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Chapitre IV Résolution des systèmes d'équations linéaires
Chapitre IV
Résolution des systèmes d'équations linéairesIV.1.Introduction :
Dans la pratique le physicien est souvent confronté à des problèmes à plusieurs dimensions ou plusieurs variables et les modèles mathématiques utiliser engendre dessystèmes d'équations linéaires (intensité du courant dans un réseaux électrique passif,
contraintes et déplacement dans un système mécanique etc.), aussi plusieurs problèmesmathématiques nécessite la résolution d'un système d'équations linéaires (problème à
valeurs propres, interpolation, approximation de données, équations différentiels etc.). Dans ce chapitre nous allons voir les méthodes numériques directes et itératives utiliser pour résoudre ce type de problème en passant par les notions des matrices.IV.2.Notion et Définition :
Soit le système d'équation suivant :
f1(x1, x2, ... xn)=0 f2(x1, x2, ... xn)=0 ....IV.1Fm(x1, x2, ... xn)=0
Si pour chaque fonction de ce système :
n n n nyyyxxxÂÎÂÎ"),...,,(,),...,,(2121 :et ÂÎ"a, ÂÎ"b),..,,(),..,,(),..,,(21212211nininniyyyfxxxfyxyxyxfbabababa+=+++Alors on dit que la fonction fi est linéaire, est dans se cas le système (IV.1) peut se mètre
sous la forme : mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 221122222112
11212111IV.2
Ou [][][]BXA=IV.2 [A] c'est un ensemble de m*n nombre réels (ou complexes) rangé dans un tableau rectangulaire de m lignes et n colonnes, nommé matrice numérique du système. Les nombres aij(i=1,..m ;j=1,..n) qui compose la matrice donnée se nomment élément de A.On dit que la matrice A est d'ordre m*n.
Remarque :
_ Si m=n alors la matrice est carrée d'ordre n _m>n ont dit que le système est surdéterminer. _X est B sont nommés des vecteurs colonnes. Dans ce qui va suivre nous n'allons traité que les systèmes qui engendrent des matrices carrées d'ordre n. IV.3.Matrices particulières et déterminant : 17 Chapitre IV Résolution des systèmes d'équations linéaires _ La matrice dont tous les éléments sont nuls est une matrice nulle. _La matrice dont tous les éléments sont nuls sauf ceux dont les indices i est j sont égaux est appelé matrice diagonale úúúú nna a a A ,...,00000,...000
0,...000
2211Si les éléments aii=1, alors la matrice est unitaire est nommé In.
1,...,0000
0,...0010
0,...0001
nIUn nombre scalaire peut être considéré comme une matrice 1*1 _si aij=0 quelque soit i1131211Ou triangulaire inférieure si _si aij=0 quelque soit i>j alors la matrice est triangulaire
supérieure. nnnnn iiiii aaaa aaa aa a A0.......
0...00...00
32111 2221
11_une matrice A carré est lié à un nombre detA dit déterminant de A
nnnnn iniiiii n n aaaa aaaa aaaa aaaa A )det( 32111
2232221
1131211
=Il ne faut pas confondre entre les deux notions la matrice est un tableau de donné ordonné par contre le déterminant est un nombre définis par des règles bien connus )21 2121...)1()det(
n nnaaaAaaa aaa cOù la somme s'étend à toutes les permutations possible ),...,(21naaa des éléments 1,2, ...,n et par suite , compte n! termes, de plus χ=0 si la permutation est paire et χ=1 si elle est impaire. Il existe plusieurs techniques numériques pour le calcul des déterminants.IV.4.Opération sur les matrices :
_Deux matrices A=[aij] et B=[bij] sont égale si elle sont de même ordre et : aij=bij pour tout les valeur de i et de j. 18 Chapitre IV Résolution des systèmes d'équations linéaires _Sommation de matrice : On appelle somme de deux matrices A=[aij] et B=[bij] de même ordre la matrice C=[cij]Dont les éléments sont :
cij=aij+bij et on écritC=A+B.
La définition de la somme des matrices entraîne les propriétés suivantes : a)A+(B+C)=(A+B)+C b)A+B=B+A c)A+0=AProduit d'une matrice par un nombre :
Le produit d'une matrice A=[aij] d'ordre n par un nombre α B dont les élément sont : bij= αaijB= αA
D'ou les propriétés suivante :
a)1.A=A b)0.A=0 c)α (β.A)= (α. Β).A d)(α +β).A= α.A+ β.B e)α.(A+B)= α.A+ α.BProduit d'une matrice:
Le produit d'une matrice A=[aij] de dimension n*p par la matrice B=[bij] de dimention p*m est la matrice C=[cij] dont les éléments sont :å= p k kjikijbac1Le produit matriciel bénéficie des propriétés suivantes : a)A.B≠B.A b)A.(B.C)=(A.B).C c)A.(B+C)=A.B+A.C d)α.(A.B)= (α.A).B e)det(A.B)=detA.detBMatrice transposé
La matrice transposé de la matrice A= [aij] est la matrice At= [atij] dont les éléments sont
définies par : atij= aji si A=At alors A est dite symétrique.Propriétés :
1)(A+B)t=At+Bt
2)(A.B)t=Bt.At
3)detAt= detA
Matrice régulière et inverse de matrice :Si le déterminant d'une matrice est différant de zéro alors elle est dite régulière et elle
possède une matrice inverse. 19 Chapitre IV Résolution des systèmes d'équations linéaires L'inverse d'une matrice A carré est une matrice A -1carré du même ordre qui vérifie la propriété :A.A-1=A-1.A=I
Propriété :
a)(A.B)-1=B-1.A-1 DDDD DDDD DDDD nnnnn iniii n AAAA AAAA AAAA A 321321