ux

y et u'x' y' deux vecteurs du plan. u et u' sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont respectivement proportionnelles; ce qui se traduit par : xy' - x'y = 0.Soient ux y z et u'x' y' z' deux vecteurs de l'espace. u et u' sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont respectivement proportionnelles.

Exercices

Exercice 1

1.Dans le repère précédent, déterminer les coordonnées de

EB et ED. Sont-ils colinéaires?

2.Déterminer les coordonnées de

EF. Les vecteurs EB, ED et EF sont-ils coplanaires?

Exercice 2

1.Soit ABC un triangle.

Soit M tel que

AM = 3AC-AB

Soit N tel que

AN=BC-AC a.Déterminer les coordonnées de M et N dans le repère A; AB,AC b.Les vecteurs AM et AN sont-ils colinéaires?

2.Soit IJK un triangle.

Soit R tel que

JR=2JKIJSoit N tel que IS=2IK-3IJa.Déterminer les coordonnées de R et S dans le repère I; IJ,JK b.Les vecteurs IJ et RS sont-ils colinéaires?

Repères orthonormaux

La base

i,j est orthonormale si ∥i∥=∥j∥=1 et si i et jsont orthogonaux.

Si la base

i,j est orthonormale, le repère

O;i,jest dit orthonormal.La base i,j,k est orthonormale si l

∥i∥=∥j∥=∥k∥=1 et si les trois vecteurs sont 2 à 2 orthogonaux. Si la base i,j,k est orthonormale, le repère O;i,j,k est dit orthonormal.

TS2Chapitre 4 - Calcul vectoriel

Norme d'un vecteur dans une base orthonormale

• Dans P muni de la base orthonormale i,j, la norme du vecteur ux yest ∥u∥=x2y2. • Dans le plan P muni du repère orthonormalO;i,j la distance entre les points AxA;yA et BxB;yB correspond à la norme du vecteur AB dans la base

i,jsoit AB=∥AB∥=xB-xA2yB-yA2.Dans E muni de la base orthonormale ,

i,j,k la norme du vecteur u x y zest ∥u∥=x2y2z2.

Dans l'espace E muni du repère orthonormal

O;i,j,kla distance entre les points

AxA;yA;zA

et BxB;yB;zB correspond à la norme du vecteur AB dans la base i,jsoit

Exercices :

Ex 1

1.A(3 ; 4 ; 1) et B(-5 ; 2 ; 0). Calculer les coordonnées de

AB.

2.A(3 ; 0 ; 5) et B(-5 ; 1 ; 2). Calculer les coordonnées de I milieu de [AB].

3.A(-1 ; 3 ; 5) et B(0 ; -5 ; 2). Calculer la distance AB.

Ex 2 On considère une pyramide à base carrée SABCD, de hauteur [SH].

SH = 8 cm et AB = 3 cm.

1.Dessiner cette pyramide en perspective cavalière.

2.Calculer la longueur SA. Donner un arrondi au mm.

3.Calculer à 0,1 degré près la mesure de l'angle

SAH.

4.Calculer l'aire totale du solide arrondie au

mm2. Ex 3 On se place dans le repère orthonormal A; AB,AD,AE.

1.Calculer les longueurs IJ, JG et GI.

2.Déterminer l'aire du triangle IJG.

TS2Chapitre 4 - Calcul vectoriel

Introduction

Soit A et B deux points du plan.

• Existe-t-il un point M vérifiant MA2MB=0? • Existe-t-il un point M vérifiant 2 MA-2MB=0?

Définition : Soient A et B deux points (du plan ou de l'espace) affectés respectivement de coefficients réels a et b.

Si ab≠0, alors le barycentre G du système {(A, a), (B, b)} est l'unique point tel que a

GAbGB=0.

Remarque :

• Du point de vue cinématique, G est le centre d'inertie d'un ensemble de points matériels affectés de leur masse.

• Du point de vue dynamique, G est le centre de gravité d'un ensemble de points matériels affectés de leur poids.

Propriétés :

• Étant donné deux points distincts A et B, pour tout réels a et b tels que ab≠0, le barycentre de (A, a) et (B,b) est situé sur la droite (AB).

• Homogénéité Le barycentre de deux points pondérés (A, a) et (B,b) ne change pas lorsqu'on multiplie tous les

coefficients par un même nombre non nul.

• Le barycentre de deux A et B points affectés du même coefficient non nul est le milieu du segment [AB].

• Caractérisation G est le barycentre du système {(A, a), (B, b)} si et seulement si pour tout point M (du plan ou de

l'espace) ab MG=aMAbMB.

Propriété : Coordonnées du barycentre

Soient A et B deux points (du plan ou de l'espace) affectés respectivement de coefficients réels a et b tels que

ab≠0et G le barycentre du système {(A, a), (B, b)}.

Dans le plan : G

axAbxB ab;ayAbyB abDans l'espace : GaxAbxB ab;ayAbyB ab;azAbzB

abRemarque : On peut étendre ces définitions à n points pondérés du plan ou de l'espace.II - Barycentres du plan et de l'espace

A ⁇B

TS2Chapitre 4 - Calcul vectoriel

Exercices :

Ex 1 Ex 2 Ex 3 ABCD est un tétraèdre, G est le point défini par : AG=1

6AB1

2AC1

3AD

1.Exprimer G comme barycentre de B, C, D affectés de coefficients à préciser.

2.Justifier l'appartenance de G au plan (BCD).

Ex 4

Dans un repère du plan, on donne les points :

A (3; - 2), B (4; 2) et C (5; 1)

1.Calculer les coordonnées :

a.de l'isobarycentre G du triangle ABC; b.du barycentre G ' de (A,1), (B, - 2) et (C, 3).

2.Déterminer les coordonnées du point D tel que G ' soit le barycentre de (A,1), (B, - 2) et (D, 2).

TS2Chapitre 4 - Calcul vectoriel

Rappel sur les angles orientés et sur le radian

Définition :

On considère deux vecteurs u=AB et v=AC. On peut alors définir l'angle entre ces deux vecteurs comme étant l'angle orienté u,v= BAC. L'unité d'angle utilisée est le radian. La mesure peut être positive ou négative suivant le sens dans lequel on tourne.

Propriété :

Les angles orientés sont définis à un nombre entier de tours près, c'est à dire à 2k

π rad près, k comptant le nombre de

tours fait dans un sens ou dans l'autre.

Le produit scalaire

Théorème : 1ère formule

Soient

u et v deux vecteurs non nuls, le produit scalaire de u par vest le nombre réel :

u.v=∥u∥×∥v∥×cos, où θ est une mesure de l'angle u,v.

Théorème : 2ème formule

Soit un repère orthonormé du plan O;i,jet deux vecteurs u x y et vx' y' , le produit scalaire de u par v s'écrit alors : u.v=xx'yy'

Remarques :

• Vous avez déjà appris à multiplier un nombre avec un vecteur. Attention, le produit scalaire n'est pas la même

opération! -La multiplication entre un nombre et un vecteur est un vecteur. -Le produit scalaire entre deux vecteurs donne pour résultat un nombre réel. • u.u=

• Les définitions du produit scalaire s'étendent à l'espace. En particulier, l'expression du produit scalaire (2ème

formule) et de la norme dans une base orthonormale O;i,j,k s'écrit :

• En mécanique, le produit scalaire permet de calculer le travail d'une force. Ainsi, le travail exercé par une force F

entre les points A et B d'un segment de droite, s'exprime w= F.AB.III - Produit scalaire

TS2Chapitre 4 - Calcul vectoriel

Exercice 1 :

Exercice 2:

Propriété :

Soient u, v et w trois vecteurs et k un nombre réel. On a alors : • u.v=v.u(commutativité) • u.kv=ku.v

Exercice :

TS2Chapitre 4 - Calcul vectoriel

Théorème :

Soit u et v deux vecteurs non nuls.

u et v sont orthogonaux si et seulement si u.v=0.

On note alors

u⊥v.

Exercice :

Définition :

Soient

u et v deux vecteurs de l'espace orienté. Si

u et v sont colinéaires, on pose u∧v=0 . On lit "u vectoriel v ".

Si u et v ne sont pas colinéaires, u∧v=w, le vecteur w étant défini par les conditions suivantes : w est orthogonal au plan (u,v ) (u,v,w) est une base directe || w || = ||u||×||v||×|sinu,v|.

Définition :

Soit

i,j,k est une base orthonormale directe de l'espace, pour tout vecteursux

y zvx' y' z' : u∧vyz'-zy' zx'-xz' xy'-yx'.

Remarques :

• Distinguer le produit vectoriel "

u∧v=u×v » dont le résultat est un vecteur du produit scalaire u.v dont le

résultat est un nombre. • Si

u∧v=w alors, || w || est aussi l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs u et v .

Propriétés de calcul :

Pour tout vecteurs u,v,w et tout nombre réel a,

u∧av=au∧v=au∧vIV - Le produit vectoriel

TS2Chapitre 4 - Calcul vectorielu∧0=0Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul.

En particulier

u∧u=0.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26